2.1　分式的概念及基本性质 教学设计 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

2.1　分式的概念及基本性质 第1课时　分式的概念 课题 第1课时　分式的概念 授课人 教 学 目 标 1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感. 2.了解分式和整式的概念,明确分式与整式的区别. 3.理解并掌握分式有意义、无意义及值为0的条件. 4.让学生识别整式与分式,理解并掌握分式的概念. 5.让学生体会从分数变化到分式的过程,从中感悟采用类比的思想方法去解决实际问题. 6.经历分式概念的自我构建过程,学会与人合作,并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等. 教学 重点 　　1.正确理解分式的概念,会用分式表示实际问题中的数量关系. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为0的条件. 教学 难点 　　能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为0的条件. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.复习提问:什么是整式?什么是单项式?什么是多项式? 2.下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式? ,,,2x+y-2xy2,-2ab,π,-2x+y2,. 联系前面所学的内容,从而展开课题. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 (1)面积为2平方米的长方形的一边长为3米,则与它相邻的另一边长为 　米;  (2)面积为S平方米的长方形的一边长为a米,则与它相邻的另一边长为 　米;  (3)已知长方形的周长是16 cm,一边长是a cm,则与它相邻的另一边长是　(8-a)　 cm;  (4)n公顷麦田共收小麦m吨,平均每公顷麦田产小麦 　吨.  　　以列分式的形式进行课堂引入,根据分式的特点,让学生学会辨识分式. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 分式的概念 教师利用多媒体展示问题:在上面所列的代数式中,哪些是整式?哪些不是?它们的分子、分母有何特点?你能由分数的形式(整数除以整数),给上面不是整式的代数式取一个名字吗?(由此引入新课)今天我们再认识代数式家族中新的一员——分式. 总结:设f和g都是多项式,其中g不为零多项式.我们把f除以g的结果记作,称是分式,其中f称为分子,g称为分母. 【探究2】 分式有意义的条件 我们知道除数不能为0,通过学生思考、讨论等活动,让学生充分认识到分式有意义的条件:分母不能为0. 总结:分式有意义的条件是分母不等于0. 【探究3】 分式的值为0 学生通过知道0除以任何不为0的数都得0,得到要想使分式的值为0,就要使分式的分子等于0(当然分式的分母不为0,否则分式无意义). 总结:若分式的分母不为0、分子为0,则分式的值为0. 　　围绕三个知识点,就区别与形式进行小组探究,从问题中发现、总结知识的特点与规律,通过活动更能让学生在实践中形成学习、观察、计算、应用的一体化. 【应用举例】 例1　判断下面的式子哪些是分式: (1);(2);(3);(4);(5); (6)2x2+;(7);(8)-5;(9)5x-7;(10); (11)3x2-1;(12);(13)+m2. 例2　已知分式. (1)当x取哪个数时,的值不存在? (2)当x取哪个数时,的值等于0? 例3　(1)当x取3时,分式的值是多少? (2)当x取-0.4时,分式的值是多少? 　　通过例题教学使学生掌握基础知识,以及解决数学问题的基本技能,拓宽学生的解题思路,增强学生解决问题的能力. 【拓展提升】 例4　对于分式,当x=1时,下列结论正确的是 (A) A.分式无意义　　　　　　　B.分式的值为1 C.分式的值为0 D.分式的值为 例5　若表示一个整数,则整数m可取的值的个数是 (B) A.9个　　　　B.8个　　　　C.7个　　　　D.无数个 例6　若分式的值为0,求x的值.[答案:x=-3] 例7　有若干个数,依次记为a1,a2,a3,…,an.若a1=-,an+1=(n=1,2,3,…),求a2026的值. 解:因为a1=-,an+1=,所以a2=,a3=3,a4=-,…,因此三个一循环.因为2026÷3=675……1,所以a2026=a1=-. 　　拓展提升,加强课堂,从知识层次和深度上都多角度得到深化,并结合前面所学知识(如绝对值,代入检验、因式分解等)为数学的整体性与综合性教学做好示范. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P25练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P29习题2.1T1,T2. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 引导与发现教学,用数、式的特性去类比分数,引导学生独立思考、小组协作,完成对分式概念及意义的自主构建,突出数学合情推理能力的培养,在教学中加强应用性,通过“应用新知”“深化拓展”两个环节,发现分式与现实生活及其他学科的密切联系,发展数学应用意识,树立“分式”模型. ②[讲授效果反思] 抓住本课的三个知识点,即分式概念、分式的值、分式有无意义,突破分母是否等于0的含义,就能准确而有效地把握课堂,让学生轻松地学习数学. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第2课时　分式的基本性质 课题 第2课时　分式的基本性质 授课人 教 学 目 标 1.理解分式的基本性质. 2.会用分式的基本性质将分式变形. 3.能正确地利用分式的基本性质对分式进行约分. 4.让学生掌握分式的基本性质在变号法则中的应用. 5.让学生掌握类比转化的数学思想. 6.使学生理解并掌握分式的基本性质,能运用这些性质进行分式的恒等变形,并通过恒等变形提高学生解决实际问题的能力. 7.通过学生的合作探讨,让学生树立学习数学的信心和兴趣. 教学 重点 　　理解并掌握分式的基本性质并运用其性质对分式进行适当的变形. 教学 难点 　　灵活地应用分式的基本性质将分式进行变形. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.分数的基本性质是什么? 2.如何列分式? 3.如何将一个分数进行化简? 4.把下列多项式因式分解:(1)x2-2x;(2)3x2+3xy. 　　设计4个与课堂紧密相关的问题,为掌握分式的基本性质,首先从已学的分数的基本性质入手,利用类比的方法进行综合性的发散. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 (1)请同学们考虑:与相等吗?与相等吗?你是怎样得出答案的,为什么? (让学生在交流合作中对分数进行变化分析) (2)说出与之间变形的过程,与之间变形的过程,并说出变形依据. (要求学生将各小组活动的意见表述出来) (3)归纳:分数的基本性质是　　　　　　　　　　　.  思考:由于分式与分数有许多类似之处,你能利用上述分数的基本性质,类比出分式有什么性质吗?这节课我们就根据分数的基本性质来谈谈分式的基本性质. 　　本引入采用类比的教学法,利用分数与分式的相似之处,通过分数的变化进行导引,轻易地导入新课. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 分式的基本性质 下列等式的右边是怎样从左边得到的? (1)=(y≠0);(2)=. 分析:在(1)中,因为y≠0,利用分式的基本性质,在的分子、分母中同乘y,即可得到右边,即==. [师] 在(1)中,题目告诉你y≠0,因此我们可用分式的基本性质直接求得.可(2)中右边又是如何从左边得到的呢? 分析:在(2)中,可以分子、分母同除以x得到, 即==. “x”如果等于“0”,就不行. 在中,x不会为“0”,如果x为“0”,中分母就为“0”,分式将无意义,所以(2)中虽然没有直接告诉我们x≠0,但要使有意义,bx≠0,由此可得b≠0且x≠0. 总结:分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为0的公因式),所得分式与原分式相等.即对于分式,有=(h≠0),=(h≠0). 【探究2】 分式符号的变化 利用分式的基本性质,可在不改变分式的值的情况下,对分式的分子和分母都进行符号的变化. 每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号,其中两个符号同时改变,分式的值不变. 注意:(1)根据分式的意义,分数线代表除号,又起到括号的作用.(2)当括号前添“+”号时,括号内各项的符号不变;当括号前添“-”号时,括号内各项都变号. 总结:==-=-,-===-. 【探究3】 约分 [师] 利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式进行化简. 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个不为0的公因式,使分式的值不变,所以要找准分子和分母的公因式.约分的结果是整式或最简分式. 在进行分式约分时,若分子和分母都是多项式,则往往需要先把分子、分母因式分解(即化成乘积的形式),然后再进行约分. 归纳:分式的约分运算时用到的知识: (让学生发表,互相补充,归结) ①因式分解;②分式的基本性质;③分式中符号变换规律. 　　教育学生全面认识教学内容,对教材的三个知识点都进行细致合理地探究,利用类比的方式与方法,深层次地将符号的变换规律和约分的内在含义,通过学生自主学习,得到充分的挖掘,实现知识的完全解剖. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　根据分式的基本性质填空: (1)=;(2)=;(3)=. 例2　不改变分式的值,将分式中的分子、分母的各项系数化为整数,且第一项系数都是正整数,正确的是 (D) A.　　　B.　　　C.　　　D. 例3　不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.,,-,-,-. 解:=,=-,-=,-=,-=-. 例4　把下列分式化成最简分式:(1);(2). [答案:(1)　(2)] 例5　当x=5,y=3时,求分式的值. [答案:] 　　从基础题入手,先练习,再反复变化,从数到性质,从方法到技巧都进行完美设计,使学生学有所用,学而会用,学会变通. 【拓展提升】 例6　化简的结果是 (B) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D. 例7　下列各式中正确的有 (B) (1)=x+3;(2)=;(3)=0; (4)=-;(5)=-; (6)=-;(7)=-. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例8　不改变分式的值,把分式中的分子、分母的各项系数化为整数,并使次数最高项的系数为正数. [答案:-] 例9　(1)当m=5时,求分式的值; (2)当m=3,n=4时,求分式的值. [答案:(1)　(2)-4] 　　让学生在教材知识的基础上,从巩固的角度得到拓展与延伸. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P28练习T1,T2,T3. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P29习题2.1T3,T4,T5,T6,T7. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本课的导入要与小学的知识衔接才能实施出好的效果,从类比的角度渗入到分式的知识点上来,将导入形成知识网络,便于学生学习. ②[讲授效果反思] 三个知识点都是围绕分式的基本性质展开的,所以本课的重点是要讲透、讲清分式的基本性质、挖掘分式的内在规律、突破分式的形式变化、实现分式的应用. ③[师生互动反思] 有效的比较,有效的分析,使学生发挥学习活动中的主体性,创建好的学习氛围,实现教师的概括性作用,师生活动安排合理、有序,教学才有特色,有魅力,有成效. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $