2.5.3 切线的判定 同步训练 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.5.3 切线的判定 同步训练 轻松过关 1.如图,⊙O 是的外接圆，P是BC 延长线上一点，连接OA,OC,PA,且 点D是AC中点,OD的延长线交AP 于点Q, 则下列结论： ②OQ垂直平分AC ③直线PA和CQ都是⊙O的切线 ∥其中正确的结论是 ( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 第1题图 第2题图 2.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点 B,C,半径为1 的⊙P 的圆心 P 从点A(4,m)出发以每秒 个单位长度的速度沿射线AC 的方向运动，设点 P 运动的时间为t 秒，则当t=_______秒时，⊙P 与坐标轴相切. 3.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C,D在⊙O上,且 BC=CD.点 E 是线段AB 延长线上一点，连接 EC 并延长交射线AD 于点 F.∠FEG 的平分线 EH 交射线AC 于点 H, (1)求证:EF 是⊙O的切线; (2)若 BE=2,CE=4,求 AF 的长. 4.如图，在 中， BD平分交AC 于点 D,O是AB 上一点,且⊙O经过B,D 两点,分别交 AB,BC 于点E,F. (1)使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)求证:⊙O与AC 相切于点 D. 5.如图,已知AB为⊙O 的弦，C 为⊙O上一点，且于B. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3, 求AD的长. 6.如图所示,AB 是⊙O的直径,点 F,C 是⊙O 上两点，且 连接AC,AF,过点 C作 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D. (1)求证:CD 是⊙O的切线; (2)若 求⊙O的半径. 7.如图, 是等腰直角三角形，点O为AB 的中点，连接CO交⊙O于点 E,⊙O 与AC 相切于点D. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)延长CO交⊙O于点G,连接AG交⊙O于点F，若 求 FG 的长. 8.如图,AB 是⊙O的直径, 点 E 在 AD 的延长线上,且 (1)求证:BE 是⊙O的切线; (2)当⊙O的半径为2, 时，求 的值. 9.如图,AB 是⊙O的直径,AC是一条弦，点D是的中点，于点E,交AC于点 F,连接 DB交 AC于点 G. (1)求证:AF=DF; (2)延长GD 至点 M,使 DM=DG,连接AM. ①求证:AM是⊙O的切线; ②若DG=6,DF=5,求⊙O的半径. 10.如图，在直角坐标系中，以点 C(2，0)为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点 B 的直线交x轴负半轴于点 (1)求 A,B两点的坐标; (2)求证:直线 BD 是⊙C的切线. 11.如图,AB 是⊙O的直径,点E,C 在⊙O上,点 C 是 的中点，AE 垂直于过C 点的直线 DC,垂足为 D,AB 的延长线交直线DC 于点 F. (1)求证:DC 是⊙O的切线; (2)若 ①求⊙O的半径； ②求线段 DE 的长. 12.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 E,⊙O经过A,D两点，交对角线 AC 于点 F，连接OF，交AD于点G,且 (1)求证:AB是⊙O的切线; (2)已知⊙O 的半径与菱形的边长之比为5:8,求 的值. 13.已知AB为⊙O的直径,AB=6,C 为⊙O上一点，连接CA. (1)如图1,若 求证：点C为半圆的中点； (2)如图2,延长AC到E,若CE=AC=2,OD为⊙O的半径,且OD∥AC,连接DE.求证：DE是⊙O的切线. 14.如图,以 的边AB 为直径作⊙O,与 BC交于点 D,点 E 是 的中点,连接 AE 交 BC 于点 F, (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若 求BF的长. 15.如图,AB 为⊙O 的直径,C,D为圆上两点， (1)尺规作图：作 于E；(保留作图痕迹，不用写作图步骤) (2)求证:CE 是⊙O的切线; (3)若 求CE的长度. 快乐拓展 16.如图,已知AB 是⊙O的直径，点A 是 的中点,弦 BD,CA 的延长线交于点 E，点F 在线段 DE 上，且 (1)求证:AF 是⊙O的切线; (2)若 求 EF 的长. 17.如图,以AB 为直径的⊙O上有两点 E,F, 过点 E作直线CD⊥AF 交AF 的延长线于点 D，交AB的延长线于点C，过C作CM 平分 交 AE 于点 M,交BE 于点 N. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)求证: (3)如果 N 是CM 的中点,且 求EN的长. 参考答案 1. C 2.1或3 或5 解析：设⊙P 与坐标轴的切点为D, ∵直线 与x轴、y轴分别交于点 B，C,点 A(4,m), ∴当 时， 当 时， 当时， ∴A(4,2),B(2,0),C(0,-2). 是等腰直角三角形， ①如图1，当⊙P与x轴相切时， 如图1，点 D 是切点，⊙P的半径是1，轴， 是等腰直角三角形. ∵⊙P 的速度为每秒 个单位长度， ②如图2，⊙P与x 轴和y轴都相切时， 同理，得 ∵⊙P 的速度为每秒 个单位长度， ③如图3，当⊙P 只与 y轴相切时， 同理，得 ∵⊙P 的速度为每秒 个单位长度， 综上所述，则当t=1或3 或5秒时，⊙P 与坐标轴相切. 3.解:(1)证明:连接OC,则∠OAC=∠OCA, ∵BC=CD, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD,∴∠OCE=∠F, ∵EH 平分∠FEG,∴∠FEG=2∠HEG. ∴∠F = ∠FEG - ∠FAE = 2∠HEG -2∠CAB=2(∠HEG-∠CAB)=2∠H =2×45°=90°, ∴∠OCE=∠F=90°. 又∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线; (2)设⊙O的半径为r,则( 2, 即 解得r=3, 又∵OC∥AD,∴△ECO∽△EFA. 即 解得 4.解：(1)根据题目要求补全图形如图； (2)证明:连接OD,如图, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, ∵OB=OD, ∥ ∵OD是⊙O的半径,∴⊙O与AC 相切于点 D. 5.解：(1)证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E,连接 BE,则 ∵AE是⊙O的直径,∴AD是⊙O的切线; (2)由(1),得 直径 6,AB=4, 即 6.解:(1)证明:如图所示,连接OC. ∴∠FAC=∠BAC. ∵OA=OC, ∴OC∥AF. ∵CD⊥AF,∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线; (2)如图所示,连接BC. ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BAC=30°,∴∠DAC=30°. 在 Rt△ADC中, 在 Rt△ACB中, ∴AB=2BC=8, ∴⊙O的半径为4. 7.解:(1)证明:如图1,连接OD,过点 O 作OP⊥BC于点 P, ∵⊙O与AC 相切于点 D,∴OD⊥AC, ∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点O为AB 的中点，∴∠OCD=∠OCP=45°, ∴OD=OP,即OP是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线; (2)∵AC=4 ,BC=AC,∠ACB=90°,O为AB中点, 在 中， 如图2,连接 OF,过点 O 作 于点 8.解:(1)证明:连接 BD,OC,OD, ∴BC=BD, ∵OC=OD,∴点 O,B 在 CD的垂直平分线上， ∴AB 垂直平分CD,∴∠AFD=90°. ∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE.∴∠ABE=∠AFD=90°.∴AB⊥BE. ∵AB是⊙O的直径,∴BE是⊙O的切线; (2)∵⊙O的半径为2,∴AB=2×2=4. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ∵BC=3, ∴∠ADC=∠ABC. ∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC. 9.解:(1)证明:连接AD,设OD 交AC 于点I, ∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD. ∵点 D 是 的中点，∴OD⊥AC于点I. ∵DN⊥AB于点 E,∴∠OED=∠OIA=90°,∴∠ODF=∠OAF=90°-∠AOD, ∴∠ODA-∠ODF=∠OAD-∠OAF,∴∠FDA=∠FAD,∴AF=DF; (2)①证明:∵AB是⊙O的直径,DM=DG,∴∠ADB=90°, ∴AD 垂直平分GM,∴AM=AG,∴∠MAD=∠CAD. ∴∠B=∠CAD.∴∠MAD=∠B. ∴∠OAM=∠BAD+∠MAD=∠BAD+∠B=90°. ∵OA 是⊙O的半径,且 AM⊥OA,∴AM是⊙O的切线; ②∵∠FDG +∠FDA = 90°,∠FGD +∠FAD=90°,且∠FDA=∠FAD, ∴∠FDG=∠FGD.∴GF=DF=AF=5.∴AG=2AF=10. ∵DG=6, 解得 .∴⊙O的半径长为 10.解:(1)∵点 C(2,0),圆的半径为3, ∴A(5,0). 连接CB,则. 在 中， (2)证明:∵点 在 中， 又 ∴在△DBC中, DC². ∴△DBC 是直角三角形.∴BC⊥DB 于点 B. ∵BC是⊙C半径,∴直线 BD 是⊙C 的切线. 11.解:(1)证明:连接OC, ∵AD⊥DF, ∵点C 是 的中点， ∴∠DAC=∠CAB, ∥ ∵OC是⊙O的半径,∴DC是⊙O的切线; (2)①过点 O作OG⊥AE,垂足为G,如图, ∵OG⊥AD,∴∠AGO=90°, ∵∠D=∠AGO=90°,∴OG∥DF,∴∠AFD=∠AOG, 在 Rt△AGO中, ∴⊙O 的半径为3; ②∵∠OCF=90°,∴∠OCD=180°-∠OCF=90°, ∵∠OGE=∠D=90°,∴四边形OGDC是矩形，∴OC=DG=3, ∵GE=1,∴DE=DG-GE=3-1=2,∴线段 DE 的长为2. 12.解:(1)证明:连接OA,则OF=OA,∴∠OAF=∠OFA, ∵AG=GD,∴OF⊥AD,∴∠AGF=90°, ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD,∴∠BAE=∠DAE, ∴∠OAB =∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°,∴AB⊥OA, 又∵OA 是⊙O半径,∴AB是⊙O的切线; AD=2AG, 设AG=4m,则OA=5m,∴OF=OA=5m, ∵∠AGO=90°,3m, ∴FG=OF-OG=5m-3m=2m, ∵∠AED=∠AGF=90°,∴∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE, ∴tan∠ADB的值是2. 13.证明:(1)连接CB,如图1, ∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形. ∴BC=AC, ∴点 C为 的中点； (2)连接 BC交OD 于点 F,如图2, ∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠BCE=90°.∴△ABC是直角三角形. 又∵OD∥AC,点O为AB的中点,AB=6,∴∠OFB=∠OFC=∠BFD=∠CFD=90°. ∴OD⊥BC. ∴DF=CE=2.∴四边形 DFCE 是矩形.∴∠ODE=90°,即半径OD⊥DE. ∴DE 是⊙O的切线. 14.解:(1)证明:连接 AD,如图所示. ∵E是 的中点， ∴∠1=∠2.∴∠BAD=2∠1. ∵∠ACB=2∠1,∴∠C=∠BAD. ∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=∠ADC=90°.∴∠DAC+∠C=90°. ∵∠C=∠BAD,∴∠DAC+∠BAD=90°.∴∠BAC=90°,即AB⊥AC. 又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线; (2)过点 F作 FG⊥AB 于点 G.如图所示: 在 Rt△ABD中, 设AD=2m,则AB=3m,由勾股定理得 ∵BD=5, ∴AD=2 ,AB=3 ∵∠1=∠2,∠ADB=90°,∴FG=FD. 设BF=x,则 FG=FD=5-x. 在 Rt△BGF中, 解得x=3.∴BF=3. 15.解:(1)①延长 DB,以C为圆心,以任意长为半径画弧，和DB有两个交点M，N； ②分别以 M，N为圆心，以大于 MN的一半的长为半径画弧，两弧相交于点 P； ③作射线CP,交 DB于E.则 CE 即为所求作. 如图1： (2)证明:连接OC. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠BOC=2∠BAC. ∵∠ABD=2∠BAC,∴∠ABD=∠BOC.∴OC∥DB. ∴∠OCE=∠DEC=90°,∴CE 是⊙O的切线; (3)如图2,作直径CQ,连接QB. ∵QC为直径,∴∠Q+∠QCB=90°. ∵∠BCE+∠QCB=90°,∴∠Q=∠BCE. ∵∠Q=∠CDE,∴∠CDE=∠BCE. ∵∠BEC=∠CED=90°,∴△ECB∽△EDC. 16.解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.∴∠ABC+∠CAB=90°. ∵点A 是 的中点， ∴∠ABC=∠ABD. ∵∠EAF=∠ABE,∴∠ABC=∠EAF.∴∠BAC+∠EAF=90°.∴∠BAF=90°. ∵AB是⊙O的直径,∴AF是⊙O的切线; (2)连接AD, ∵AB 是⊙O的直径, ∵点A 是CD的中点, ∴ 17.解:(1)证明:连接OE,如图: ∴∠FAE=∠EAB. ∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAB.∴∠FAE=∠AEO.∴AF∥OE. ∵CD⊥AF,∴OE⊥CD. ∵OE 是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线; (2)证明:由(1)知 CD 是⊙O的切线,∴∠CEB+∠OEB=90°, ∵AB 是直径,∴∠AEB=90°,∴∠AEO+∠OEB=90°,∴∠CEB=∠AEO, ∵OA=OE,∴∠AEO=OAE,∴∠CEB=∠EAC. ∵CM平分∠ACD,∴∠ECM=∠ACM.∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM. ∴∠ENM=∠EMN.∴EM=EN; (3)由(2)知EM=EN,∠EMN=∠ENM,∴∠EMN=∠BNC. ∵∠ECM=∠BCN,∴△EMC∽△BNC. ∵N是CM 的中点, ∴EM=2BN,CE=2BC. ∵∠BEC=∠EAB,∠BCE=∠ECA,∴△BEC∽△EAC. ∴AE=2BE. 在 Rt△ABE中, ∴BE=9. ∵EN=EM=2BN, ∴EN的长为6. 1 学科网（北京）股份有限公司 $