2025年中考三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与等腰三角形存在性问题讲义

2025中考三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与等腰三角形存在性问题讲义 一、知识点回顾 1.1 等腰三角形存在性问题的核心条件（教材核心内容）： 1. 定义：若二次函数图象上的三点能构成等腰三角形，则需满足至少两条边长度相等。 2. 数学表达：设三点为、、（在抛物线上），则需满足： -，或，或。 3. 关键工具：两点间距离公式： 教材示例： 已知抛物线与x轴交于和，在抛物线上求点，使为等腰三角形。 解析： 1. 设； 2. 分类讨论： -：解得； -：解得； -：与上述对称，解相同。 二、重难点讲解 2.1 动点问题中的分类讨论 - 核心方法： 1. 设定动点坐标：将抛物线上动点的坐标用参数表示（如）； 2. 分类讨论： - 情况1：； - 情况2：； - 情况3：； 3. 代数求解：利用距离公式建立方程并化简。 示例1： 抛物线上有一动点，定点和，求使为等腰三角形的点坐标。 解析： 1. 设； 2. 情况1（）： 化简得，对应； 3. 情况2（）： 对应和。 2.2 避免重复解的技巧 - 核心技巧： 1. 利用对称性简化计算（如和可能对称）； 2. 验证解是否在抛物线上（如消元后需回代检验）。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 分类讨论遗漏： - 错误：仅讨论，忽略和； - 纠正：明确分三种情况讨论。 2. 距离公式计算错误： - 错误：平方展开时漏项或符号错误（如误写为）； - 纠正：分步计算并检查。 3. 忽略实际意义： - 错误：解得的值超出抛物线定义域（如为虚数或不在自变量范围内）。 3.2 解题技巧与方法 1. 代数化简技巧： - 直接平方消去根号，避免复杂运算： - 利用二次函数解析式消元（如用代入距离公式）。 2. 验证解的合理性： - 检查解是否满足抛物线方程； - 检查三点是否共线（若共线则构不成三角形）。 四、巩固练习 1. 抛物线与x轴交于和，在抛物线上求点使为等腰三角形。 1. 已知抛物线与直线交于和，在抛物线上求点使为等腰三角形。 1. 抛物线的顶点为，与x轴交于和，在抛物线上求点使为等腰三角形。 答案与解析： 1. 或 - 解析：分、、讨论。 2. 、或 - 解析：分、、讨论。 3. 、或 - 解析：顶点，分、、讨论。 一、 选择 1 .(单选)如图是二次函数图像的一部分，且经过点，对称轴是直线，下列说法：①；②是关于 x的方程的一个根；③若点，是函数图像上的两点，则；④设该抛物线与坐标轴的交点为，，，若是等腰三角形，则，其中正确的个数为（        ）     A.1 B.2 C.3 D.4 2 .(单选)如图，抛物线 y＝ ax2+ bx+ c（ a， b， c是常数， a≠0）与 x轴交于 A， B两点，顶点 P（ m， n）．给出下列结论①2 a+ c＞0；②若在抛物线上，则 y1＞ y2＞ y3③关于 x的方程 ax2+ bx+ k＝0有实数解，则 k＞ c﹣ n；④当 n＝﹣时，△ ABP为等腰直角三角形；其中正确结论个数有（　　）个． A.1 B.2 C.3 D.4 3 .(单选)抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（   ）个． A. B. C. D. 4 .(单选)在平面直角坐标系中，已知点，，若点在一次函数的图象上，且为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）． A.个 B.个 C.个 D.个 5 .(单选)已知二次函数的图象与轴交于两点，顶点为点，连接，．若是等边三角形，则的值为（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)如图，抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为，下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有（   ）． A.个 B.个 C.个 D.个 7 .(单选)若二次函数的图象与轴的两个交点和抛物线顶点围成的图形为等边三角形，则的值是（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)如图，抛物线与过点且平行于轴的直线相交于点、， 与轴交于点，若为直角，则的值为（   ）． A. B. C. D. 二、 填空 1 .抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为． ( 1 )当是等腰直角三角形时，点的坐标为           ． ( 2 )当是直角三角形时，的值为           ． 2 .二次函数y=x 2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A 2016在y轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B 2016在二次函数y=x 2第一象限的图象上，若 △A0B 1A 1， △A 1B 2A 2， △A 2B 3A 3，…， △A 2015B 2016A 2016都为等边三角形，则 △A 2015B 2016A 2016的边长=           ． 3 .二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点、、、…、在 y轴的正半轴上，点、、、…、在二次函数位于第一象限的图象上．若、、、…、都为等边三角形，则的边长为             ． 4 .如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为               ． 5 .已知二次函数与轴交于两点，与轴交于点．下列说法：①抛物线的对称轴为直线；②点坐标为；③若是轴上的一个动点，是此抛物线上的一个动点，如果以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点有个；④ P是此抛物线上的一点，当点的横坐标为时，是直角三角形．其中正确的是           ．（填序号）． 6 .二次函数的图象与轴交于点 A，将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为           ． 7 .如图，点在抛物线上运动，轴上的点分别表示数和，首尾顺次连接得，当为直角三角形时，点的坐标为           ． 8 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且，那么本抛物线的表达式为           ． 三、 解答 1 .如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．     (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 .如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3 .如图，已知抛物线与 x轴交于两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式；(2)点 D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C， B不重合），过点 D作轴于点 F，交直线于点 E，连接、，能否使与的面积之比为？若能，请求出点 D的坐标和的面积；若不能，请说明理由．(3)若 M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点 M的坐标． 4 .已知抛物线交 x轴于点和点，交 y轴于点 C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)如图，点 P是抛物线上位于直线上方的动点，过点 P分别作 x轴， y轴的平行线，交直线于点 D，当取最大值时，求点 P的坐标；(3)点 P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出 P点坐标． 5 .综合与探究如图，二次函数的图象与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为，且， E是线段上的一个动点，过点 E作直线垂直于 x轴交直线和抛物线分别于点 D、 F． (1)求抛物线的解析式；(2)设点 E的横坐标为 m，当 m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；(3)点 P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点 P的坐标． 6 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式；(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 7 .如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过 A，两点，与 x轴交于点 B． (1)若直线经过 B， C两点，求直线和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点 M，使的值最小，求点 M的坐标；(3)设 P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点 P的坐标． 8 .在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴交于两点，与 y轴交于点 C，点 P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这条抛物线的解析式；(2)如图（甲），在 x轴上是否存在点 E，使得以 E， B， C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点 E坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），动点 P运动到什么位置时， P到距离的最大，求出此时 P到距离的最大值及此时点 P的坐标． 9 .在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点． (1)求二次函数解析式；(2)连接，，，试判断的形状，并说明理由；(3)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；(4)在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10 .如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 11 .如图、抛物线与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由． 12 .如图，抛物线（）与 x轴交于 A、 B两点，与 y轴交于点 C，直线与抛物线交于 A、 D两点，且．点 P为直线上方抛物线上的一点（不与 A、 D重合），连接．点 E是线段上的一动点，从点 D出发向点 A匀速运动，同时点 F从点 A出发，以与点 E大小相同的速度沿 x轴正方向匀速运动，当点 E到达点 A时停止运动，此时点 F也随之停止运动，连接． (1)求抛物线的解析式；(2)点 Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点 Q的坐标；(3)请你求出四边形的面积的最大值；(4)的最小值是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$