2.2二次函数的图像与性质(1) 课时练习 2024-2025学年 北师大版九年级数学下册

2.2二次函数的图像与性质(1) 课时练习 一.选择题： 1.若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝－x2上，则下列结论正确的是( ) A．当x1<x2时，y1<y2 B．当x1<x2时，y1>y2 C．当0<x1<x2时，y1<y2 D．当0<x1<x2时，y1>y2 2.下列关于二次函数y＝x2的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是( ) 4.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 5.已知点A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，都在二次函数y＝－x2的图象上，则( ) A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y1＞y3＞y2 二.填空题： 6.已知二次函数y＝x2，当x>0时，y随x的增大而____(填“增大”或“减小”)． 7.当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是____，最大值是__． ( 图 1 )8.二次函数y＝x2的图像开口向___，对称轴是____，顶点坐标是____，图像有最____点，x____时，y随x的增大而增大，x____时，y随x的增大而减小。 9.如图1，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是____． ( 图 2 )10.直线y＝kx＋b与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点的坐标为________． 11.给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象(如图2所示)． ①如果>a>a2，那么0<a<1；②如果a2>a>，那么a>1； ③如果a>a2>，那么－1<a<0；④如果a2>>a，那么a<－1. 其中正确的命题是________．(填序号) 三.解答题： 12.如图3所示，拱桥是抛物线形，其函数表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽AB是6m，求 ( 图 3 )这时水面离拱形顶部的高度OC. 13.已知二次函数y＝－x2的图象经过A(－1，a)． (1)求a的值；(2)请说出这个二次函数顶点的坐标，对称轴； (3)若点B(－2，y1)，C(－，y2)，D(3，y3)在该二次函数值的图象上， 试比较y1，y2，y3的大小． 四.提高题： 14.规律探究如图3，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，求△A2025B2024B2025的腰长． ( 图 4 ) www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2二次函数的图像与性质(1) 课时练习 一.选择题： 1.若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝－x2上，则下列结论正确的是(D) A．当x1<x2时，y1<y2 B．当x1<x2时，y1>y2 C．当0<x1<x2时，y1<y2 D．当0<x1<x2时，y1>y2 2.下列关于二次函数y＝x2的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有( B ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是( A ) 4.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( B ) A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 5.已知点A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，都在二次函数y＝－x2的图象上，则( A ) A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y1＞y3＞y2 二.填空题： 6.已知二次函数y＝x2，当x>0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)． 7.当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是－9，最大值是0． ( 图 1 )8.二次函数y＝x2的图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），图像有最低点，x>0时，y随x的增大而增大，x<0时，y随x的增大而减小。 9.如图1，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是2． ( 图 2 )10.直线y＝kx＋b与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点的坐标为(0，4)． 11.给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象(如图2所示)． ①如果>a>a2，那么0<a<1；②如果a2>a>，那么a>1； ③如果a>a2>，那么－1<a<0；④如果a2>>a，那么a<－1. 其中正确的命题是①④．(填序号) 三.解答题： 12.如图3所示，拱桥是抛物线形，其函数表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽AB是6m，求 ( 图 3 )这时水面离拱形顶部的高度OC. 解：∵AB＝6m，∴BC＝3m.∴B点的横坐标为3，则纵坐标为y＝－32＝－9. ∴OC＝9m. 答：这时水面离拱形顶部的高度OC为9m. 13.已知二次函数y＝－x2的图象经过A(－1，a)． (1)求a的值；(2)请说出这个二次函数顶点的坐标，对称轴； (3)若点B(－2，y1)，C(－，y2)，D(3，y3)在该二次函数值的图象上， 试比较y1，y2，y3的大小． 解：(1)把A(－1，a)代入y＝－x2，解得a＝－1　 (2)顶点的坐标为(0，0)，对称轴是y轴　 (3)根据y＝－x2的图象关于y轴对称，可知点D(3，y3)与点(－3，y3)关于y轴对称， ∵－3＜－2＜－，∴y3＜y1＜y2 四.提高题： 14.规律探究如图3，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，求△A2025B2024B2025的腰长． ( 图 4 )解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，A1D⊥x轴，A2F⊥x轴，垂足分别为C，E，D，F.∵△A1B0B1，△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E，设A1(a，a)． 将点A1的坐标代入表达式y＝x2，得a＝a2，解得a＝0(不符合题意，舍去)或a＝1. 由勾股定理，得A1B0＝.则B1B0＝2.过点B1作B1N⊥A2F于点N，设点A2(x2，y2)， 可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，又点A2在抛物线上，∴y2＝x22，即x2＋2＝x22， 解得x2＝2或x2＝－1(不合题意，舍去)，则A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，…， ∴A2025B2024＝2025 ，∴△A2025B2024B2025的腰长为2025 . www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$