专题2.5 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义）数学北师大版九年级下册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，系统梳理抛物线与x轴交点的横坐标即为方程根、根的情况与交点个数的关系、利用图象求近似解的步骤、以及二次函数与一元二次不等式的联系，通过知识点铺垫与8种典型题型（含例题与变式）构建学习支架，帮助学生逐步深化理解。 资料以“举一反三”为设计特色，例题典型且变式题分层递进，结合图象分析培养学生几何直观（如利用函数图象判断方程根的情况），通过近似解计算提升运算能力与推理意识（如列表估算方程近似解），体现函数与方程、不等式的模型联系，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题2.5 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 抛物线与x轴的交点】 3 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 3 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 4 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 5 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 6 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 7 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 8 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 8 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型1 抛物线与x轴的交点】 【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数（a为常数且）． (1)当函数图象经过，求该二次函数的表达式． (2)若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． (3)若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：． 【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ． 【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数（a为常数，）． (1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值； (2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围； (3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 【变式2-2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【变式3-3】（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【变式5-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【变式6-1】（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【变式6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点． (1)当，时，求抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标； (3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：． 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线经过两点，． (1)求b，c值； (2)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围． 【变式7-1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式7-3】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或 ④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是． 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 二次函数与一元二次方程（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 抛物线与x轴的交点】 3 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 6 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 9 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 14 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 17 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 20 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 25 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 29 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【题型1 抛物线与x轴的交点】 【例1】（24-25九年级下·全国·期中）已知二次函数（a为常数且）． (1)当函数图象经过，求该二次函数的表达式． (2)若，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明． (3)若该函数图象上有两点，其中，若，．求证：． 【答案】(1) (2)该二次函数图象与x轴无交点，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，可得，则方程无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点． （3）由题意得，，则可得，即可得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为． （2）解：该二次函数图象与x轴无交点． 证明：令， ∵， ∴， ∴方程无实数解， ∴该二次函数图象与x轴无交点． （3）证明：∵该函数图象上有两点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1-1】（24-25九年级下·全国·期中）若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解． 【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：9． 【变式1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴ ∴m的取值范围是， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数（a为常数，）． (1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值； (2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围； (3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围 【答案】(1)； (2)； (3) ． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴为直线即可求出； （2）将点，代入二次函数解析式，表示出，根据，即可求解； （3）将点，代入二次函数解析式，结合，表示出求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得：； （2）解：∵点，在二次函数图象上， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：点，在二次函数图象上， ∴，， ∵， ∴， 代入得 ， ∴ ， ∵，， ∴． 【题型2 利用二次函数的图象确定方程根的情况】 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间， 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2， ， ， ， 令，得， 或， ， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ， ， ， ， ， 点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是， ，故④正确； 如图，当时，， ， ， ， 当时，， 函数的最大值大于，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 【变式2-3】（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴交于和，关于x的一元二次方程的两个根分别是和，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根据二次函数的性质求得，，得到，，则方程可转化为，根据根与系数的关系，，再将整理得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：二次函数与x轴交于和， ∴，， ∴，， ∴一元二次方程为， 即， ∵关于x的一元二次方程的两个根分别是和， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型3 求x轴与抛物线的截线长】 【例3】（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 【变式3-3】（2025·安徽合肥·一模）已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意得到直线平行于轴，令，求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得， 当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可； （3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明． 【详解】（1）解：∵直线平行于轴， ∴令，即， 解得， ∴线段的长度为． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴ ∴抛物线 若直线落在轴上， ∴当时，即 解得 ∴ ∴； 若直线不在轴上， 设直线的解析式为，联立方程， 得， 解得． 不妨设， ∴，， ∴． （3）证明： ∵，且，为整数， ∴，即 ∴， 又， ∴为正值． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【题型4 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例4】（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间， 而在和之间被选项中的数为， ∴的方程的一个根可能为． 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 【变式4-3】在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 【答案】﹣0.75 【分析】观察函数y＝x2−2x−2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为−1时，函数值大于0，求得−1和0的平均数−0.5，对应的数值为−0.75，与自变量为−1的函数值异号，再求−1和−0.5的平均数−0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在−0.75与−0.5之间任意一个数作为近似解，由−0.5−（−0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值． 【详解】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根． 我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75， 故答案为﹣0.75． 【点睛】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键． 【题型5 利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式5-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 【详解】（1）解：由图象看， ∵二次函数与x轴交于点， ∴方程的两个根是，； （2）解：从图象看， 当时，y随x的增大而增大； （3）解：从图象看， ∵当或时，二次函数的图象在x轴 ∴不等式的解集是：或． 【变式5-3】（2025·广东清远·一模）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 【例6】（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式6-1】（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【变式6-2】（2025·黑龙江大庆·二模）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质，根据题意可得当时，或，且函数开口向上，即，则可求出对称轴为直线，则可得到，把代入解析式得到，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，x的取值范围为或， ∴当时，或，且函数开口向上，即， ∴，为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得， 将代入解析式得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，m的可能取值为1， 故选：A． 【变式6-3】（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点． (1)当，时，求抛物线的解析式； (2)在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标； (3)设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式即可； （）过点作轴交直线于点，设点，则，则，再通过二次函数的性质即可求解； （）将，代入得，，故有，则，又，所以，从而求证． 【详解】（1）解：当时，，时，， ∴将，代入得 ，解得， ∴； （2）解：过点作轴交直线于点， 设点，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最大值， ∴； （3）解：当，，且， 将，代入得： ，， 得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【题型7 根据两函数交点确定不等式的解集】 【例7】（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线经过两点，． (1)求b，c值； (2)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值，直接写出满足题意的n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数交点问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）依据题意，求得函数以及函数的图象过界点时的的值，可以判断得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，． ∴ ∴ （2）抛物线上，当时，，当时，； 函数的图象上，当，时，； 函数的图象上，当，时， ∵时，函数的函数值总大于函数的函数值，且函数的函数值总小于函数的函数值． ∴． 【变式7-1】（24-25九年级下·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 【变式7-2】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题二次函数的图象与性质、二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点问题，理解并灵活运用相关知识是解答的关键．先构造差函数，再根据二次函数图象与性质，以及对应图象与x轴的交点问题求解即可． 【详解】解：设函数， 要使，只需恒成立， 当即时，函数是一次函数，显然不恒成立， 当即时，二次函数y的图象开口向下， ∴不恒成立，故选项C、D不符合题意； ∴只需，且恒成立， 当时，满足，但b值不确定，当b很大时，可能大于0，故选项A不符合题意； 当时，满足，， ∴恒成立，故选项B符合题意， 故选：B． 【变式7-3】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标d满足：，m的取值范围是或 ④已知，，函数关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有2个公共点，则的取值范围是． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键．①根据“友好函数”的定义即可求解，②，再根据的取值范围即可得到的范围，③根据题意得出，解不等式，即可求解；④当过“和睦点”时，为临界点情况，当过的顶点时，此时与线段只有个公共点，找出临界值代入求解即可． 【详解】解：①， 顶点，它关于直线 的对称点为， “和睦函数”为， 两个函数图象关于直线 对称， 其交点必在直线 上，将代入中，， “和睦点”坐标为；故①正确； ②由题意得， ， 关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为， 当 时，有最小值， 当 时，，当 时，， ；故②错误； ③依题意可得 ∵， ∴ ∴或 解得：或，故③正确 ④如图， 当过“和睦点”时，为临界点情况， 当时，， 即， 解得： 则当时，与线段只有个公共点； 当过的顶点时，此时与线段只有个公共点， 当时，， 即， 解得：； 综上，的取值范围为：或，故④错误， 故答案为：②④． 【题型8 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设，而，即函数向下平移3个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解． 【详解】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移3个单位得到函数y， 则两个函数的图象如图所示（省略了y轴）， 从图象看，， 故选：B． 【变式8-1】已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为， 方程的两根是抛物线与直线的两个交点． 由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，， 故选：C． 【变式8-2】在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变长解答即可． 【详解】解：抛物线与轴相交于，两点， 抛物线的对称轴为直线， 将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴相交于，两点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线向上平移对称轴不变， ， 即， 抛物线开口向下， 将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变长， ， 故选：C． 【变式8-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据题意用表示出，列出关于的方程是解题的关键．先求出抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，然后根据，得出，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， 把代入得：， 解得：，， ， ， ，即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ， 不符合题意，舍去； 当时，，解得：， ， 符合题意； 综上分析可知，的值为3， 故答案为：3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $