第4章一元一次方程（新定义问题）专项练习 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 第4章一元一次方程 （新定义问题巩固练习） 【典型例题】 【例1】设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【例3】定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【例4】设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 【例5】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由． 【例6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【举一反三】 【变式1】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是 ． 【变式2】如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出：4个数，当时， ． 【变式3】定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝　 　． 【变式4】在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值． （2）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝　 　． （3）若关于x的两个方程5x与2x﹣mn是同解方程，求此 【变式5】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【变式6】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【巩固练习】 1.我们称使成立的一对数a，b为“相伴数对”（a，b），如：当a＝b＝0时，等式成立，记为（0，0）．若（a，3）是“相伴数对”，则a的值为（    ） A．2 B．﹣ C．﹣1 D． 2.定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是（   ） A． B．-1 C．3 D．6 3.定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 4.我们规定，对于任意两个有理数，有，如．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 5. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”．若关于x的方程和是“兄弟方程”，求的值是 ． 6.一般情况下不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．能使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，3）是“相伴数对”，则x的值为 　 ． 7.定义新运算：x*y＝x+y﹣xy，例如：2*（﹣3）＝2+（﹣3）﹣2×（﹣3）＝5，那么当[（﹣x）*（﹣2）]*2＝2x时，x＝　 ． 8.定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 　 ． 9.定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为_____； ②计算：_______； (2)如果一个“差异数”的十位数字是m，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 10.若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 11.定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 12.已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ； (2)已知，它的伴随多项式，求x的值； (3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【例2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） B． B． C． D． 【答案】A 【例3】定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【例4】设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ． 【答案】 【例5】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由． 【答案】方程与方程是“和谐方程”， 理由如下：由，解得． 由，解得． 因为， 所以方程与方程是“和谐方程”． 【例6】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】（1）解：不是“美好方程”，理由如下： 由，解得：， 由，解得：， ∵， ∴方程与方程不是“美好方程”； （2）解：由，解得：， 由，解得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：． 【举一反三】 【变式1】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是 ． 【答案】4 【变式2】如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出：4个数，当时， ． 【答案】20 【变式3】定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝　 　． 【答案】 【变式4】在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值． （2）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝　 　． （3）若关于x的两个方程5x与2x﹣mn是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【答案】（1）2x＝4x＝2， ，得2m＝m+1， 解得m＝1， （2）9x﹣3＝kx+14（9﹣k）x＝14+3， 解得：， ∵关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解， ∴9﹣k＝±1，±17， 当9﹣k＝1时，k＝8； 当9﹣k＝﹣1时，k＝10； 当9﹣k＝17时，k＝﹣8； 当9﹣k＝﹣17时，k＝26； ∴k＝8，10，﹣8，26； （3）解关于x的两个方程与 得x，x， ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴mn﹣3m﹣3＝0， mn＝3（m+1）， ∵m，n是正整数， ∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【变式5】我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 【变式6】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 【巩固练习】 1.我们称使成立的一对数a，b为“相伴数对”（a，b），如：当a＝b＝0时，等式成立，记为（0，0）．若（a，3）是“相伴数对”，则a的值为（    ） A．2 B．﹣ C．﹣1 D． 【答案】B 2.定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是（   ） A． B．-1 C．3 D．6 【答案】A 3.定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 4.我们规定，对于任意两个有理数，有，如．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 6. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”．若关于x的方程和是“兄弟方程”，求的值是 ． 【答案】 6.一般情况下不成立，但也有数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．能使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，3）是“相伴数对”，则x的值为 　 ． 【答案】 7.定义新运算：x*y＝x+y﹣xy，例如：2*（﹣3）＝2+（﹣3）﹣2×（﹣3）＝5，那么当[（﹣x）*（﹣2）]*2＝2x时，x＝　 ． 【答案】-4 8.定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 　 ． 【答案】11或3.5 9.定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为_____； ②计算：_______； (2)如果一个“差异数”的十位数字是m，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 【答案】（1）解：①两位数30，33，34中，“差异数”为34； 故答案为：34； ②． 故答案为：10． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 10.若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 【答案】（1）解：方程是方程的“滑行方程”， 理由如下： 解方程得：； 解方程得：； ∵， ∴方程是方程的“滑行方程”． （2）解：解方程得：， ∵关于的方程是方程的“滑行方程”， ∴关于的方程的解为， ∴，解得：． 11.定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 【答案】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” （2）解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； （3）解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 12.已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ； (2)已知，它的伴随多项式，求x的值； (3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 【答案（1）解：∵， ∴它的伴随多项式； 故答案为：； （2）解：， 它的伴随多项式， ∵ ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴它的伴随多项式， ∵， ∴， ∴， ∵方程有正整数解，且a为整数， ∴或， 解得： 或 ． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $