16.3 乘法公式讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

乘法公式 知识点01：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点02：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【考点1：运用平方差公式进行运算】 1. 计算:(2a+b)(2a-b)=( ) 2. 下列运算正确的是 ( ) B.(1-3m)(1+3m)=1-3m² C. (-4-3n)(-4+3n)=-9n²+16 3. 计算： (1) ( - 2x-3y)(2x-3y); (2) (3)(2x-3y)(3x+2y)-(x-2y)(2y+x). 4. 利用平方差公式计算： (1)99.7×100.3; 【考点2：平方差公式的几何解释] 5. 四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形(如图1)，也可拼成正方形(如图2)，根据两个图形中阴影部分面积的关系，得到的一个关于x，y的等式为( ) 6. 实践应用： (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 ．（写出两数平方差的形式） (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ，（写成多项式乘法的形式） (3)比较图1，图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ，（用等式表达） (4)运用你所得的公式，计算下列各题： 7. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________；（用含a，b的式子来表示） (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 8. 乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 知识点03：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点04：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 【考点3：利用完全平方公式进行计算】 9. 计算: ( ) 10. 下列计算正确的是( ) 11. 已知a-b =3, ab = 10,则 12. 计算： 13. 用完全平方公式计算： (1)999²; (2)2004². 【考点4：完全平方公式的几何解释】 14. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释 的是( ) 15. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】________；【方法2】_________；； (3) 若，且，，求的值． 16. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学 活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为， 宽为的长方形，沿图 中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ； (2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： 已知，，求 的值； 已知，求的值． 17. 【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2： ______，由此可以得出，，之间的等量关系是_____； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：______，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】 （2）若，，求的值； （3）若，，求的值． 【考点5：求完全平方式中的字母系数】 18. 多顶式是一个完全平方式，则的值为（　　） A．11 B． C． D．11或 19. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 20. 【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 【考点6：添括号法则】 21. 计算(x+2-3y)(x+2+3y)的结果是 ( ) 22. 利用乘法公式计算： (2)(x-2y-1)²; (4)(3m+2n-p)(3m-2n+p). 23. 先化简，再求值： b)+(a+1)²,其中 课后提升 1. 若 则(x- 的值为( ) A.4 B.16 C.24 D.32 2. 已知 n 是整数，则代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的值能被下列哪个数整除? ( ) A.4 B.3 C.5 D.2 3. 若 则 的值为( ) A.3 B.6 C.±3 D.±6 4. 已知( b²-3)=7, ab=3,则 ( ) A.4 B.10 C.16 D.20 5. 若 6x+n,则m+n= . 6. 如图,点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上,点 E,F在 CD 上.若正方形ABCD 的面积是15，图中阴影部分的面积总和为6,则正方形 EFGH 的面积是 . 7. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ··· 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律,(a+b)⁷展开的多项式中各项系数之和为 . 8. 先化简,再求值:x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中 9. 学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简； (2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且米，求“红”字正方形边长b的值． 10. “完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题.阅读下列问题并完成相应任务. 问题： 任务： (1)P= ,Q= . (2)如图，已知边长为a的大正方形中，阴影部分的面积为10，边长为a-b的小正方形的周长为12，求 的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $