精品解析：江苏省宿迁中学2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期高三年级第二次学情调研 数学试题 试卷满分150分考试时间120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集定义计算即得. 【详解】因， 则. 故选：C. 2. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将复数化简整理，得，由此得到点所在的象限． 【详解】解： ∴复数在复平面内对应的点为，为第二象限内的点 故选: 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦化切方法即可直接求解. 【详解】由得. 故选：A 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的定义可知是公差为的等差数列，结合已知条件可求得的值. 【详解】由可得是公差为的等差数列，故. 故选：B. 5. 已知向量和的夹角为，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 6. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】因为是定义在上且周期为2的偶函数，所以 所以. 故选：D. 7. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用函数单调性及特殊值法，再结合充分条件必要条件定义判断. 【详解】已知，若，满足“”但是不满足“； 当时，， 设函数，其定义域为， 因为函数和在上均为增函数， 则在上单调递增，又，所以； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，由弦长公式求得圆心到AB的距离，设AB中点为D，取BD中点为E，求出的长度，得到E点的轨迹为圆，从而由化简得，转化成两圆上的点间的距离问题即可求解． 【详解】设AB中点为D，取BD中点为E， 则由得，， 所以，即E点的轨迹方程为． ． 由于P点在圆上，又， 所以， 即， 所以 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数 B. 过和的直线方程为 C. 函数的极小值点为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，通过举例可判断，对于B，由直线方程两点式可判断，对于C，求导确定单调性即可判断，对于D，通过作差法可判断. 【详解】对于A：满足在区间上是增函数，在区间上也是增函数，但在上不是增函数，故A错误； 对于B：由直线方程的两点式可知，过和的直线方程为，正确； 对于C，由，得或， 当时，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 是函数的极小值点，故C错误； 对于D，由，得， 所以，即，故D错误. 故选：ACD 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为1正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助等角定理与正方形性质计算可得A；找到直线在平面上的投影后利用余弦定理计算即可得B；找到过点且与垂直的平面与侧面的交线，再计算交线长度即可得C；找到点关于平面对称点后连接计算即可得. 【详解】对A：连接，由正方体性质可得，， 则为正三角形，故直线与直线所成角等于，故A正确； 对B：取中点，连接，由正方体性质可得， 又平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 则直线与平面所成角为， 由，，， 则， 则，故，故B错误； 对C：取、中点、，连接、、、、、， 由、为、中点，结合正方体对称性可得为、中点， 由，， 故，则，即， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 又，，、平面， 故平面，又平面，故， 又，故，又，、平面， 则平面，故点轨迹为线段， 又，故点的轨迹长度为，故C正确； 对D：取点关于平面的对称点，连接，则， 故，当且仅当、、三点共线时，等号成立， 取底面中心，中点，三棱锥图象如图： 则， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 命题“”的否定是__________. 【答案】“” 【解析】 【分析】应用特称命题的否定求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：“” 13. 若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 14. 已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，，可得， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 又， 所以，对任意的恒成立， 所以，只需即可， 设，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 又，且， 所以， 所以，则实数的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解.（2）利用，将化简为，再利用三角恒等变形化简，利用角的范围求函数的值域. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：，因为在锐角中，，， 所以，由于， 则. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 因为在锐角中，，所以 ， ， 的范围是. 16. 已知点，圆. （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）若过点的直线与圆交于两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii），其中为坐标原点，求. 【答案】（1）或 （2）（i），（ii）2 【解析】 【分析】1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解； （2）（i）由圆心到直线的距离小于半径，即可求解；（ii）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得即可得解. 【小问1详解】 当斜率不存在时，与相切， 当斜率存在时，设， 则，解得：， 即， 所以过点且与圆相切的直线方程为或； 【小问2详解】 （i）设，．由（1）可知直线斜率存在， 设直线的方程为． 因为直线与圆交于两点，所以， 解得． 所以的取值范围为． （ii）将代入方程， 整理得， 所以， 所以． 解得， 所以直线的方程为. 圆心到直线的距离，即直线过圆心， 所以. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，. （1）若为线段的中点，求证：平面. （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：以为原点，，，，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用可得结论；法二：取、的中点分别为、，连接、、，利用线线平行证明线面平行； （2）法一：求得平面的一个法向量，利用向量法求得点到平面的距离；法二：利用等体积法求得点到平面的距离； （3）法一：设平面与平面夹角为，利用向量法可求平面与平面夹角的正弦值.法二：延长，交于点，连接.可证为平面与平面所成二面角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 法一：以为原点，，，，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，， 由为线段的中点，可得，. 由题意可得为平面的一个法向量. ，且平面，平面 法二：取、中点分别为、，连接、、， 为的中位线，，. ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 又面，面 平面 【小问2详解】 法一：，. 设为平面一个法向量，则， 不妨设，则. 设点到平面的距离为，则 法二：，，底面，，. ， 设点到平面的距离为，则由可得： ，解得： 【小问3详解】 设平面与平面夹角为，由题意可知，为锐角， 即平面与平面夹角的正弦值为. 法二：延长，交于点，连接. 底面为直角梯形，，，为的中位线. .又底面，，为等腰直角三角形，其中. 同理可证：. 为平面与平面所成二面角的平面角. 在中，，，，. 即平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知等差数列的公差，它的部分项依次组成的数列恰为等比数列，其中. （1）求等比数列的公比； （2）求数列的前项和； （3）若，有求证：对任意实数，均有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比中项和等差数列的通项公式建立方程得到，再求公比； （2）根据等差数列和等比数列的通项公式表示出，求出的通项公式，再利用分组求和法求和； （3）利用错位相减求和求出，再比较大小. 【小问1详解】 由题可知：成等比数列， 所以，即， 整理并化简得：， 因为，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 因为为等差数列， 所以， 又为等比数列，，所以， 所以，即， 所以数列的前项和为： ； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，， 所以， 因为，所以， 又，因为 则 设， 则， 所以， 所以 ， 所以， 又， 所以， 又， 故对任意实数，均有. 19. 已知函数和的图象在处有相同的切线. （1）求实数和的值； （2）求函数的极值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值集合. 【答案】（1） （2）函数只有唯一极大值，无极小值 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求两个函数的导数，根据即可求解； （2）表示函数，求导根据单调性即可求得极值； （3）当时，构造函数，求导，将不等式恒成立问题转化为最值问题解决. 【小问1详解】 ， 据题意有：， 联立解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以函数且， 所以， 因此函数在和单调递减，在和单调递增， 其大致图象如图，故函数只有唯一的极大值，无极小值. . 【小问3详解】 当时，不等式恒成立等价于 不等式恒成立，显然有， 令，则恒成立， 而， 当时，， 所以在上单调递增， 所以，当时，，符合题意； 当时，记， 则抛物线的开口向上，对称轴为， 又， 所以当时，，从而， 所以在上单调递减， 故当时，，不符合题意， 所以， 再令，则恒成立， 而， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，，符合题意， 当时，记， 则抛物线的开口向下，对称轴为， 又， 所以当时，，从而， 所以在上单调递增， 故当时，不符合题意， 综上可知，实数的取值集合为. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数； （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高三年级第二次学情调研 数学试题 试卷满分150分考试时间120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量和的夹角为，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 13 6. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数 B. 过和的直线方程为 C. 函数的极小值点为 D 若，则 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角正切值为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 命题“”的否定是__________. 13. 若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 14. 已知，若对任意恒成立，则实数的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 16. 已知点，圆. （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）若过点的直线与圆交于两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii），其中为坐标原点，求. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，. （1）若为线段的中点，求证：平面. （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知等差数列的公差，它的部分项依次组成的数列恰为等比数列，其中. （1）求等比数列的公比； （2）求数列前项和； （3）若，有求证：对任意实数，均有. 19. 已知函数和的图象在处有相同的切线. （1）求实数和的值； （2）求函数的极值； （3）当时，不等式恒成立，求实数取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $