09-1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

1.3 集合的基本运算 第2课时 全集、补集及综合应用 1 在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四 个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其 余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由 是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识. 返回导航 新课导入 2 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.会用 图、数轴解决集合的综合运算问题. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 全集与补集 如果学校里所有同学组成的集合记为 ，所有男同学组成的集合记为 ，所有女同学组成的集合记为 . 思考1 这三个集合之间有什么联系？ 提示：， . 思考2 如果且 ,你能得到什么结论？ 提示： . 返回导航 6 ［知识梳理］ 1.全集 定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①______元素，那 么就称这个集合为全集. 记法：通常记作 . 所有 返回导航 7 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合，由全集中②________集合 的所有元 素组成的集合称为集合相对于全集 的补集，简称为 集合 的补集，记作③_____ 符号语言 ④_________________ 图形语言 __________________________ 性质 （1） ； （2） ， ； （3） ； （4）； 不属于 ,且 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）数集问题的全集一定是 .( ) × （2）集合与 相等.( ) × （3） .( ) √ （4）一个集合的补集中一定含有元素.( ) × 返回导航 9 2.已知全集,,0,,，则 ( ) A., B., C., D., 解析：选B.因为,,0, ， ,所以, . √ 返回导航 10 3.已知全集，集合，则 的真子集个数为___. 7 解析：由全集，，得 ， 因此中有3个元素，其真子集个数为 . 返回导航 11 4.若全集,,或 ，则 ________________________. 或 解析：如图，由补集定义可知 表示图中阴影部分，故 或 . 返回导航 12 求集合的补集的方法 （1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. （2）<m></m>图法：借助<m></m>图可直观地求出全集及补集. （3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需 注意端点问题. 返回导航 13 二 集合交、并、补的混合运算 ［例1］ （1）设集合,, ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：由条件可得，, ， 所以 . √ 返回导航 14 （2）已知全集，集合 ， ，则 _______________________， ______________. ，或 解析：根据题意，画出数轴， 返回导航 15 由图1可得 ，或 . 由图2可得 ，或 . 所以，或 ， . 返回导航 16 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ （1）（2024·全国甲卷）已知集合 , ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.因为,，所以 ，4，9，16， 25， ， 则, . √ 返回导航 18 （2）如图，设全集，， ，则图 中的阴影部分表示的集合________________. 解析：题图表示的集合为 . 返回导航 19 三 利用集合间的关系求参数 ［例2］ 设集合,,全集 ，且 ，求实数 的取值范围. 返回导航 20 【解】 由已知 , 得 , 因为, , 在数轴上表示，如图， 所以,即 . 所以实数的取值范围是 . 返回导航 21 母题探究 若将本例中条件“ ”改为“ ”，其他条 件不变，求实数 的取值范围. 解：因为 , 所以 , 又,所以 ， 所以，解得 . 所以实数的取值范围是 . 返回导航 22 由集合的补集求解参数的方法 （1）对于由补集求参数问题，当集合中元素个数有限时，可利用补集定 义并结合集合知识求解. （2）对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，当集合中元素有无 限个时，一般利用数轴分析法求解. 返回导航 23 ［跟踪训练2］ （1）已知全集,,，, ，若 ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：选C.因为全集,, ， ,，又 ，所以 , 解得或 . 当时，，不满足全集 中元素互异性，不符合题意，舍去； 当时，,, ,, ，符合题意；所以 . 返回导航 24 （2）已知，集合,, ， 则 的取值范围是________. 解析：因为 ， 所以或 . 又因为, ， 观察与 在数轴上表示的范围，如图所示, 所以当时， . 返回导航 25 拓视野 集合中元素个数与容斥原理 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有 限集合，， ，，将中的元素个数记为 . 关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原理） 二元容斥原理 ； 返回导航 26 三元容斥原理 . 返回导航 27 ［典例］ 为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默 写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅 长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学， 请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 √ 返回导航 28 解析：设擅长语文的同学构成集合 ，擅长英语的同 学构成集合，20人代表队构成全集 ， 则，， ， ， 所以 ， 所以 ，所以语文和英语均不擅长的同学人 数为3. 返回导航 29 ［练习］ 小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项 目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜 欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢 一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为____. 46 解析：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为,, ，喜欢游泳 和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为 ， 返回导航 30 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为 ，如图， 则 后三个方程相加得 ，与 第一个方程消去得 ， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 . 返回导航 31 PART 02 课堂巩固 自测 32 1.已知全集，集合，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意，易得 . √ 返回导航 33 2.（多选）（教材PT 改编）图中阴影部分用集合 表示正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选 .根据题图可知，阴影部分表示的集合是 ，所以A,B正确,C错误， 而 ，不符合题意，D错误. √ √ 返回导航 34 3.已知全集，，则 _______. 解析：由题意， ， 因为,所以,,,,, ,即 . 返回导航 35 4.设集合，，全集 ，且 ，则实数 的取值范围为_______. 解析：由已知得 ， 则 ， 因为，且 ，如图， 则，即 . 返回导航 36 课堂小结 1.已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集 合间的关系求参数. 2.须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间 的一种运算，还是一种数学思想（正难则反）. 3.应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端 点值. 返回导航 37 $