5.6 直线和圆的位置关系 同步学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦“直线和圆的位置关系”，核心涵盖三种位置关系的判定与性质、切线的性质与判定定理、三角形内切圆与内心等知识点。通过衔接圆的基本性质，以定义加判定加特征的结构化梳理搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料知识梳理逻辑清晰，易错提醒精准，同步训练题型丰富且解答详细。通过强调切线判定的双条件、辅助线作法指导培养推理意识，结合实际问题应用发展数学眼光，助力学生提升几何直观与应用意识。

5.6 直线和圆的位置关系 知识梳理 核心结论：本节核心是掌握直线和圆的三种位置关系（相交、相切、相离）的判定与性质，重点理解切线的性质和判定定理，以及三角形内切圆、内心的概念，核心用于位置判断、切线证明和相关计算。 一、直线和圆的三种位置关系（定义+判定+特征） 直线和圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系决定，具体分类如下： 1. 相交： · 定义：直线与圆有两个公共点（这两个点称为交点）。 · 判定：d < r（反过来，直线与圆相交则d < r）。 1. 相切： · 定义：直线与圆有唯一公共点（这个点称为切点，这条直线称为圆的切线）。 · 判定：d = r（反过来，直线与圆相切则d = r）。 1. 相离： · 定义：直线与圆没有公共点。 · 判定：d > r（反过来，直线与圆相离则d > r）。 二、切线的核心性质与判定定理 1. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 · 关键逻辑：若直线是圆的切线，切点为某点，则连接圆心与该切点的半径，与这条切线垂直。 · 常用辅助线：解决切线相关问题时，常连接“圆心与切点”，构造直角三角形（90°角）。 2. 切线的判定定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 · 两个必备条件：① 直线经过半径的外端（端点在圆上）；② 直线与这条半径垂直（缺一不可）。 · 判定思路：若要证明某直线是圆的切线，可先找直线与圆的公共点（若已知则连半径证垂直，若未知则作垂线证距离等于半径）。 三、三角形的内切圆与内心 1. 核心定义： · 三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆（唯一存在）。 · 三角形的内心：内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 1. 内心的关键性质： · 内心到三角形三边的距离相等（均等于内切圆的半径）。 · 内心的位置：无论锐角、直角、钝角三角形，内心都在三角形内部。 · 相关计算：三角形的面积S = ×周长l×内切圆半径r（通过将三角形分割为三个以内心为顶点、三边为底的等高三角形推导）。 四、核心应用场景 1. 位置关系判断：通过计算圆心到直线的距离d，与半径r比较，判断直线是相交、相切还是相离（如判断圆与坐标轴的位置关系）。 1. 切线证明：利用判定定理，先连半径（或作垂线），再证垂直（或证距离等于半径）。 1. 计算应用： · 求切线长（圆外一点到圆的切线的长度，可通过直角三角形勾股定理计算）。 · 求内切圆半径（已知三角形周长和面积，用S = lr推导r = ）。 1. 实际问题：如测量光盘直径、估测河流宽度（利用切线性质转化为几何计算）。 五、易错提醒 1. 遗漏切线判定的条件：仅“直线垂直于半径”或“直线过半径外端”都不能判定为切线，必须同时满足两个条件。 1. 混淆内心与外心：内心是“三条角平分线的交点”，到三边距离相等；外心是“三条垂直平分线的交点”，到三个顶点距离相等，避免混淆两者的定义和性质。 1. 误判位置关系：计算d（圆心到直线的距离）时出错，或混淆d与r的大小关系，导致位置关系判断错误（如d < r误判为相离）。 同步训练 一、单选题 1．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 2．已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 3．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，切于点P，交于点B，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为 ° 9．如图，，分别与相切于，两点，若，，则的长为 ． 10．如图，半径为分别切于，连接并延长交延长线于，则线段的长度为 ． 11．如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ． 三、解答题 12．如图，为的直径，弦平分，过点D作于点E． (1)与的有怎样的位置关系？并说明理由？ (2)若，，求此圆的半径． 13．如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，延长交于，求的长． 14．如图，为圆O的直径，点F 在圆O上，，点P 在的延长线上，与圆O相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上一点，交于点，连接、． (1)求证：平分． (2)若， ①求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 《5.6 直线和圆的位置关系 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册》参考答案 1．A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据垂线段最短，圆心到直线上一点的距离为5，则圆心到直线的距离，结合半径，判断直线与圆的位置关系为相交或相切. 【详解】解：∵ 圆心O到直线上一点P的距离， 且圆心到直线的距离d为垂线段的长， ∴（垂线段最短）。 ∴ , ∵ 圆的半径， ∴ 当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切, ∴ 直线与圆相交或相切, 故选D. 3．D 【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的判定及性质等，掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角是解题的关键．连接，由直径所对的圆周角为直角得，由切线的性质得，结合等腰三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 切于点P， ， ， ， 故选：C． 6．C 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 8．50 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，由圆周角定理可得出，根据圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故答案为：． 9． 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于，两点，若，， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，角平分线的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径． 10． 【分析】根据切线的性质，特殊角的三角函数解答即可． 本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵半径为分别切于， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键． 连接，根据切线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，最后利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，． 故答案为：． 12．(1)与相切，理由见解析 (2)圆的半径是5 【分析】本题考查了等边对等角，切线的判定定理，角平分线的性质定理，勾股定理． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，则，根据得到，即可得到与相切； （2）圆的半径是r，过点D作垂直，根据角平分线的性质定理得到，证明，得到，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：与相切，证明如下： 如图，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， 则， 又∵， ∴， ∴与相切； （2）解：设圆的半径是r， 如图，过点D作垂直， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得：． 13．(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：由（1）知， ，，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）由切线的性质得，再证，，进而可得，即可证明结论； （2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴． 15．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的判定和性质，垂径定理、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）先根据圆的切线的性质得出，再根据平行线的判定得出，然后根据平行线的性质得出，最后根据等腰三角形的性质、等量代换可得，由此即可得证； （2）①先根据平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理即可得； ②如图，先根据垂径定理得出，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①， ， ， ； ②如图，作于点， 则， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $