24.4.1解直角三角形及简单应用 教学设计2025－2026学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“解直角三角形及简单应用”，通过课前小测复习直角三角形三边、锐角、边角关系，以“已知部分元素求未知元素”的问题导入，搭建旧知到新知的学习支架，梳理解直角三角形的定义与已知条件类型。 特色在于以实际问题驱动探究，如大树折断（已知两边）和航船测灯塔（已知一边一锐角）案例，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过合作分析构造直角三角形，培养推理意识与几何直观，当堂检测强化应用，助力教师突破重难点，提升学生解决实际问题的信心。

《解直角三角形及简单应用》 一、教学基本信息 课题：解直角三角形及简单应用 课时：1 课时（45 分钟） 学段：初中数学 对应课件章节：第二十四章 24.4.1 解直角三角形及简单应用 二、教学目标 知识与技能：理解解直角三角形的定义，掌握直角三角形中边与边、角与角、边与角的关系，能根据已知条件（两条边或一条边和一个锐角）解直角三角形；能将实际问题转化为解直角三角形问题，运用相关知识解决实际应用问题。 过程与方法：通过合作探究、例题分析，培养学生观察、分析和转化问题的能力，提升运用勾股定理、锐角三角函数解决问题的实操能力。 情感态度与价值观：感受数学与实际生活的紧密联系，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识和信心。 三、教学重难点 重点：解直角三角形的定义、两种已知条件类型，以及运用相关关系解直角三角形；实际问题转化为解直角三角形问题的方法。 难点：将非直角三角形的实际问题通过添加辅助线构造直角三角形，进而求解。 四、教学准备 多媒体课件（对应 PPT 内容） 课前小测练习题单 课堂探究任务单 五、教学过程 （一）课前小测，复习旧知（5 分钟） 出示课前小测题目，学生独立完成： 三边之间的关系：a²+b²=______； 锐角之间的关系：∠A+∠B=______； 边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=______。 核对答案，强调直角三角形的核心关系，为新课学习铺垫基础。 （二）问题导入，引出课题（5 分钟） 提出问题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，共有六个元素 （三条边、三个角），其余五个元素之间有怎样的关系？ 结合课前小测内容回顾旧知。 进一步提问：如果已知其中部分元素，能否求出其他未知元素？引出课题 —— 解直角三角形及简单应用。 （三）合作探究，掌握新知（20 分钟） 1. 探究一：已知两边解直角三角形 出示例题 1：一棵大树在地震中于离地面 5 米处折断， 树顶落在离树根 12 米处，求大树折断前的高度。 学生分组讨论：如何将实际问题转化为直角三角形问题？需要运用哪些知识求解？ 师生共同分析：折断的大树、地面构成直角三角形，已知两条直角边（5 米和 12 米），先用勾股定理求出斜边（折断部分长度），再计算总高度。 板书解题过程，总结已知两边解直角三角形的思路：利用勾股定理求第三边，结合三角函数求锐角（可选）。 归纳: 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2. 探究二：已知一边和一锐角解直角三角形 出示例题 2：航船在 A 处测到北偏东 60° 的灯塔 B，向东以 20 海里 / 小时航行 2 小时到 C 处，又测到灯塔 B 在北偏东 15° 方向，求此时航船与灯塔的距离。 引导学生分析：通过作辅助线 CD⊥AB 构造直角三角形，先根据航行距离求出 AC 长度，再利用锐角三角函数分别在两个直角三角形中求解。 学生尝试独立完成部分步骤，教师巡视指导，重点讲解辅助线构造方法和角度转化技巧。 总结已知一边和一锐角解直角三角形的思路：利用三角函数求未知边，结合两锐角互余求另一个锐角。 3. 探究归纳 明确解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程。 提问：解直角三角形有几种已知条件情况？ 师生共同归纳：除直角外，已知两个元素（至少一个是边），即两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。 （四）当堂检测，巩固提升（10 分钟） 出示当堂检测题目，学生独立完成： 选择题：钢管加固树木问题（已知直角边和锐角，求斜边）； 归纳: 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 填空题：海防哨所观测船只问题（构造直角三角形求解距离）、平面直角坐标系中 tan∠ABO 的计算； 解答题：标杆测量楼房高度、三角形中 AD 长度及面积计算。 核对答案，针对易错点进行重点讲解，强化解题方法和步骤。 （五）课堂总结，布置作业（5 分钟） 课堂总结：回顾解直角三角形的定义、条件和核心思路，强调实际问题转化的关键是构造直角三角形。 布置作业： 基础性作业：课后练习 1、2 题；配套练习基础巩固。 拓展性作业：配套练习素养提升。 六、板书设计 解直角三角形及简单应用 核心关系（Rt△ABC，∠C=90°） 三边：a²+b²=c² 锐角：∠A+∠B=90° 边角：sinA=，cosA=，tanA= 定义：已知元素→未知元素（至少 1 个边） 已知条件类型 两条边 一条边 + 一个锐角 实际应用：转化问题→构造直角三角形→求解 例题 1（已知两边） 例题 2（已知一边一角） 七、教学反思（课后填写） 学生对辅助线构造的掌握情况是否达标； 实际问题中角度转化和题意理解的难点突破效果； 后续需强化的知识点和解题技巧。 学科网（北京）股份有限公司 $