05-1.2 集合间的基本关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦“集合间的基本关系”，涵盖子集、真子集、集合相等及空集等核心知识点。以开学季新生班级集合为例导入，通过具体情境衔接集合概念，搭建从现实到抽象的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其特色在于以问题链驱动探究，如通过赛事运动员集合引导思考子集关系，结合Venn图、数轴直观呈现，渗透数形结合思想。例题分层设计，从基础判断到含参问题，培养数学眼光与逻辑推理能力。课堂小结梳理易错点，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

1.2 集合间的基本关系 1 本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组 成集合，其中高一（1）班的50位新生组成集合 , 那么，集合与集合 有什么关系？这就是本节课我 们所要学习的集合间的关系. 返回导航 新课导入 2 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.能使用 图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 3.在具体情境中，了解空集的含义. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 子集 某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合 ，中国参赛运动员组 成集合 . 思考1 集合中的任何一个元素都是集合 中的元素吗？ 提示：不是. 思考2 集合中的任何一个元素都是集合 中的元素吗？ 提示：都是. 返回导航 6 ［知识梳理］ 1. 图 在数学中，我们经常用平面上①__________的内部代表集合，这种图称为 图. 封闭曲线 返回导航 7 2.子集概念 定义 一般地，对于两个集合，，如果集合 中②______一个元素 都是集合中的元素，就称集合为集合 的子集 记法与读 法 记作③_______（或④_______）,读作“包含于”（或“ 包含 ”） 图示 __________________________________________________________________________ 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 . （2）对于集合，，，若，且 ，则⑤_______ 任意 返回导航 8 3.集合相等 一般地，如果集合的任何一个元素⑥______集合的元素，同时集合 的 任何一个元素⑦______集合的元素，那么集合与集合 相等，记作 .也就是说若，且，则 . 都是 都是 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例2）指出下列各对集合之间的关系： （1），，， ； 【解】中唯一元素 ， 所以 . （2），2，， 是8的因数}； 【解】因为， ， 所以 . （3）是等边三角形， 是等腰三角形}； 【解】因为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角 形，所以 . 返回导航 10 （4）， . 【解】因为，，如图，所以 . 返回导航 11 判断集合间关系的常用方法 返回导航 12 注意 用数轴表示不等式时，如果端点处带“ ”，在数轴上端点处画实点； 如果端点处不带“ ”，在数轴上端点处画虚点. 返回导航 ［跟踪训练1］ （1）已知集合 ，则( ) A. B. C., D., 解析：选C.集合, ， ，A错误； ，元素与集合不能用“ ”符号，B错误； 根据子集的定义，有， ，C正确； 集合,不是集合中的元素，不能用“ ”符号，D错误. √ 返回导航 14 （2）已知集合,}与，则___ . （从“ ”或“ ”或“”或“ ”选取最精确的符号填写） 解析：因为，所以或，又 ，所以 . 返回导航 15 二 真子集 思考1 若集合是集合的子集，集合的元素也都在集合 内吗？举例说明. 提示：不一定，如，，但 . 思考2 方程 的实数解组成的集合有几个元素？ 提示：因为，所以方程 无实数解，其解集内有0个元素. 返回导航 16 ［知识梳理］ 1.真子集 定义 如果集合，但存在元素,且①______,就称集合 是 集合 的真子集 记法与读法 记作②_______（或），读作“真包含于”（或“ 真包 含 ”） 图示 ______________________________________ 结论 对于集合，，，如果，且，那么 返回导航 17 2.空集 （1）定义：把不含③__________的集合叫做空集. （2）符号表示：④___. （3）规定：空集是任何集合的⑤______，是任何非空集合的⑥________. 任何元素 子集 真子集 返回导航 18 ［例2］ （对接教材例1）已知集合且 ， 且 . （1）写出集合 的子集，真子集； 【解】由题意得 ， 的子集有： ，，，，，，，，，，，1， ； 的真子集有： ，，，，，，，，， . 返回导航 19 （2）求集合 的子集数，非空真子集数. 【解】，，0， ， 有4个元素，的子集数为 ， 的非空真子集数为 . 返回导航 20 （1）求集合的子集或真子集的思路 返回导航 21 （2）求集合的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集： 和自身. ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏. 常用结论 假设集合中含有个元素，则的子集有个； 的非空 子集有个；的真子集有个； 的非空真子集有 个. 返回导航 ［跟踪训练2］ （1）满足，1，的集合 的个数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.15 解析：选B.因为集合，1， ， 则集合可以为，，，， ， ， ，共7个. √ 返回导航 23 （2）写出集合 的所有非空子集________ _______________________________________. ，，，,，,，，,1, 解析：,1, ， 其所有非空子集有，，，,，,，，,1, . 返回导航 24 三 由集合间的关系求参数 ［例3］ （1）（2025·宿州期中）已知集合，，, ，且 ，则实数 ( ) A.0 B.3 C. D.3或0 解析：因为，且,的元素个数相等，所以，所以 ， 解得或 ， 当时， ，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时， ，满足条件. √ 返回导航 25 （2）已知集合， ，且 ，则实数 的取值范围是_______________. 解析：由于，结合数轴分析可知， . 又，所以实数的取值范围是 . 返回导航 26 母题探究 本例（2）若将“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数 的取值范围. 解：若，则 ，满足 ； 若，则由例题解析可知 . 综上可知，实数的取值范围是 . 返回导航 27 由集合间的关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求 解，此时应注意分类讨论. （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端 点处是实点还是虚点. 注意（1）不能忽视集合为<m></m> 的情形. （2）当集合中含有参数时，一般需要分类讨论. 返回导航 28 ［跟踪训练3］ （1）已知集合,， ,1, ,若,关系如图所示，则 ( ) A.1 B. C. D.3 解析：选D.由题图可知,则,所以 . √ 返回导航 29 （2）已知集合，,若 ，则 满足条件的 的取值范围为__________________. 或 解析：当 时，满足，此时有，解得 ； 当 时，要使 ， 只需解得 . 所以实数的取值范围为或 . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.集合 的子集个数为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析：选B.由题意得，则集合的子集个数为 . √ 返回导航 32 2.（多选）（教材（2）改编）已知集合 ，则下列选 项正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.因为, ， 所以，，， ， 所以A，C，D正确，B错误. √ √ √ 返回导航 33 3.（教材（2）改编）已知集合, ， 若，则实数 的取值范围为______. 解析：因为，所以由数轴可得，故实数的取值范围为 . 返回导航 34 4.（2025·石家庄期中）已知集合, （1）若，写出集合 的所有子集； 解：若，则,}= ， 所以集合 的所有子集是： ,,, . 返回导航 35 （2）若集合中仅含有一个元素，求实数 的值. 【解】当时，方程 ，符合题意； 当时，集合中仅含有一个元素，则，解得 ， 符合题意. 所以实数的值为0或 . 返回导航 36 课堂小结 1.已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、空集. 2.须贯通：利用列举法、<m></m>图及数轴判定两集合的关系，<m></m>图和数轴 都体现了数形结合的数学思想. 3.应注意：（1）混淆子集和真子集的概念； （2）在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的 取值，应注意分类讨论. 返回导航 37 $