第二章《一元二次方程》 讲义 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学单元复习讲义以一元二次方程为核心，通过结构化梳理构建“概念—解法—性质—应用”的完整知识体系，用知识框架图呈现章节逻辑，表格对比四种解法的适用场景与步骤，清晰呈现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于“考点—题型—真题”三阶练习设计，如根的判别式应用题型中通过典例推导与变式训练培养推理意识，实际问题建模题强化模型意识。每个题型配解题步骤指导，帮助不同层次学生掌握方法，也为教师精准教学提供支持。

第四章《图形的相似》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体核心价值如下： 课本内容结构化梳理：以 “一元二次方程的本质” 为起点，按 “直观认知（定义与一般形式）→核心解法（直接开平方法→配方法→公式法→因式分解法）→性质探究（根的判别式、根与系数关系）→实际应用（增长率、利润、几何问题）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼：聚焦 “基础概念（定义、一般形式、根的定义）、关键性质（根的判别式、韦达定理）、四种解法（适用场景与步骤）、实际应用模型” 四大模块，通过对比梳理（如四种解法的适用情况）、重点标注（如韦达定理的适用条件），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定扎实的理论基础。 一、回归课本 本章以 “含一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程” 为核心，从实际问题中抽象出一元二次方程，逐步构建其理论体系与应用体系，具体内容分为五个模块： 一元二次方程的认识：通过实际情境（如增长率、面积问题）抽象出一元二次方程的定义，明确其一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），理解 “整式方程、一个未知数、最高次数 2” 三个核心特征。 一元二次方程的解法：探究四种核心解法，从特殊到一般、从简单到复杂逐步推进：直接开平方法（适用于特殊形式方程）、配方法（转化为完全平方式）、公式法（通用解法）、因式分解法（适用于可因式分解的方程），掌握每种解法的步骤与适用场景。 一元二次方程的根的性质：推导根的判别式Δ = b2 - 4ac，判断方程根的情况（有两个不相等实根、两个相等实根、无实根）；探究根与系数的关系（韦达定理），建立两根之和、两根之积与系数的联系。 一元二次方程的实际应用：结合生活实际，构建一元二次方程模型，解决增长率、下降率、利润最大化、几何图形面积、行程等实际问题，掌握 “设未知数 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 答” 的完整解题流程。 综合拓展：结合一元二次方程与函数、几何图形的综合问题，提升综合运用能力，为后续学习奠定基础。。 二、知识点梳理 （一）核心概念 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（也叫解）。 （二）关键性质 1.根的判别式：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0），Δ = b2 - 4ac： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时，方程没有实数根。 根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0），若根为x1、x2，则：x1 + x2 = ；x1x2 = 。 （三）核心解法 解法 适用情况 核心步骤 直接开平方法 方程可化为(x + m)2 = n（n ≥ 0） 1. 整理方程为(x + m)2 = n； 2. 两边开平方得x + m = ±； 3. 求解得x = -m ± 配方法 所有一元二次方程（尤其二次项系数为 1） 1. 移项（常数项到右边）； 2. 化二次项系数为 1； 3. 配方（两边加一次项系数一半的平方）； 4. 开方求解 公式法 所有一元二次方程（通用解法） 1. 化为一般形式； 2. 计算Δ = b2 - 4ac； 3. 若Δ ≥ 0，代入公式x 因式分解法 方程可分解为两个一次因式乘积为 0 的形式 1. 移项（右边为 0）； 2. 因式分解（提公因式、平方差、完全平方等）； 3. 令每个因式为 0，求解 （四）实际应用 增长率 / 下降率问题：基本模型a(1 ± x)n = b（a为初始量，x为增长率 / 下降率，n为次数，b为最终量）； 利润问题：利润 =（售价 - 成本）× 销售量； 几何图形面积问题：根据图形面积公式列方程（如矩形、三角形、圆的面积）； 其他问题：行程问题、工程问题、数字问题等，通过分析数量关系构建方程。 三、考点考题汇编 考点一：一元二次方程的定义与一般形式 核心考向：考查一元二次方程的定义辨析（含未知数个数、最高次数、整式方程）、一般形式的转化、二次项系数、一次项系数、常数项的识别（注意符号）。 典例1（2024·漳南县期末） 下列方程中，是关于x一元二次方程是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 详解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； B．x2+y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 变式练习1（2025秋·山阳县期中 ） 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　﹣2　 ． 详解：由题意可知：x的最高次数为2，即m2﹣2＝2， m2＝4， ∴m＝±2． 又因为m≠2， 故m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 变式练习2（2025秋·高州市期中） 一元二次方程x2＝3x+2的二次项系数是　1　 ，一次项系数是　﹣3　 ，常数项是　﹣2　 ． 详解：根据一元二次方程的一般形式可知：原方程x2＝3x+2可化为：x2﹣3x﹣2＝0， 则二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是﹣2． 故答案为：1；﹣3；﹣2． 考点二：一元二次方程的解法 核心考向：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用场景与步骤，能根据方程特点选择恰当的解法求解一元二次方程。 典例1（2025秋・昆明期中） 请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）3x2＝27； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 详解：（1）原方程整理得： x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）原方程移项可得： 3x（x﹣1）+2x﹣2＝0， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴． 变式练习1（2025秋·碧江区期中） 解下列方程． （1）x2+10x﹣2＝0； （2）x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0． 详解：（1）原方程移项可得： x2+10x＝2， x2+10x+25＝2+25， （x+5）2＝27， 或， ∴，； （2）原方程分解因式可得： （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝5，x2＝1． 变式练习2（2025秋·东台市期中） 解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）． 详解：（1）原方程移项可得：x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝5， ∴（x﹣2）2＝5， ∴， 解得，； （2）原方程移项可得： （x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0， ∴（x﹣4﹣10）（x﹣4）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0， 解得x1＝4，x2＝14． 考点三：根的判别式的应用 核心考向：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，根据根的情况求字母系数的取值范围，解决与根的个数相关的问题。 典例1（2025秋·闽清县期中） 已知关于x的方程x2+3kx+k2﹣1＝0． （1）试说明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求k2+3k+2025的值． 详解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k）2﹣4×1×（k2﹣1） ＝9k2﹣4k2+4 ＝5k2+4， ∵k2≥0， ∴Δ＝5k2+4＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （3）∵方程有一个根是1， ∴1+3k+k2﹣1＝0， ∴k2+3k＝0， ∴k2+3k+2025 ＝0+2025 ＝2025． 变式练习1（2025秋·瓦房店市期中） 不解方程，判断方程x2﹣6x﹣2＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确 详解：由题知， 因为一元二次方程为x2﹣6x﹣2＝0， 则Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣2）＝44＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 变式练习2（2025秋·期中西安校级月考） 如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是 m≤2且m≠1　 ． 详解：由条件可知， 解得：m≤2且m≠1． 故答案为：m≤2且m≠1． 考点四：根与系数的关系（韦达定理） 核心考向：利用韦达定理求两根之和、两根之积，结合代数式变形求与根相关的代数式的值（如、），根据根的关系求字母系数的值。 典例1（2025秋·温江区期中） 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0），即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程系数进行比较，回答下列问题： （1）x1+x2＝ 　　 ，x1x2＝ 　　 ．（用a，b，c表示） （2）若方程x2﹣x﹣3＝0的两个根是x1和x2，求x2+x1的值． （3）已知直角△ABC，斜边BC长为13，三角形另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣5）x﹣4（m﹣9）＝0的两个实数根，求m的值． 详解：（1）由题意得，x1+x2，x1x2． 故答案为：，． （2）由题意，∵x2﹣x﹣3＝0的两个根是x1和x2， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣3． ∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣3×1＝﹣3． （3）由题意，∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣5）x﹣4（m﹣9）＝0的两个实数根， ∴AB+AC＝﹣（2m﹣5）＞0，AB•AC＝﹣4（m﹣9），且Δ＝（2m﹣5）2+16（m﹣9）≥0． ∵斜边BC长为13，三角形另两边AB、AC， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴（AB+AC）2﹣2AB•AC＝169． ∴[﹣（2m﹣5）]2﹣2[﹣4（m﹣9）]＝169． ∴m＝9或m＝﹣6． 又∵m＝9时，AB+AC＝﹣（2m﹣5）＜0， ∴m＝9不合题意，舍去． ∴m＝﹣6． 变式练习1（2025秋·松江区期中） 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　　 ． 所有 详解：方程两根为和， 由题意得， 设，则， 或， 解得或， 代数式， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 变式练习2（2025秋·万山区期中） 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足3x1x2﹣14，求实数m的值． 解：（1）∵方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2+2）＝12m+1≥0， 解得：m． （2）∵方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2+2， ∵3x1x2﹣14， ∴2x1•x2＝3x1x2﹣14，即m2﹣12m﹣13＝0， 解得：m1＝13，m2＝﹣1（舍去）， ∴实数m的值为13． 考点五：一元二次方程的实际应用 核心考向：结合增长率、利润、几何图形面积等实际场景，构建一元二次方程模型，解决实际问题，重点掌握 “设未知数 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 答” 的流程，注意检验解的合理性。 典例1（2025·泸州中考） 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 详解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 变式1（2024·西宁中考） 如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．x2﹣41x+180＝0 B．x2﹣41x+225＝0 C．x2﹣41x+30＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 解：∵矩形场地ABCD的长为60m，宽为22m，且所修建停车位的两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形． 根据题意，得（60﹣2x）（22﹣2x）＝600， 化简，得x2﹣41x+180＝0． 故选：A． 典例1（2025秋·宝安区期中） 深圳湾文化广场凭借“AirPods”造型建筑成网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． （1）当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出　60　 个徽章，每天销售徽章的利润可达到　600　 元； （2）为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 解：（1）当每个徽章的售价降低20元时，每个徽章的销售利润为60﹣20﹣30＝10（元），平均每天可售出2010＝60（个）， ∴每天销售徽章的利润为10×60＝600（元）． 故答案为：60，600； （2）设每个徽章的售价降低x元，则每个徽章的销售利润为（60﹣x﹣30）元，平均每天可售出（2010）个， 根据题意得：（60﹣x﹣30）（2010）＝750， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 又∵要让顾客得到实惠， ∴x＝15． 答：每个徽章的售价应降低15元． 四、题型汇总 题型 1：一元二次方程的定义与解法 题型解读：考查一元二次方程的定义（含一个未知数、最高次数 2、整式方程）及直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的灵活运用，重点关注二次项系数不为 0 的隐含条件，根据方程特征选择最优解法。 典例1（2025秋・克州期中） 已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣（k+1）x﹣2＝0． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根． （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 解：（1）∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得k＝1； （2）∵原方程为一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， 解得k≠±1， 该方程的二次项系数为k2﹣1，一次项系数为﹣（k+1），常数项为﹣2． 典例2（2025秋・梁溪区校级期中） 解方程： （1）（x﹣3）2＝4； （2）x2﹣4x＝3； （3）2x（x﹣1）＝x﹣1； （4）3x2﹣2x+1＝0． 解方程： （1）（x﹣3）2＝4； （2）x2﹣4x＝3； （3）2x（x﹣1）＝x﹣1； （4）3x2﹣2x+1＝0． 解：（1）（x﹣3）2＝4， x﹣3＝±2， ∴x1＝5，x2＝1； （2）x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7， ， ∴，； （3）2x（x﹣1）＝x﹣1， 2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（2x﹣1）＝0， x﹣1＝0或2x﹣1＝0， ∴x1＝1，； （4）3x2﹣2x+1＝0， a＝3，b＝﹣2，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×3×1＝4﹣12＝﹣8＜0， 则方程无实数根． 变式 1（2025・武昌区校级期中） 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y+5＝0 C．ax2+bx﹣c＝0 D． 解：A、方程x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； B、方程2x2﹣y+5＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、当a＝0时，方程为bx﹣c＝0，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 变式 2（2025・商河县期中） 解方程： （1）（x+2）2＝3x+6； （2）x2+6x+4＝0（配方法或公式法）． 解：（1）原方程整理得：（x+2）2﹣3（x+2）＝0， 因式分解得：（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （2）原方程整理得：x2+6x＝﹣4， 配方得：x2+6x+32＝﹣4+32， 即（x+3）2＝5， 直接开平方得：x+3＝±， 解得：x13，x23． ． 题型 2：配方法的应用 题型解读：配方法的核心是将代数式或方程转化为完全平方式，除解方程外，还常用于求代数式最值、证明非负性等，解题关键是 “移项、化 1、配方” 三步法，确保配方时等式两边同时加相同的常数。 典例（2025・西城区校级期中） 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的，例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2﹣6x+10关于x＝　3　 对称； （2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝4对称，则b的值为　﹣4　 ； （3）整式（x2+6x+9）（x2+2x+1）关于x＝　﹣2　 对称． 解：（1）由题意，∵x2﹣6x+10＝x2﹣6x+9+1＝（x﹣3）2+1， ∴多项式x2﹣6x+10关于x＝3对称． 故答案为：3． （2）由题意，∵x2+2bx+3＝x2+2bx+b2+3﹣b2＝（x+b）2+3﹣b2， ∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称． 又∵关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝4对称， ∴﹣b＝4，则b＝﹣4． 故答案为：﹣4． （3）由题意，∵（x2+6x+9）（x2+2x+1）＝（x+3）2（x+1）2， ∴整式（x2+6x+9）（x2+2x+1）关于x对称，即关于x＝﹣2对称． 故答案为：﹣2． 变式 1（2025・重庆期中） 已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）若a2+b2＝6a+10b﹣34，求c的取值范围； （2）若a2﹣ac＝b2﹣bc，试判断△ABC的形状并说明理由． 解：（1）等式整理可得：（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0， （a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0， 则a﹣3＝0，b﹣5＝0， 解得a＝3，b＝5， ∴b﹣a＜c＜b+a，2＜c＜8； （2）△ABC是等腰三角形，理由如下： a2﹣ac＝b2﹣bc， a2﹣ac﹣b2+bc＝0， a2﹣b2+bc﹣ac＝0， （a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， （a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∴a＝b或a+b＝c（不符合三角形三边关系，舍）， ∴△ABC是等腰三角形． ． 变式 2（2025秋・南湖区校级期中） 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为　±4　 ； （2）配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣　10　 ； 【知识运用】： （3）求多项式x2+y2﹣4x+6y+1的最小值． 解：（1）由题意，∵x2+kx+4＝x2+kx+22是一个完全平方式， ∴k＝±4． 故答案为：±4． （2）由题意得，x2﹣4x﹣6＝x2﹣4x+4﹣10（x﹣2）2﹣10． 故答案为：10． （3）由题意得，x2+y2﹣4x+6y+1＝x2﹣4x+4+y2+6y+9﹣13+1＝（x﹣2）2+（y+3）2﹣12． 又∵对于任意实数x，y都有（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2﹣12≥﹣12． ∴x2+y2﹣4x+6y+1≥﹣12． ∴多项式x2+y2﹣4x+6y+1的最小值为﹣12． 题型 3：根的判别式应用 题型解读：利用根的判别式Δ= b2 - 4ac判断一元二次方程根的情况（有两个不相等实根、两个相等实根、无实根），或根据根的情况求字母系数的取值范围，注意二次项系数不为 0 的隐含条件。 典例（2025秋・宿城区期中） 关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值． （1）证明：∵a＝2，b＝m+2，c＝m， ∴b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×2m ＝m2+4m+4﹣8m ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2， ∵（m﹣2）2≥0， ∴不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解∵方程有两个相等的实数根， ∴（m﹣2）2＝0， 解得m＝2． 变式 1（2025・兴庆区校级期中） 关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠3　 ． 解：∵关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0且k﹣3≠0， 解得k≤5且k≠3． 故答案为：k≤5且k≠3． 变式 2（2025秋・永春县期中） 阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式Δ＝b2﹣4ac通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数y＝x2﹣6x+6，当x取何值时，y取最小值，最小值为多少？ 解答：∵y＝x2﹣6x+6 ∴x2﹣6x+（6﹣y）＝0 ∵b2﹣4ac≥0，即36﹣4（6﹣y）≥0，解得y≥﹣3． 因此y的最小值为﹣3， 此时x2﹣6x+6＝﹣3，解得x1＝x2＝3，符合题意 ∴当x＝3时，ymin＝﹣3 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题： （1）已知函数y＝﹣4x2+6x﹣3，当x取何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ （2）已知，当x取何值时，取最小值，的最小值为多少？ （3）如图，已知Rt△ABC，Rt△AED，D是线段BC上一点，∠B＝∠EAD＝90°，AB＝BC，DC＝AE＝1，当BD为何值时，取最小值，最小值是多少？ 解：（1）∵﹣4x2+6x﹣3＝y，即﹣4x2+6x﹣3﹣y＝0， ∴Δ＝36﹣16（3+y）≥0， ∴，即y的最大值是； 又令y，则﹣4x2+6x﹣3， ∴x． ∴当x时，y取最大值，最大值是； （2）∵， ∴y（x2﹣4x+4）＝x2﹣2x+3，即（y﹣1）x2+（4y﹣2）x+3﹣4y＝0， ∴Δ＝（4y﹣2）2﹣4（1﹣y）（3﹣4y）≥0， ∴，即y的最小值是， ∴当时，， ∴x＝﹣1（经检验符合题意）， ∴y的最小值是； ∴当x＝﹣1时，y取最小值，最小值是； （3）设BD＝x，则BC＝x+1， ∴AD2＝AB2+BD2＝（x+1）2+x2，DE2＝AD2+AE2＝（x+1）2+x2+1， ∴， 设，即， ∴（2﹣y）x2+（2﹣2y）x+2﹣y＝0， ∴Δ＝（2﹣2y）2﹣4（2﹣y）（2﹣y）≥0，解得． ∴． 又将代入方程得：， ∴x1＝x2＝1（经检验符合题意）， ∴当BD＝1时，取最小值，最小值是． 题型 4：根与系数关系（韦达定理） 题型解读：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0，Δ≥0），若根为x1、x2，利用x1 + x2 = ；x1x2 = ，求两根之和、两根之积，或变形求与根相关的代数式（如、），注意先验证判别式非负。 典例（2025秋・十堰校级月考） 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）若方程的两根为x1，x2且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝3，求m的值． 解：（1）由条件可知Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＞0， 解得； （2）根据题意得，，x1+x2＝1﹣2m， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝3， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝3， 即m2﹣（1﹣2m）+1＝3， 解得m＝﹣3或m＝1， 又∵， ∴m＝﹣3． 变式 1（2025秋・武汉期中） 已知m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　） A．2016 B．2048 C．2050 D．2056 解：由条件可知m2﹣2m﹣2＝0，mn＝﹣2，m+m＝2， ∴m2＝2m+2， ∴4m2+8nmn+2025 ＝4（2m+2）+8nmn+2025， ＝8m+8+8nmn+2025， ＝8（m+n）mn+2025+8， 把m+n＝2，mn＝﹣2代入， ∴8（m+n）mn+2025+8＝8×2（﹣2）+2025+8＝16﹣1+2025+8＝2048． 故选：B． 变式 2（2024秋・兴文县期中） 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6； （3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11； 综上：周长为11或13． 题型 5：一元二次方程的应用 题型解读：聚焦增长率 / 下降率、利润、几何面积等实际场景，构建一元二次方程模型，遵循 “设未知数 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 答” 的流程，检验时需确保解符合实际意义（如增长率在 0-1 之间）。 典例（2025・泸县一模） 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：（1）设这个降价率为x， 依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理，得：y2﹣15y+50＝0， 解得：y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每千克应涨价5元． 变式 1（2025・江津区期中） 用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为40m2，求BC的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为50m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由． 解：（1）设平行于墙的BC边长为xm． 根据题意得，， 则， ∴x1＝20，x2＝4， 因为20＞15， 所以x＝20舍去， 所以x＝4， 答：BC的长为4m； （2）不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为x2﹣24x+150＝0， ∴Δ＝（﹣24）2﹣4×150＜0， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 变式 2（2025・城西区期中） 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 解：（任务1）设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x， 根据题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为20%； （任务2）该泥塑的售价定为y元/件，则每件的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为40020＝（800﹣10y）件， 根据题意得：（y﹣30）（800﹣10y）＝6000， 整理得：y2﹣110y+3000＝0， 解得：y1＝50，y2＝60， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝50． 答：该泥塑的售价应定为50元/件． 题型 6 ：一元二次方程与几何综合 题型解读：结合三角形、矩形、圆等几何图形的性质，根据边长、面积、周长等关系列一元二次方程，解决几何计算问题，重点关注图形的边长为正数的隐含条件。 典例（2024・通榆县期末） 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 解：7÷2（s）． 当运动时间为t s（0≤t）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm． （1）依题意得：2t×（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）． 答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2． （2）不能，理由如下： 依题意得：2t×（5﹣t）＝7， 整理得：t2﹣5t+7＝0． ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PBQ的面积不能等于7cm2． 变式 1（2025秋・溧阳市期中） 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，动点P在边AB上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿BA向点A运动，同时动点Q在对角线AC上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿AC向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间t＝　1或　 ； （2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值． 解：（1）由题意得，AC10，且AB＝8， 又∵10÷5＝2，8÷2＝4， ∴运动时间t≤2． ∴BP＝2t，AQ＝5t， 如图，过Q作QH⊥AB于H， ∵CB⊥AB， ∴△AQH∽△ACB． ∴． ∴． ∴AH＝4t，则QH3t． ∴PH＝AB﹣AH﹣BP＝8﹣6t． 又∵PQ2＝QH2+PH2，PQ， ∴13＝9t2+（8﹣6t）2． ∴t＝1或． 故答案为：1或； （2）存在，理由： ∵BP＝2t，AQ＝5t， ∴AP＝8﹣2t，由（1）知，QH∥BC， ∴， ∴， ∴QH＝3t， ∴AH4t， ∴PH＝AB﹣AH﹣BP＝8﹣4t﹣2t＝8﹣6t， ∴， 当A是圆心时，AP＝AQ， ∴8﹣2t＝5t，解得：， 当P是圆心时，PA＝PQ， ∴， 解得：，或t＝0（舍去）； 当Q是圆心时，PQ＝AQ， 5t， 解得：或t＝4（舍去）， 综上所述：t的值为或或． 变式 2（2025秋・吉安校级月考） 如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章《图形的相似》 知识点、考点及题型复习 目录：一、 回归课本 2、 知识点梳理 3、 考点考题汇编 4、 题型汇总 资料说明：本资料围绕北师大版九年级上册第二章《一元二次方程》章节，构建了 “知识梳理 — 题型突破 — 真题演练” 的完整教学与学习体系，兼具系统性、实用性与针对性，具体核心价值如下： 课本内容结构化梳理：以 “一元二次方程的本质” 为起点，按 “直观认知（定义与一般形式）→核心解法（直接开平方法→配方法→公式法→因式分解法）→性质探究（根的判别式、根与系数关系）→实际应用（增长率、利润、几何问题）” 的逻辑展开，清晰呈现章节 “从概念到应用” 的知识脉络，帮助师生快速把握课本核心框架，避免知识碎片化。 核心知识点精准提炼：聚焦 “基础概念（定义、一般形式、根的定义）、关键性质（根的判别式、韦达定理）、四种解法（适用场景与步骤）、实际应用模型” 四大模块，通过对比梳理（如四种解法的适用情况）、重点标注（如韦达定理的适用条件），强化易混点与高频考点，为后续题型突破奠定扎实的理论基础。 一、回归课本 本章以 “含一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程” 为核心，从实际问题中抽象出一元二次方程，逐步构建其理论体系与应用体系，具体内容分为五个模块： 一元二次方程的认识：通过实际情境（如增长率、面积问题）抽象出一元二次方程的定义，明确其一般形式ax2 + bx + c = 0（a≠0），理解 “整式方程、一个未知数、最高次数 2” 三个核心特征。 一元二次方程的解法：探究四种核心解法，从特殊到一般、从简单到复杂逐步推进：直接开平方法（适用于特殊形式方程）、配方法（转化为完全平方式）、公式法（通用解法）、因式分解法（适用于可因式分解的方程），掌握每种解法的步骤与适用场景。 一元二次方程的根的性质：推导根的判别式Δ = b2 - 4ac，判断方程根的情况（有两个不相等实根、两个相等实根、无实根）；探究根与系数的关系（韦达定理），建立两根之和、两根之积与系数的联系。 一元二次方程的实际应用：结合生活实际，构建一元二次方程模型，解决增长率、下降率、利润最大化、几何图形面积、行程等实际问题，掌握 “设未知数 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 答” 的完整解题流程。 综合拓展：结合一元二次方程与函数、几何图形的综合问题，提升综合运用能力，为后续学习奠定基础。。 二、知识点梳理 （一）核心概念 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（也叫解）。 （二）关键性质 1.根的判别式：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0），Δ = b2 - 4ac： 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时，方程没有实数根。 根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0），若根为x1、x2，则：x1 + x2 = ；x1x2 = 。 （三）核心解法 解法 适用情况 核心步骤 直接开平方法 方程可化为(x + m)2 = n（n ≥ 0） 1. 整理方程为(x + m)2 = n； 2. 两边开平方得x + m = ±； 3. 求解得x = -m ± 配方法 所有一元二次方程（尤其二次项系数为 1） 1. 移项（常数项到右边）； 2. 化二次项系数为 1； 3. 配方（两边加一次项系数一半的平方）； 4. 开方求解 公式法 所有一元二次方程（通用解法） 1. 化为一般形式； 2. 计算Δ = b2 - 4ac； 3. 若Δ ≥ 0，代入公式x 因式分解法 方程可分解为两个一次因式乘积为 0 的形式 1. 移项（右边为 0）； 2. 因式分解（提公因式、平方差、完全平方等）； 3. 令每个因式为 0，求解 （四）实际应用 增长率 / 下降率问题：基本模型a(1 ± x)n = b（a为初始量，x为增长率 / 下降率，n为次数，b为最终量）； 利润问题：利润 =（售价 - 成本）× 销售量； 几何图形面积问题：根据图形面积公式列方程（如矩形、三角形、圆的面积）； 其他问题：行程问题、工程问题、数字问题等，通过分析数量关系构建方程。 三、考点考题汇编 考点一：一元二次方程的定义与一般形式 核心考向：考查一元二次方程的定义辨析（含未知数个数、最高次数、整式方程）、一般形式的转化、二次项系数、一次项系数、常数项的识别（注意符号）。 典例1（2024·漳南县期末） 下列方程中，是关于x一元二次方程是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 变式练习1（2025秋·山阳县期中 ） 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为　　 ． 变式练习2（2025秋·高州市期中） 一元二次方程x2＝3x+2的二次项系数是　　 ，一次项系数是　　 ，常数项是　　 ． 考点二：一元二次方程的解法 核心考向：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用场景与步骤，能根据方程特点选择恰当的解法求解一元二次方程。 典例1（2025秋・昆明期中） 请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）3x2＝27； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 变式练习1（2025秋·碧江区期中） 解下列方程． （1）x2+10x﹣2＝0； （2）x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0． 变式练习2（2025秋·东台市期中） 解方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）． 考点三：根的判别式的应用 核心考向：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，根据根的情况求字母系数的取值范围，解决与根的个数相关的问题。 典例1（2025秋·闽清县期中） 已知关于x的方程x2+3kx+k2﹣1＝0． （1）试说明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求k2+3k+2025的值． 变式练习1（2025秋·瓦房店市期中） 不解方程，判断方程x2﹣6x﹣2＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确 变式练习2（2025秋·期中西安校级月考） 如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是 　 ． 考点四：根与系数的关系（韦达定理） 核心考向：利用韦达定理求两根之和、两根之积，结合代数式变形求与根相关的代数式的值（如、），根据根的关系求字母系数的值。 典例1（2025秋·温江区期中） 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0），即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程系数进行比较，回答下列问题： （1）x1+x2＝ 　　 ，x1x2＝ 　　 ．（用a，b，c表示） （2）若方程x2﹣x﹣3＝0的两个根是x1和x2，求x2+x1的值． （3）已知直角△ABC，斜边BC长为13，三角形另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣5）x﹣4（m﹣9）＝0的两个实数根，求m的值． 变式练习1（2025秋·松江区期中） 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于x的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是　　 ． 所有 变式练习2（2025秋·万山区期中） 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为x1、x2，且满足3x1x2﹣14，求实数m的值． 考点五：一元二次方程的实际应用 核心考向：结合增长率、利润、几何图形面积等实际场景，构建一元二次方程模型，解决实际问题，重点掌握 “设未知数 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 答” 的流程，注意检验解的合理性。 典例1（2025·泸州中考） 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 变式1（2024·西宁中考） 如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．x2﹣41x+180＝0 B．x2﹣41x+225＝0 C．x2﹣41x+30＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 典例1（2025秋·宝安区期中） 深圳湾文化广场凭借“AirPods”造型建筑成网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． （1）当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出　60　 个徽章，每天销售徽章的利润可达到　600　 元； （2）为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 四、题型汇总 题型 1：一元二次方程的定义与解法 题型解读：考查一元二次方程的定义（含一个未知数、最高次数 2、整式方程）及直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的灵活运用，重点关注二次项系数不为 0 的隐含条件，根据方程特征选择最优解法。 典例1（2025秋・克州期中） 已知关于x的方程（k2﹣1）x2﹣（k+1）x﹣2＝0． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根． （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 典例2（2025秋・梁溪区校级期中） 解方程： （1）（x﹣3）2＝4； （2）x2﹣4x＝3； （3）2x（x﹣1）＝x﹣1； （4）3x2﹣2x+1＝0． 变式 1（2025・武昌区校级期中） 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y+5＝0 C．ax2+bx﹣c＝0 D． 变式 2（2025・商河县期中） 题型 2：配方法的应用 题型解读：配方法的核心是将代数式或方程转化为完全平方式，除解方程外，还常用于求代数式最值、证明非负性等，解题关键是 “移项、化 1、配方” 三步法，确保配方时等式两边同时加相同的常数。 典例（2025・西城区校级期中） 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的，例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2﹣6x+10关于x＝　　 对称； （2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝4对称，则b的值为　　 ； （3）整式（x2+6x+9）（x2+2x+1）关于x＝　　 对称． 变式 1（2025・重庆期中） 已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）若a2+b2＝6a+10b﹣34，求c的取值范围； （2）若a2﹣ac＝b2﹣bc，试判断△ABC的形状并说明理由． 变式 2（2025秋・南湖区校级期中） 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为　　 ； （2）配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣　　 ； 【知识运用】： （3）求多项式x2+y2﹣4x+6y+1的最小值． 题型 3：根的判别式应用 题型解读：利用根的判别式Δ= b2 - 4ac判断一元二次方程根的情况（有两个不相等实根、两个相等实根、无实根），或根据根的情况求字母系数的取值范围，注意二次项系数不为 0 的隐含条件。 典例（2025秋・宿城区期中） 关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值． 变式 1（2025・兴庆区校级期中） 关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是　 ． 变式 2（2025秋・永春县期中） 阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式Δ＝b2﹣4ac通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数y＝x2﹣6x+6，当x取何值时，y取最小值，最小值为多少？ 解答：∵y＝x2﹣6x+6 ∴x2﹣6x+（6﹣y）＝0 ∵b2﹣4ac≥0，即36﹣4（6﹣y）≥0，解得y≥﹣3． 因此y的最小值为﹣3， 此时x2﹣6x+6＝﹣3，解得x1＝x2＝3，符合题意 ∴当x＝3时，ymin＝﹣3 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题： （1）已知函数y＝﹣4x2+6x﹣3，当x取何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ （2）已知，当x取何值时，取最小值，的最小值为多少？ （3）如图，已知Rt△ABC，Rt△AED，D是线段BC上一点，∠B＝∠EAD＝90°，AB＝BC，DC＝AE＝1，当BD为何值时，取最小值，最小值是多少？ 题型 4：根与系数关系（韦达定理） 题型解读：对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0，Δ≥0），若根为x1、x2，利用x1 + x2 = ；x1x2 = ，求两根之和、两根之积，或变形求与根相关的代数式（如、），注意先验证判别式非负。 典例（2025秋・十堰校级月考） 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）若方程的两根为x1，x2且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝3，求m的值． 变式 1（2025秋・武汉期中） 已知m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　） A．2016 B．2048 C．2050 D．2056 变式 2（2024秋・兴文县期中） 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 题型 5：一元二次方程的应用 题型解读：聚焦增长率 / 下降率、利润、几何面积等实际场景，构建一元二次方程模型，遵循 “设未知数 — 列方程 — 解方程 — 检验 — 答” 的流程，检验时需确保解符合实际意义（如增长率在 0-1 之间）。 典例（2025・泸县一模） 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 变式 1（2025・江津区期中） 用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为40m2，求BC的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为50m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由． 变式 2（2025・城西区期中） 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 题型 6 ：一元二次方程与几何综合 题型解读：结合三角形、矩形、圆等几何图形的性质，根据边长、面积、周长等关系列一元二次方程，解决几何计算问题，重点关注图形的边长为正数的隐含条件。 典例（2024・通榆县期末） 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 变式 1（2025秋・溧阳市期中） 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，动点P在边AB上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿BA向点A运动，同时动点Q在对角线AC上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿AC向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间t＝　1或　 ； （2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值． 变式 2（2025秋・吉安校级月考） 如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $