1.2 二次函数的图形与性质 分类讲义 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

本讲义聚焦北师大版九年级下册二次函数核心知识点，系统梳理二次函数的图象、性质、图象与系数关系、点坐标特征、几何变换及最值六大题型，通过例题与变式题构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以中考真题为载体，突出数学眼光（几何直观、空间观念）与数学思维（推理意识、运算能力）培养，如几何变换题提升空间观念，最值应用题发展应用意识。课中助力教师系统授课，课后练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

北师大版九年级下册第二单元二次函数题型分类讲义 1.2二次函数的图形与性质 【题型一】二次函数的图象 【例1】（2025秋•昆明期中）在同一个平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣b，y＝﹣x+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：A．由于二次函数y＝x2﹣b的开口向上，因此选项A不符合题意； B．由于二次函数y＝x2﹣b的图象过点（0，﹣b）可知b＞0，一次函数y＝﹣x+b过点（0，b）可知b＞0，而两个图象相交于点（1，0），只有当b＝1时成立，因此选项B不符合题意； C．由于二次函数y＝x2﹣b的图象过点（0，﹣b）可知b＞0，一次函数y＝﹣x+b过点（0，b）可知b＜0，两个图象矛盾，因此选项C不符合题意； D．由于二次函数y＝x2﹣b的图象过点（0，﹣b）可知b＞0，一次函数y＝﹣x+b过点（0，b）可知b＞0，因此选项D符合题意 故选：D． 【变式1】（2025秋•西城区校级期中）二次函数y＝x2+mx+m与一次函数y＝mx+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【分析】由一次函数的图象过点（﹣1，0）即可判断A、B、D不合题意，在选项C中，由一次函数的图象可知m＜0，与y轴的交点为（0，m），由二次函数的图象可知m＜0，与y轴的交点为（0，m），一致，符合题意． 【解答】解：∵一次函数y＝mx+m＝m（x+1）， ∴一次函数的图象过点（﹣1，0）， ∴A、B、D不合题意， C、由一次函数的图象可知m＜0，与y轴的交点为（0，m），由二次函数的图象可知对称轴在y轴的右侧，0，即m＞0，与y轴的交点为（0，m），符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025•建德市校级模拟）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确； D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误； 故选：C． 【题型二】二次函数的性质 【例1】（2025秋•苏州校级期中）关于x的二次函数y＝（a2+1）x2﹣5x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】二次函数的性质．版权所有 【分析】根据抛物线与x轴交点的个数分三种情况进行讨论即可． 【解答】解：当（a2+1）x2﹣5x+1＝0时， 当Δ＝（﹣5）2﹣4（a2+1）×1＝21﹣4a2＞0时，即时， y＝（a2+1）x2﹣5x+1， ∵a2+1＞0， ∴开口向上， ∵对称轴为直线x0， ∴对称轴直线在原点的右边， 当x＝0时，y＝1＞0， ∴抛物线与y轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限． 当（a2+1）x2﹣5x+1＝0时， 当Δ＝（﹣5）2﹣4（a2+1）×1＝21﹣4a2＜0时，即或时， y＝（a2+1）x2﹣5x+1与x轴没有交点， ∵a2+1＞0， ∴开口向上， ∵对称轴为直线x0， ∴对称轴直线在原点的右边， 当x＝0时，y＝1＞0， ∴抛物线与y轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二象限，不过第三象限． 当（a2+1）x2﹣5x+1＝0时， 当Δ＝（﹣5）2﹣4（a2+1）×1＝21﹣4a2＝0时，即或时， y＝（a2+1）x2﹣5x+1与x轴只有一个交点， ∵a2+1＞0， ∴开口向上， ∵对称轴为直线x0， ∴对称轴直线在原点的右边， 当x＝0时，y＝1＞0， ∴抛物线与y轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二象限且顶点在x轴上，不过第三象限． 综上可知，关于x的二次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 【例2】（2024•安徽）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）求出抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b的值； （2）先求出h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，（i）列方程即可求出h的值；（ii）求出h关于t的方程，配顶点式求出h最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴， ∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴， t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， （i）∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3； （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2， ， ∵﹣3＜0， ∴当，即时，h取最大值． 【变式1】（2025秋•翔安区期中）如图抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，对称轴为直线x＝0.5，则a﹣b+c的值（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．版权所有 【分析】根据二次函数的图象与性质解答即可． 【解答】解：由图象可知，抛物线经过点（2，0），对称轴为直线x＝0.5， ∴抛物线经过点（﹣1，0），即a﹣b+c＝0， 故选：D． 【变式2】（2025秋•江汉区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，则方程ax2+bx+c＝mx+n的解是x＝﹣2或x＝4　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．版权所有 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4， ∴方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x＝﹣2或4， 故答案为：x＝﹣2或x＝4． 【变式3】（2025秋•惠州期中）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则△PCO周长的最小值是 　　 ． 【考点】二次函数的性质；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的图象．版权所有 【分析】把（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，求出解析式，作点O关于直线x＝1的对称点D，计算CD的长，即可求解． 【解答】解：把（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，则0＝a（3﹣1）2+4， 解得：a＝﹣1， 二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4， 令x＝0，则y＝3， 故C（0，3）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图，作点O关于直线x＝1的对称点D，连接CD交直线x＝1于P点，则PO＝PD， ∴PC+PO＝PC+PD＝CD， ∴此时PC+PO的值最小， ∴此时△PCO周长有最小值， ∵， ∴△PCO周长的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称，二次函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象性质． 【题型三】二次函数图象与系数的关系 【例1】（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴是直线，给出以下结论：①ab＜0；②3a＝2b；③a﹣b+c＞0；④a+4c＞2b，其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．版权所有 【分析】根据抛物线的对称轴方程可判断a、b同号，判断①错误；由对称轴方程可判断②错误；代入x＝﹣1结合图象可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确． 【解答】解：①，a、b同号，故ab＞0，原结论错误； ②由对称轴可知，， ∴2a＝3b，原结论错误； ③当x＝﹣1时，由图象可知y＞0，即a﹣b+c＞0，原结论正确； ④当时，由图象可知y＞0，即，整理得a+4c＞2b，原结论正确． 所以，正确的结论是③④． 故选：C． 【例1】（2025秋•北京期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，过点（﹣1，0）．有以下结论：①b＞0；②4ac＜b2；③4a+2b+c＞0；④2a＝b．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】由抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可确定a＜0，c＞0，再根据对称轴是直线x＝1，即，可确定b＝﹣2a＞0，从而可判断①正确，④错误；根据图象可知二次函数与x轴有两个交点，进而可判断②正确，由图象可知当x＝2时，y＞0，即可判断③． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， 故①正确，④错误； ∵图象可知二次函数与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2， 故②正确， ∵抛物线对称轴是直线x＝1， ∴x＝0和x＝2时，函数值相等． ∵x＝0时，y＝c＞0， ∴4a+2b+c＞0，故③正确； 综上可知，正确结论的个数是3个． 故选：C． 【变式1】（2025秋•西城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．ac＞0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．此函数图象与直线y＝c有两个公共点 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】A．a＜0，c＞0，故ac＜0，即可求解； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可求解； C．抛物线和x轴有两个交点，即可求解； D．从函数图象看，抛物线和直线y＝c有两个交点，即可求解． 【解答】解：A．从函数图象看，a＜0，c＞0，故ac＜0，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线y＝c有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 【变式2】（2025秋•汤原县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【解答】解：①由条件可知b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； ②∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，②正确； ③∵， ∴2a+b＝0，③错误； ④∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，④正确； ⑤当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，⑤正确， ∴正确的有①②④⑤共4个， 故选：D． 【题型四】二次函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025秋•江夏区期中）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】求出抛物线的对称轴和开口方向，然后结合二次函数的对称性和增减性，即可求出答案． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴对称轴是直线x1， ∵二次函数图象与y轴的交点在正半轴， ∴﹣3a＞0， ∴a＜0， ∴二次函数的开口向下， 即在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵B（﹣2，y2）关于直线x＝1的对称点为（4，y2），且1＜2＜3＜4， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 【例2】（2025秋•黄埔区期中）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+7与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，7） B．（0，1） C．（0，5） D．（0，﹣2） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】依据题意，由二次函数为y＝﹣2（x﹣1）2+7，从而令x＝0，则y＝﹣2+7＝5，进而可得二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+7与y轴的交点坐标为（0，5），进而得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣2（x﹣1）2+7， ∴令x＝0，则y＝﹣2+7＝5． ∴二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+7与y轴的交点坐标为（0，5）． 故答案为：C． 【变式1】（2025秋•云龙区期中）已知点（﹣1，y1），（3，y2），（6，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，得到离对称轴越远的点，其y值越小，即可求解． 【解答】解：方法一：∵二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1， ∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点，其y值越小， ∵点（﹣1，y1），（3，y2），（6，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象上， ∴2﹣（﹣1）＝3，3﹣2＝1，6﹣2＝4， 即4＞3＞1， ∴y2＞y1＞y3； 方法二：分别讲A、B、C三点代入得， y1＝﹣8，y2＝0，y3＝﹣15， ∴y2＞y1＞y3； 故选：D． 【变式2】（2025秋•鹿城区校级期中）抛物线y＝x2﹣5x﹣6与y轴的交点坐标为（　　） A．（6，0） B．（﹣1，0） C．（0，6） D．（0，﹣6） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据在y轴上的点的横坐标为0，即把x＝0代入y＝x2﹣5x﹣6进行计算，即可作答． 【解答】解：依题意，令x＝0，则y＝02﹣5×0﹣6＝﹣6， 即抛物线y＝x2﹣5x﹣6与y轴的交点坐标是（0，﹣6）， 故选：D． 【题型五】二次函数图象与几何变换 【例1】（2025秋•黄埔区期中）将函数y＝x2+2x﹣1的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（　　） A．y＝x2+4 B．y＝x2+2 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x+2）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】依据题意，由抛物线为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， 又根据“上加下减，左加右减”的平移规律， ∴向右平移1个单位，再向上平移4个单位后可得，新抛物线为y＝（x+1﹣1）2﹣2+4，即y＝x2+2． 故选：B． 【例2】（2024秋•船营区校级期末）如图，点P（2，3）是抛物线y＝ax2﹣1上的一点． （1）求a的值； （2）若将抛物线y＝ax2﹣1先向右平移2个单位长度，再向下平移t（t＞0）个单位长度恰好经过点A（4，0），求t的值． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）将P（2，3）代入y＝ax2﹣1即可求解； （2）先表示平移后的函数解析式，再代入A（4，0）求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得4a﹣1＝3， 解得：a＝1； （2）由条件可得二次函数的解析式为y＝x2﹣1， ∴经过平移后的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1﹣t， ∴（4﹣2）2﹣1﹣t＝0， 解得t＝3． 【变式1】（2025秋•长沙期中）将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x﹣1）2+3 C．y＝﹣（x+3）2+1 D．y＝﹣（x+3）2﹣1 【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”直接计算，即可作答． 【解答】解：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”可知： 将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， 则平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2+3． 故选：A． 【变式2】（2025秋•思明区校级期中）将抛物线y＝（x﹣3）2+2向下平移1个单位后得到的解析式为 y＝（x﹣3）2+1　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知，抛物线y＝（x﹣3）2+2向下平移1个单位后得到的解析式为y＝（x﹣3）2+1． 故答案为：y＝（x﹣3）2+1． 【变式3】（2025秋•淮安期中）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+5　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【解答】解：根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减可知： 将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度， ∴y＝3（x+2）2， ∵向上平移5个单位长度， ∴y＝3（x+2）2+5， 故答案为：y＝3（x+2）2+5． 【题型六】二次函数的最值 【例1】（2025秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3，则该二次函数的最大值是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．0 【考点】二次函数的最值．版权所有 【分析】根据二次函数的性质即可求得函数的最值． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3， ∴图象开口向下，顶点为（0，﹣3）， ∴该二次函数的最大值是﹣3． 故选：B． 【变式1】（2025秋•姑苏区校级期中）设O为坐标原点，A，B为抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，连接AB，过点O作OC⊥AB于C，则点C到y轴的距离的最大值为　　 ． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AEa2，BFb2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即，可得mab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，），得DO．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大． 【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F， 设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为yx2， 则AEa2，BFb2， 作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D， 设点D（0，m）， ∵DG∥BH， ∴△ADG∽△ABH， ∴，即， 化简得：mab． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOE+∠BOF＝90°， 又∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠BOF＝∠EAO， 又∠AEO＝∠BFO＝90°， ∴△AEO∽△OFB． ∴， 即， 化简得ab＝9． 则m＝ab，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，）． ∵∠DCO＝90°，DO， ∴点C是在以DO为直径的圆上运动， ∴当点C到y轴距离为DO时，点C到y轴的距离最大． 故答案为：． 【变式2】（2025秋•道里区期中）二次函数y＝3x2+6x+2的最小值为 　﹣1　 ． 【考点】二次函数的最值．版权所有 【分析】把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【解答】解：y＝3x2+6x+2＝3（x+1）2﹣1， 当x＝﹣1时，函数值y有最小值，最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式3】（2025秋•长丰县校级月考）如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C运动到C点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y． （1）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式； （2）当t为何值时，y最大？并求出y的最大值． 【考点】二次函数的最值；矩形的性质．版权所有 【分析】（1）分两种情况讨论，求出函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质求出最值即可． 【解答】解：（1）①当P在AB上时，即0≤t≤4时（如图1）， AP＝4t， ∴y4t×24＝48t； ②当点P在BC上时，即4＜t≤10（如图2）， 此时BP＝4t﹣16， 则PC＝24﹣（4t﹣16）＝40﹣4t， y＝24×1616×（4t﹣16）（40﹣4t）×824×8＝﹣16t+256， ∴； （2）当0≤t≤4时，△APE的面积为y＝48t， ∵48＞0， ∴y随着x的增大而增大， ∴当t＝4时，y最大值＝192， 当4＜t≤10时，△APE的面积为y＝﹣16t+256， ∵﹣16＜0， ∴y随着x的增大而减小， ∴当4＜t≤10时，y＞﹣16×4+256＝192， 综上可知，当t＝4时，y取得最大值，y的最大值为192． 【课后练习】 1．（2025秋•云龙区期中）二次函数y＝﹣x2+2的顶点坐标是（　　） A．（0，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣2） 【考点】二次函数的性质．版权所有 【分析】直接由二次函数解析式求解即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2， ∴抛物线的顶点坐标为（0，2）， 故选：A． 2．（2025秋•宛城区校级期中）二次函数y＝﹣2（x+1）2的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣1） 【考点】二次函数的性质．版权所有 【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），进行作答即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）， 故选：B． 3．（2024秋•石景山区期末）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）的顶点在x轴上，则c的值是 　　 ． 【考点】二次函数的性质．版权所有 【分析】根据二次函数性质解答即可． 【解答】解：y＝x2﹣x+c＝（x）2c， ∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）的顶点在x轴上， ∴c＝0， ∴c． 故答案为：． 4．（2025秋•珠海校级期中）二次函数y＝2（x+3）2﹣3的顶点坐标是　（﹣3，﹣3）　 ． 【考点】二次函数的性质．版权所有 【分析】根据二次函数的顶点式解析式进行求解即可． 【解答】解：根据y＝2（x+3）2﹣3＝2[x﹣（﹣3）]2+（﹣3）可知； 顶点坐标为：（﹣3，﹣3）， 故答案为：（﹣3，﹣3）． 5．（2025秋•东湖区期中）若关于x的函数y＝（m+2）x|m|﹣4mx是二次函数，求m的值，并指出x满足什么范围，y随x的增大而增大？ 【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．版权所有 【分析】根据关于x的函数y＝（m+2）x|m|﹣4mx是二次函数可得|m|＝2且m+2≠0，解得m的值，再确定二次函数的对称轴解答x满足什么范围，y随x的增大而增大即可． 【解答】解：∵关于x的函数y＝（m+2）x|m|﹣4mx是二次函数， ∴|m|＝2且m+2≠0， 解得m＝2， ∴y＝4x2﹣8x＝4（x﹣1）2﹣4， ∴二次函数的对称轴为直线x＝1，开口向上， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大． 6．（2025•滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2mx﹣m上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围； （3）把直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与几何变换；二次函数的图象．版权所有 【分析】（1）依据题意，由点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2mx﹣m上，则﹣3＝4m×2﹣m，可得m＝3，从而y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，进而可以判断得解； （2）依据题意，由点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，则﹣4＜a＜4，结合y＝（x﹣1）2﹣4，从而可以判断得解； （3）依据题意，由直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度，则平移后直线为y＝x﹣n，然后在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2﹣2x﹣3与直线为y＝x﹣n的图象，结合当y＝x﹣n过点（0，﹣3）时，n＝3，而当y＝x﹣n与y＝x2﹣2x﹣3相切时，可得n，进而结合函数的图象可以判断得解． 【解答】解：（1）∵点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2mx﹣m上， ∴﹣3＝4m×2﹣m． ∴m＝3． ∴y＝x23x﹣3，即y＝x2﹣2x﹣3． ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由题意，∵点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4， ∴﹣4＜a＜4． 又∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝﹣4时，y＝21；当x＝1时，y取最小值为﹣4；当x＝4时，y＝5． ∴﹣4≤b＜21． （3）∵直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度， ∴平移后直线为y＝x﹣n． 在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2﹣2x﹣3与直线为y＝x﹣n的图象． 当y＝x﹣n过点（0，﹣3）时，则﹣3＝0﹣n， ∴n＝3． 当y＝x﹣n与y＝x2﹣2x﹣3相切时， ∴方程x2﹣2x﹣3＝x﹣n有两个相等的实数根，即方程x2﹣3x﹣3+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝9﹣4（﹣3+n）＝0． ∴n． 又∵直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限， ∴结合图象可得，3＜n． 7．（2025•宁国市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】由一次函数y＝ax+b的图象可知：a＞0，b＜0，然后判断二次函数图象即可． 【解答】解：由一次函数y＝ax+b的图象可知：a＞0，b＜0， ∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x0， 又二次函数y＝ax2+bx的图象过原点， 故选：D． 8．（2025秋•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（　　） A．b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0 C．b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴0， ∴b＞0， ∵函数图象与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 故C选项正确，符合题意． 故选：C． 9．（2025秋•南宁期中）把抛物线y＝﹣2x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+1 D．y＝﹣2（x﹣1）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【解答】解：由题意得平移后得到的抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2， 故选：D． 10．（2025秋•思明区校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线的顶点是（　　） A．（﹣1，3） B．（2，5） C．（5，3） D．（0，2） 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．版权所有 【分析】按照抛物线的平移规求得平移后的函数解析式，根据函数顶点式即可求解． 【解答】解：抛物线y＝3（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是y＝3（x﹣2+3）2+5﹣2，即y＝3（x+1）2+3， 所以平移后的抛物线的顶点是（﹣1，3）． 故选：A． 11．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　3　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）求出x＝0时，函数的函数值，得到B点坐标，即可得出结果； （2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把D点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知B（0，3）， ∴OB＝3； 故答案为：3； （2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴点B向下平移3个单位， ∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同， ∵点C′的纵坐标为﹣2， ∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1； ∵点C在线段AB上，即点C在直线上， ∴当时，， ∴； （3）∵B（0，3），， ∴，把B（0，3）代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y1）关于对称轴的对称点为D′（1，y1）， ∵对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立， ∴m+1＜1或m≥3， ∴m＜0或m≥3． 12．（2025秋•河西区期中）函数y＝2x2+1的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【考点】二次函数的最值．版权所有 【分析】判断出二次函数开口向上，有最小值，在顶点处取最小值． 【解答】解：∵a＝2＞0， ∴函数图象开口向上， ∴二次函数y＝2x2+1，有最小值1． 故选：B． 13．（2025•湖北三模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 　8　 ． 【考点】二次函数的最值．版权所有 【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出SAC•BD，再利用配方法求出二次函数最值． 【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝8﹣x， 则：SAC•BDx（8﹣x）（x﹣4）2+8， 当x＝4时，S最大＝8； 所以，四边形ABCD的面积最大值为8， 故答案为：8． 14．（2025秋•北辰区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B（2，2），D，E分别是边OA、CO上的动点，且OD＝CE．设D（x，0），0＜x＜2，△BDE的面积为S． （1）用含x的式子表示S； （2）当x的值为多少时，S的值最小？求这个最小值． 【考点】二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；坐标与图形性质．版权所有 【分析】（1）根据S△BDE＝S正方形OABC﹣S△BCE﹣S△EOD﹣S△BDA代入数值列出函数关系式即可． （2）对二次函数进行配方，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B（2，2）， ∴BC＝BA＝CO＝OA＝2， ∵D（x，0），0＜x＜2， ∴OD＝x， ∴OD＝CE＝x， ∴OE＝AD＝2﹣x， ∴S△BDE＝S正方形OABC﹣S△BCE﹣S△EOD﹣S△BDA ， 故； （2）， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝1时，S取得最小值，最小值为． 15．（2025秋•南昌月考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． （1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是　﹣2　 ；该抛物线的“极小和”是　　 ． （2）抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2，若﹣2021≤S≤﹣2020，求m2的取值范围． （3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 【考点】二次函数的最值；二次函数的性质．版权所有 【分析】（1）根据题目中的规定得点P（1，﹣3）的“横纵和”为﹣2；根据定义求出x+y是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论； （2）根据定义求出x+y＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，即可得出﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，即可求解； （3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值． 【解答】解：（1）由题意，∵点P（1，﹣3）， ∴“横纵和”是1+（﹣3）＝﹣2， ∵， ∴抛物线的“极小和”是； 故答案为：﹣2；； （2）由题意得，x+y＝x2﹣（2m+1）x﹣2+x＝x2﹣2mx﹣2＝（x﹣m）2﹣m2﹣2， ∵记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为S， ∴S＝﹣m2﹣2， ∵﹣2021≤S≤﹣2020， ∴﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020， ∴2018≤m2≤2019； （3）这个“极小和”有最大值； ∵点和点C（0，c）的“横纵和”相等， ∴ 即：m＝﹣2c， ∴A（﹣c，2c）， ∴2c＝c2﹣bc+c， ∵c≠0， ∴b＝c﹣1， ∴y＝x2+（c﹣1）x+c， ∴， 令y＝x2+（c﹣1）x+c的“极小和”为S， ∴， ∴当c＝2时，S有最大值，最大值为1． 16．（2025秋•通州区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【考点】二次函数的最值；一元二次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6，根据题意，得（7﹣t）•2t＝6，求出t即可； （2）由题意得S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2，再求最大值即可． 【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6， ∵∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝7﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ（7﹣t）•2t＝6． ∴t＝1或t＝6； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴0≤t≤5． ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于6cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2． ∵0≤t≤5， ∴当t时，△PBQ面积最大为． 17．（2025•瑞安市开学）如图，在周长为18的矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上（均不与顶点重合），CF＝1，DF＝2BE，设BE＝x，梯形AECF的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）当x＝2，3时，对应的梯形AECF的面积分别为S1，S2，比较S1，S2的大小，并说明理由． （3）求S的最大值． 【考点】二次函数的最值．版权所有 【分析】（1）利用梯形AECF的面积等于矩形的面积减去2个直角三角形的面积，得到S与x的函数关系． （2）根据二次函数的性质即可判断； （3）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值． 【解答】解：（1）设BE＝x，则DF＝2BE＝2x， ∵矩形ABCD的周长为18，CF＝1， ∴AB＝CD＝2x+1， ∴AD＝BC[18﹣2（2x+1）＝8﹣2x， ∵S矩形ABCD＝BC•CD＝（8﹣2x）（2x+1），S△ADF，S△BCE， ∴S＝S矩形ABCD﹣S△ADF﹣S△BCE＝（8﹣2x）（2x+1）x2+2x+8（0＜x＜4）． （2）当x＝2，3时，对应的梯形AECF的面积分别为S1，S2，则S1＞S2， 理由：∵S＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，S随x的增大而减小， ∵2＜3， ∴S1＞S2； （3）∵S＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴当x＝1时，S的值最大，最大值为9． 18．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0）． （1）求二次函数与y轴的交点坐标（用含有a的代数式表示）； （2）当0≤x≤1.5时，y的最大值为﹣3，请求出a的值； （3）在（2）的条件下，若点P（x，y）是二次函数图象上一点，满足m≤x≤m+t（t＞0），若y的最大值与最小值之差为4，求t的取值范围． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）令x＝0，确定y的值，即可确定二次函数与y轴的交点坐标； （2）先确定a＞0，然后根据当0≤x≤1.5时，y的最大值为﹣3，得到﹣3＝a﹣4，解得a＝1． （3）分三种情况讨论，根据y的最大值与最小值之差为4计算即可． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝a﹣4，所以与y轴的交点为（0，a﹣4）． （2）抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（1，﹣4）， 若a＜0，则当0≤x≤1.5时，y的最大值为﹣4，不符合题意， ∴a＞0，抛物线开口向上， 把（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得﹣3＝a﹣4， 解得a＝1． （3）由（2）知抛物线为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， 当m≥1时， 则2m+3＝4， 解得． ∴． ∵t＞0， ∴0＜t≤2． 当m+t≤1时， 则y大﹣y小＝m2﹣2m﹣3﹣（m+t）2+2（m+t）+3＝4， 解得， ∴． ∵t＞0， ∴0＜t≤2． 当m＜1＜m+t时， ∵函数y的最小值为﹣4， ∴函数的最大值为y＝﹣4+4＝0， 把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得0＝x2﹣2x﹣3． 解得x1＝﹣1甲x2＝3 当m＝﹣1时，1＜m+t≤3满足题意， 解得2＜t≤4， 当m+t＝3时，﹣1≤m＜1满足题意， 解得2＜t≤4． 综上所述，0＜t≤4． 19．（2025•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，经过点B（5，a），直线l经过点A，B． （1）求直线l的表达式； （2）点M（m，n）是抛物线y＝x2﹣4x+3上一点，其中0＜m＜5，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段MN的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求解即可；． （2）先表示出点N，点M的纵坐标，求出MN，再利用二次函数的性质求出最大值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，经过点B（5，a）， ∴A（0，3），a＝52﹣4×5+3＝8， ∴B（5，8）， 设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（0，3），B（5，8）代入得， 解得：k＝1， ∴直线l的表达式为y＝x+3； （2）∵过点M（m，n）作垂直于x轴的直线，交直线l于点N， ∴点N的纵坐标为m+3，点M的纵坐标为m2﹣4m+3， ∵抛物线开口向上，抛物线y＝x2﹣4x+3与直线l交于点A（0，3），B（5，8）， ∴当0＜m＜5时，点N在点M的上方， ∴， ∴线段MN的长有最大值，最大值为． 20．（2024•徐州）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PC∥OA，交AB于E，则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，得出面积，即可解答． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1）， 则， 解得：； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E， 则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2， ∴， 当m＝2时，最大值为8． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级下册第二单元二次函数题型分类讲义 【题型一】二次函数的图象 【例1】（2025秋•昆明期中）在同一个平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣b，y＝﹣x+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【变式1】（2025秋•西城区校级期中）二次函数y＝x2+mx+m与一次函数y＝mx+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025•建德市校级模拟）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【题型二】二次函数的性质 【例1】（2025秋•苏州校级期中）关于x的二次函数y＝（a2+1）x2﹣5x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（2024•安徽）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 【变式1】（2025秋•翔安区期中）如图抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，对称轴为直线x＝0.5，则a﹣b+c的值（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【变式2】（2025秋•江汉区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，则方程ax2+bx+c＝mx+n的解是 　 ． 【变式3】（2025秋•惠州期中）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4（a≠0）的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则△PCO周长的最小值是 　 　 ． 【题型三】二次函数图象与系数的关系 【例1】（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴是直线，给出以下结论：①ab＜0；②3a＝2b；③a﹣b+c＞0；④a+4c＞2b，其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【例1】（2025秋•北京期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，过点（﹣1，0）．有以下结论：①b＞0；②4ac＜b2；③4a+2b+c＞0；④2a＝b．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025秋•西城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．ac＞0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．此函数图象与直线y＝c有两个公共点 【变式2】（2025秋•汤原县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型四】二次函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025秋•江夏区期中）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【例2】（2025秋•黄埔区期中）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+7与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，7） B．（0，1） C．（0，5） D．（0，﹣2） 【变式1】（2025秋•云龙区期中）已知点（﹣1，y1），（3，y2），（6，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【变式2】（2025秋•鹿城区校级期中）抛物线y＝x2﹣5x﹣6与y轴的交点坐标为（　　） A．（6，0） B．（﹣1，0） C．（0，6） D．（0，﹣6） 【题型五】二次函数图象与几何变换 【例1】（2025秋•黄埔区期中）将函数y＝x2+2x﹣1的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（　　） A．y＝x2+4 B．y＝x2+2 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x+2）2+2 【例2】（2024秋•船营区校级期末）如图，点P（2，3）是抛物线y＝ax2﹣1上的一点． （1）求a的值； （2）若将抛物线y＝ax2﹣1先向右平移2个单位长度，再向下平移t（t＞0）个单位长度恰好经过点A（4，0），求t的值． 【变式1】（2025秋•长沙期中）将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣（x+1）2+3 B．y＝﹣（x﹣1）2+3 C．y＝﹣（x+3）2+1 D．y＝﹣（x+3）2﹣1 【变式2】（2025秋•思明区校级期中）将抛物线y＝（x﹣3）2+2向下平移1个单位后得到的解析式为 　 ． 【变式3】（2025秋•淮安期中）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 　 ． 【题型六】二次函数的最值 【例1】（2025秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3，则该二次函数的最大值是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．0 【变式1】（2025秋•姑苏区校级期中）设O为坐标原点，A，B为抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，连接AB，过点O作OC⊥AB于C，则点C到y轴的距离的最大值为　 ． 【变式2】（2025秋•道里区期中）二次函数y＝3x2+6x+2的最小值为 　 　 ． 【变式3】（2025秋•长丰县校级月考）如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C运动到C点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y． （1）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式； （2）当t为何值时，y最大？并求出y的最大值． 【课后练习】 1．（2025秋•云龙区期中）二次函数y＝﹣x2+2的顶点坐标是（　　） A．（0，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（0，﹣2） 2．（2025秋•宛城区校级期中）二次函数y＝﹣2（x+1）2的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣1） 3．（2024秋•石景山区期末）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）的顶点在x轴上，则c的值是 　 　 ． 4．（2025秋•珠海校级期中）二次函数y＝2（x+3）2﹣3的顶点坐标是　 　 ． 5．（2025秋•东湖区期中）若关于x的函数y＝（m+2）x|m|﹣4mx是二次函数，求m的值，并指出x满足什么范围，y随x的增大而增大？ 6．（2025•滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2mx﹣m上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围； （3）把直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 7．（2025•宁国市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（　　） A．b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0 C．b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0 D．b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0 9．（2025秋•南宁期中）把抛物线y＝﹣2x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1 C．y＝﹣2（x+2）2+1 D．y＝﹣2（x﹣1）2+2 10．（2025秋•思明区校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线的顶点是（　　） A．（﹣1，3） B．（2，5） C．（5，3） D．（0，2） 11．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2． （1）OB＝ 　 　 ； （2）求点C的坐标； （3）已知新抛物线与y轴交于点G（0，），点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足m＜x2≤m+1的任意实数x2，y2＞y1总成立，求实数m的取值范围． 12．（2025秋•河西区期中）函数y＝2x2+1的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 13．（2025•湖北三模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为 　 　 ． 14．（2025秋•北辰区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B（2，2），D，E分别是边OA、CO上的动点，且OD＝CE．设D（x，0），0＜x＜2，△BDE的面积为S． （1）用含x的式子表示S； （2）当x的值为多少时，S的值最小？求这个最小值． 15．（2025秋•南昌月考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． （1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是　 　 ；该抛物线的“极小和”是　 　 ． （2）抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2，若﹣2021≤S≤﹣2020，求m2的取值范围． （3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 16．（2025秋•通州区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 17．（2025•瑞安市开学）如图，在周长为18的矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上（均不与顶点重合），CF＝1，DF＝2BE，设BE＝x，梯形AECF的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）当x＝2，3时，对应的梯形AECF的面积分别为S1，S2，比较S1，S2的大小，并说明理由． （3）求S的最大值． 18．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0）． （1）求二次函数与y轴的交点坐标（用含有a的代数式表示）； （2）当0≤x≤1.5时，y的最大值为﹣3，请求出a的值； （3）在（2）的条件下，若点P（x，y）是二次函数图象上一点，满足m≤x≤m+t（t＞0），若y的最大值与最小值之差为4，求t的取值范围． 19．（2025•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，经过点B（5，a），直线l经过点A，B． （1）求直线l的表达式； （2）点M（m，n）是抛物线y＝x2﹣4x+3上一点，其中0＜m＜5，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段MN的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 20．（2024•徐州）如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 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