第26章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）数学华东师大版九年级下册

第26章 二次函数(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 3．（本题4分）二次函数经过，两点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（本题4分）若要得到抛物线，可以将抛物线（    ） A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 5．（本题4分）已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 6．（本题4分）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．（本题4分）二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B．C．D． 8．（本题4分）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（　　） A． B． C． D． 9．（本题4分）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④ 10．（本题4分）正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（本题4分）如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 12．（本题4分）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 13．（本题4分）当时，函数的最大值与最小值之和是 ． 14．（本题4分）二次函数（其中为常数，且）的图象过点，（其中为常数）．则关于的方程的方程的解为 ． 15．（本题4分）对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属和合函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3属和合函数”． （1）若一次函数为“1属和合函数”，则的值 ； （2）已知二次函数，当时，是“属和合函数”，则的取值范围 ． 16．（本题4分）如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值； (2)点在此函数图象上，求的值； (3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 18．（本题8分）已知二次函数， (1)若，求函数的对称轴和顶点坐标； (2)若函数图像向下平移1个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值； (3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 19．（本题10分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，的三个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，将球上的数字记为，则二次函数的图象开口朝下的概率为_____； (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点在第三象限的概率． 20．（本题10分）已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 21．（本题10分）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 22．（本题10分）如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．（本题10分）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 24．（本题10分）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25．（本题10分）如图，在等边中，点在上，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：； (3)如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数(高效培优单元测试·强化卷) (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数定义，形如的函数．选项A和D含有分式，不是整式；选项B简化后为一次函数；选项C符合定义． 【详解】∵ 二次函数形式为， 对于A：，在分母，不是整式； 对于B：，展开得，为一次函数； 对于C：，满足，是二次函数； 对于D：，x在分母，不是整式； 故选C． 2．（本题4分）二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 根据二次函数的解析式，由于，抛物线开口向上，且最小值为4，因此始终为正，图象不经过的象限． 【详解】∵ ，， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， ∴函数值始终为正数， ∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限． 故选A． 3．（本题4分）二次函数经过，两点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数值的比较大小，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 通过二次函数的解析式，得出抛物线的开口及对称轴，利用抛物线的特征直接比较大小即可． 【详解】解：根据二次函数得，， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大， 点距离对称轴为2，点距离对称轴为， ∴， 故选：C． 4．（本题4分）若要得到抛物线，可以将抛物线（    ） A．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线平移的规律：根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，分析目标函数相对于原函数的变换. 【详解】解：∵ 可由 先向右平移2个单位长度得到 （右减），再向上平移3个单位长度得到 （上加）； ∴ 平移方式为先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度. 故选：C. 5．（本题4分）已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 6．（本题4分）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 7．（本题4分）二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质确定二次项、一次项系数、常数项的符号是关键． 根据二次函数图象得到，再根据一次函数，反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象开口向下，对称轴直线，函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴A选项的图象符合题意， 故选：A ． 8．（本题4分）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离． 【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， ∵在图3中，， ∴． 过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的． ∵点O是的中点， ∴． ∴， 同理可知：图1液面的右端点是 根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴， 设这个抛物线的解析式为：， 则由图1可知，抛物线经过点和点， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式是：． 令， 解得 ∴，， 又∵， ∴， ∴在中，， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式是：， ∵直线经过点，， ∴ 解得：， ∴直线的解析式是：， 将抛物线与直线的解析式联立得： ， 解得：或， ∴， 又∵， ∴ 故选：B． 9．（本题4分）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 10．（本题4分）正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据时，点的位置即可判断①；当时，根据点的位置表示出的面积，即可判断②；分别令时和时的面积为，根据方程解的个数即可判断③． 【详解】解：①∵四边形是正方形，， ∴； 由题意知，当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴，故此序号正确； ②由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离 处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为； 当时，点的位置如图所示： 此时，，， 过点作交于点，则有为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误； ③由②知，当时，令， 解得：； 当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴， 令， 化简得：， 解得：（负值舍去）； 综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误； ∴正确的结论有一个． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（本题4分）如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 【答案】0 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得； 故答案为：0． 12．（本题4分）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 13．（本题4分）当时，函数的最大值与最小值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，最小值可能在区间端点处，计算顶点坐标和端点函数值，比较后求和． 【详解】解：由，配方得，故对称轴为直线，顶点为 ，由于开口向下，且，顶点在区间内，故当时，取得最大值； 当 时，； 当时，； 比较函数值，最小值为， 因此最大值与最小值之和为， 故答案为：． 14．（本题4分）二次函数（其中为常数，且）的图象过点，（其中为常数）．则关于的方程的方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴为，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴方程是本题求解的关键． 根据，两点纵坐标相同，可得到对称轴为，考虑为二次函数上的点，故为方程的一个根，根据对称性，得到关于的对称点，得到方程的第二个解，从而得到方程的解． 【详解】解：∵ 二次函数图像经过，两点纵坐标相同， ∴二次函数图像对称轴为， ∵为二次函数上的点， 故为方程的一个根， 根据对称性得到在二次函数上关于的对称点为， 故图象亦经过点， 故为方程的第二个根， 关于的方程的方程的解为或， 故答案为：或． 15．（本题4分）对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属和合函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3属和合函数”． （1）若一次函数为“1属和合函数”，则的值 ； （2）已知二次函数，当时，是“属和合函数”，则的取值范围 ． 【答案】 a＝1或a＝﹣1 【分析】（1）分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论； （2）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属和合函数”的定义即可得出结论； 【详解】解：（1）当a＞0时， ∵1≤x≤5， ∴a-1≤y≤5a-1， ∵函数y=ax-1（1≤x≤5）为“1属和合函数”， ∴（5a-1）-（a-1）=5-1， ∴a=1； 当a＜0时，（a-1）-（5a-1）=5-1， ∴a=-1， ∴a＝1或a＝-1； （2）∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a， ∵当-1≤x≤1时，y是“k属和合函数”， ∴当x=-1时，y=a2-4a-3， 当x=1时，y=a2+8a-3， 当x=a时，y=4a2+2a， ①如图1，当a≤-1时， 当x=-1时，有ymax=a2-4a-3， 当x=1时，有ymin=a2+8a-3 ∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k， ∴k=-6a， ∴k≥6； ②如图2，当-1＜a≤0时， 当x=a时，有ymax=4a2+2a， 当x=1时，有ymin=a2+8a-3 ∴（4a2+2a）-（a2+8a-3）=2k， ∴k=（a-1）2， ∴≤k＜6； ③如图3，当0＜a≤1时， 当x=a时，有ymax=4a2+2a， 当x=-1时，有ymin=a2-4a-3 ∴（4a2+2a）-（a2-4a-3）=2k， ∴k=＜k≤6； ④如图4，当a＞1时， 当x=1时，有ymax=a2+8a-3， 当x=-1时，有ymin=a2-4a-3 ∴（a2+8a-3）-（a2-4a-3）=2k， ∴k=-6a， ∴k＞6； 即：k的取值范围为k≥. 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 16．（本题4分）如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值； 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵，， ∴点，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入可得， ，解得：， ∴， 设， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最小， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值； (2)点在此函数图象上，求的值； (3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)对称轴；顶点坐标． 【分析】本题考查了二次函数的定义、性质及函数图象上点的坐标的特征，关键是熟练应用知识点解决问题． （1）由二次函数的定义可得最高次项次数为且系数不为，进而求得的值； （2）将点的坐标代入图象解析式，即可求出的值； （3）利用对称轴公式及顶点坐标公式即可求得． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：∵当时，函数为， ∵点在函数上， ∴． （3）解：∵， ∴对称轴为， ∵ ， ∴顶点坐标． 18．（本题8分）已知二次函数， (1)若，求函数的对称轴和顶点坐标； (2)若函数图像向下平移1个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值； (3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为 (2) (3)见详解 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、平移、与 轴交点及不等式证明，运用代数运算与转化思想；关键是熟练二次函数性质及代数变形，易错点是平移后解析式错误、判别式应用不当或完全平方展开出错． （1）用对称轴公式和代入法求顶点； （2）平移后用判别式求； （3）先由条件得对称轴求，再代入点坐标整理式子，利用完全平方非负性证明． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， 对称轴公式为，此时，，所以； 将代入函数得； 所以顶点坐标为； （2）解：函数图像向下平移个单位后，解析式为 因为平移后与轴只有一个交点，所以判别式 解得； （3）解：的对称轴为，解得； 此时函数解析式为 ∵点，在抛物线上， ∴， 则 ∵ ∴ 又∵是不同的两点 ∴，即 ∴ 19．（本题10分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，的三个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，将球上的数字记为，则二次函数的图象开口朝下的概率为_____； (2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点在第三象限的概率． 【答案】(1) (2)点在第三象限的概率为 【分析】本题考查了概率的算法、列树状图法求概率、二次函数的图像及性质，关键是熟练应用知识点解决问题； （1）根据二次函数的图像与性质可知：当时，该二次函数的图像开口朝下，然后结合题意，由简单概率计算公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，并结合题意，即可获得答案． 【详解】（1）三个数值有个负数， 所以从中任取一球，将球上的数字记为，则二次函数的图象开口朝下的概率； 故答案为：； （2）画树状图为：    如图所示，共有种等可能的结果，它们是，，，，，， 其中有个点在第三象限，它们是， 所以点在第三象限的概率：. 20．（本题10分）已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)1，3，图象见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； （3）∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 21．（本题10分）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1)该套装的销售单价应该定为140元 (2)当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出方程，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）设该套装的售价降低元，根据总利润=（销售单价-成本价）×销售数量，列方程求解，求解即可； （2）依据题意，每周出售该套装所获利润，再结合，从而当时，每周出售该套装所获利润最大，最大利润为42250元； 【详解】（1）解：设该套装的销售单价降低元，则销售单价为元，每周能销售套， 根据题意，得， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； （2）解：设每周的利润为y元，销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大，最大利润为42250元， 此时销售单价为元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 22．（本题10分）如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图象见详解；当时，函数有最大值为6 (3) 【分析】（1）求出，， 当时，即可求出，当时，，即可得到；证明，得到，从而求出； （2）根据函数解析式，列表，描点，连线即可求解，根据函数图象即可得到的一条性质当时，函数有最大值为6； （3）求出与交点横坐标约为，结合图象可得当时，﹒ 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，， ∴， ∴， 如图1，当时，， ∴， 即， 如图2，当时，， ， 即﹒ 综上所述：； ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：平面直角坐标系中，函数，的图象如图： 函数的性质，当时，函数有最大值为6； （3）解：由函数图象得与交点横坐标约为， ∴当时，﹒ 【点睛】本题为函数与几何综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性强﹒ 23．（本题10分）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，当时，；，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2）解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； （3）解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 24．（本题10分）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则，求出的长，利用二次函数的性质求出最值即可得； （3）先求出新抛物线的解析式为，再求出，，，直线的解析式为，然后分两种情况：①过点作，交新抛物线于点，则，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得；②作，交新抛物线于点，交直线于点，根据等腰三角形的判定可得，据此可得，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：抛物线， 将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 将代入得：，解得或， ∴， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，且， ∴点的横坐标为， 将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ①如图，过点作，交新抛物线于点，则， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点）或， ∴； ②如图，作，交新抛物线于点，交直线于点， ∴， 设点的坐标为， ∴， ， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点）或， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与图形的综合、二次函数最值问题、二次函数图象的平移、等腰三角形的判定、二次函数与二元一次方程组的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 25．（本题10分）如图，在等边中，点在上，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：； (3)如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理、二次函数的应用等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形、直角三角形． （1）过点D作，垂足为H，把分成两个直角三角形，含的直角三角形， 等腰直角三角形，由此可得：，，，进而求解； （2）在上取点K，使得是等边三角形，，设，再证明，从而可得，，由此即可证明结论； （3）取的中点N，连接，得中位线，构造直角三角形（）由勾股定理表示出长与关系，根据二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为H，如图1， ∵在等边中，， ∴， ， ∴，， 设，则，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， 故，， ∴， ∴； （2）在上取点K，使如图2， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ （3）取的中点N，连接，如图3， ∵， ∴，， ∵在等边中，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ， 在中，，其中， ∴， ∴当时，最小，此时：， ∴. 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $