学易金卷：九年级数学上学期第三次月考卷（河北专用，人教版九上全部+九下26～27章：一元二次方程+二次函数+旋转+圆+概率+反比例函数+相似）

( ) ( ) 2025-2026学年上学期第三次月考卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 2 分，共 24 分） 1 [A] [ B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、 填空 题（每小题 3 分，共 1 2 分） 1 3 ． __ __________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三、（本大题共 8 个小题，共 64 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 ． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 6 分） 1 9 ．（ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （ 8 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22. （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 9 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 1 1 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、（本大题共8个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （6分） 19. （7分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（9分） 24.（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上、下册第21~27章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，已知与位似，位似中心为点O，且，的周长为15，则的周长为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质可得，，可得到，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长为15， ∴的周长为． 故选：C． 2．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，准确分析判断是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的性质对作图判断即可； 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做； 第二步：在边上依次取，，在上取； 第三步：连接，过点作，交于点； 则线段即为所求作线段． 故选． 3．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，垂直平分线的定义，勾股定理．由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，，则垂直平分，然后根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵将截成弧长相等的两部分， ∴为直径， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：． 4．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在 0.17 附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为 0.17 者即为正确答案． 【详解】解：A、在＂石头、剪刀、布＂的游戏中，小明随机出的是＂剪刀＂的概率为，故A选项不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意； C、暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 的概率为，故D选项符合题意． 故选：C． 5．如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，等边对等角．根据三角形外心的性质，圆周角定理求得，，据此求解即可判断． 【详解】解：∵点是的外心，如图， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 不能证明， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 6．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 7．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，直线与相切于点，且，连接并延长，与分别交于点和点，点是优弧的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质，圆周角，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 连接，先求出，推导出，证明，得出，则即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵直线与相切于点A， ∴， ∴， ， ， ∵点E为优弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 9．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点O分别作于D，于E，于F， ∵直线， ∴， ∴点O是的内心，点O为三个内角平分线的交点， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10．如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．先根据题意得出，结合已知条件求出的度数，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵A、P、B三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴阴影部分的周长为， 故选：B． 11．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 12．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．正三角形外接圆和内切圆的周长之比为 【答案】 【分析】本题主要考查了正三角形的外接圆和内接圆的周长．设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则， ∴， ∴正三角形外接圆和内接圆的周长之比为． 故答案为： 14．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为）．如图，为的黄金分割点的长为，则的长为 ．（用根号表示） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为的黄金分割点，的长为， ∴． 故答案为：． 15．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 16．如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的性质、矩形的性质及面积的割补法．解题关键是通过设矩形顶点坐标，结合线段比例求出点D的坐标，再利用反比例函数k的几何意义和面积公式建立关系．易错点是对图形中各点坐标的推导不准确，以及面积割补时各部分面积的计算错误． 首先设矩形的，，根据得出点D的坐标为．然后利用点D在反比例函数上得到，再结合的面积求出．接着确定E、F的坐标，分别计算、、的面积，最后用矩形面积减去这三个三角形的面积，得到的面积为． 【详解】解：设矩形中，，，则． ， ． ． ∵点在反比例函数上， ． 的面积是24， ． 设F点坐标为，则，即． ． ，解得． ∵E在上，横坐标为a，代入反比例函数，得． 矩形的面积为． ． ． ． 因此，的面积为： ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题可得，，，，设，则，，证明，所以，即，则有，再证明，所以，即，然后求出的值并检验即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题可得：，，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：飞虹塔的大致高度为． 18．（6分）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】由，得，由，得，所以∽，则，即可由，，证明． 由∽，得，变形为，由，，证明∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ． （2）证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ． 19．（7分）如图，点，，在上，于点，交于点，连接．于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长是 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定以及圆周角定理等，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程． （1）根据余角的性质和圆周角定理可得出，即可得到结论； （2）连接，由垂径定理得，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径是， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是． 20．（8分）项目学习 项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位，据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次． 活动2：人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果…… 交流展示 …… 请根据以上的活动报告，解答下列问题． (1)求所使用平台前三天下载量的日平均增长率． (2)请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】(1)10% (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，一元二次方程根的判别式．熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． （1）设前三天下载量的日平均增长率为，根据首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次，运用增长率公式列出方程解方程，去掉负值即可； （2）假设能．设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据两个正方形的面积之和能等于，列方程化简，由根判别式为0即可判断． 【详解】（1）解：（1）设前三天下载量的日平均增长率为． 由题意，得． 解得（舍去）． 答：前三天下载量的日平均增长率为． （2）能．理由： 设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为． 由题意，得． 化简得． ∵， ∴此方程有两个相等实数根． 故这两个正方形的面积之和能等于. 21．（8分）某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为__________，补全条形统计图； (2)若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； (3)为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，用树状图或列表法求选取的2人不是同一组居民的概率． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，补全条形统计图，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据等级的人数和所占的比例即可求出问卷调查的人数，用A等级对应的人数除以总人数即可得出A等级对应的人数所占百分比，求出等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以A等级对应的人数所占百分比即可得解； （3）将个一组居民分别记为、、，个二组居民记为，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：问卷调查的人数为：（人）， ∴扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为， 等级的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ； （2）解：估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数（人）； （3）解：将个一组居民分别记为、、，个二组居民记为， 画树状图如图： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中选取的人不是同一组居民的结果有种， 故选取的2人不是同一组居民的概率为． 22．（9分）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． （2）解：如图，连接，，， 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 23．（9分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质： （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设抛物线的解析式为，将B、C代入，解出b、c即可； （3）分别讨论、、为斜边，利用勾股定理即可求出M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴，． （2）解：设抛物线的解析式为， 将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在点M，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或． 试卷第2页，共28页 13 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C D C C B A A B A A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13． 14．． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：由题可得：，，，， ∴，（1分） 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（3分） ∵， ∴，（6分） ∴， ∴， 解得：，（5分） 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：飞虹塔的大致高度为．（6分） 18．（6分） 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ．（3分） （2）证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ．（6分） 19．（7分） 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．（3分） （2）解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径是， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是．（6分） 20．（8分） 【详解】（1）解：（1）设前三天下载量的日平均增长率为． 由题意，得． 解得（舍去）． 答：前三天下载量的日平均增长率为．（4分） （2）能．理由：（5分） 设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为． 由题意，得． 化简得． ∵， ∴此方程有两个相等实数根． 故这两个正方形的面积之和能等于.（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：问卷调查的人数为：（人）， ∴扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为， 等级的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ；（3分） （2）解：估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数（人）；（4分） （3）解：将个一组居民分别记为、、，个二组居民记为， 画树状图如图： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中选取的人不是同一组居民的结果有种， 故选取的2人不是同一组居民的概率为．（8分） 22．（9分） 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线．（4分） （2）解：如图，连接，，，（5分） 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ，（6分） 是等边三角形， ， 又， ， ， ．（8分） 23．（9分） 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴；（3分） （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或；（4分） （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，．（9分） 24．（11分） 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴，．（2分） （2）解：设抛物线的解析式为， 将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为；（5分） （3）解：存在点M，使得是直角三角形，理由如下：（6分） ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，，（7分） 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或．（11分） 试卷第2页，共28页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上、下册第21~27章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，已知与位似，位似中心为点O，且，的周长为15，则的周长为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 2．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 4．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 5．如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 7．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线与相切于点，且，连接并延长，与分别交于点和点，点是优弧的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 11．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 12．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．正三角形外接圆和内切圆的周长之比为 14．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为）．如图，为的黄金分割点的长为，则的长为 ．（用根号表示） 15．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 16．如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 18．（6分）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．（7分）如图，点，，在上，于点，交于点，连接．于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（8分）项目学习 项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位，据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次． 活动2：人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果…… 交流展示 …… 请根据以上的活动报告，解答下列问题． (1)求所使用平台前三天下载量的日平均增长率． (2)请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 21．（8分）某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为__________，补全条形统计图； (2)若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； (3)为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，用树状图或列表法求选取的2人不是同一组居民的概率． 22．（9分）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 23．（9分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共28页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012九年级数学上、下册第21~27章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，已知与位似，位似中心为点O，且，的周长为15，则的周长为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 2．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的半径为4，以圆外一点为圆心，半径为画弧，将截成弧长相等的两部分，已知两点之间的距离为，则的值为（   ） A． B．16 C．8 D． 4．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 5．如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 7．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线与相切于点，且，连接并延长，与分别交于点和点，点是优弧的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 11．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 12．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．正三角形外接圆和内切圆的周长之比为 14．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为）．如图，为的黄金分割点的长为，则的长为 ．（用根号表示） 15．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 16．如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 18．（6分）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．（7分）如图，点，，在上，于点，交于点，连接．于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（8分）项目学习 项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率，为此，向阳综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位，据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为100万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为121万次． 活动2：人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，问这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果…… 交流展示 …… 请根据以上的活动报告，解答下列问题． (1)求所使用平台前三天下载量的日平均增长率． (2)请你猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 21．（8分）某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为__________，补全条形统计图； (2)若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； (3)为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，用树状图或列表法求选取的2人不是同一组居民的概率． 22．（9分）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 23．（9分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $