4.2.1 指数函数的概念（一）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数概念，通过古印度棋盘麦粒、新冠病毒传染、折纸游戏等现实情境导入，从具体问题（如对折次数与纸张厚度关系）逐步抽象出y=2^x等模型，搭建从实际背景到指数函数概念的学习支架。 其特色在于融合多领域情境（含《庄子》典故、碳14衰减等）与视频素材，以问题链引导学生用数学眼光观察增长规律，通过辨析题、实际应用题强化概念理解，体现数学思维与数学语言的应用。学生能在探究中发展抽象能力，教师可借助结构化案例提升教学效率。

4.2 指数函数 4.2.1 指数函数的概念（一） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 第1格：1 第2格：2 第3格：22=4 第4格：23=8 第64格： ...... 关爱生命、人人有责！防疫工作不容懈怠，请同学们务必响应国家政策，做到爱自己、爱他人、爱国家！ 某种变异新冠病毒传染性极强，在很短时间内由1个人传染了2个，2个传染了4个……. 设想，1个这样的病毒传染 x 次后，得到的传染人数 y 与 x 的函数表达式是什么？ 次数 病毒传染过程 传染人数 第一次 第二次 第三次 第 x 次 …… 第二十次 4=22 8=23 1048576=220 2=21 传染人数y关于传染次数x的函数表达式为: 1. 通过实际问题了解指数函数的实际背景； 2. 理解指数函数的概念和意义. 3. 用待定系数法求函数解析式及解析值； 4. 通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念. 一、学习目标 自主预习，导学提示 阅读课本111-113页，完成以下问题： 1.指数函数概念是什么？ 2.指数函数解析式的特征？ 二、新课导入 折纸的奥秘 地球与月球之间相差38万公里，有人称，只要给他一张足够大的白纸，对折43次，白纸的厚度就可以架起月球与地球之间的桥梁。你觉得可能吗？ 情境导入：折纸游戏 用x表示对折次数，y表示对折后纸的张数，则 y 与 x 的函数关系式为？ 一张纸的厚度是0.01mm，对折30次后的纸张厚度是多少？（假设这张纸足够大） 0.01 ×230 ≈ 10737418mm≈ 10737.418m>8844.43m 已经超过了珠穆朗玛峰！！！ 再思考：如果把这张纸的面积看是为1（不计厚度），第一次对折后，面积为多少？第二次对折后，面积又是多少？对折 x 次时，面积是多少？若用 y 表示面积，写出y关于x的函数解析式. 《庄子·天下》：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完。 你能根据视频中表达的含义，写出截取x次后，剩余长度y与x的关系式？ ？ ？ ？ 截取次数 1次 2次 3次 4次 x次 … … y 1 ？ ？ 现在，我们得到下面两个解析式： （1）底数是常数 （2）指数为自变量 思考：它们有什么共同特征？ （3）幂的形式 三、新知讲授 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票． 探究1：比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ A地景区大约每年增长10万次 B地景区的年增长量越来越大 思考：我们能用数学方法来描述这种变化吗？ 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278   2002 609  9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 增长较慢 增长较快 表格：具体但不直观 线性增长 非线性增长 年增加量大致相等，约为10万次，可用一次函数来表示. 年增加量越来越大，应该用什么函数来定量刻画？ B地景区 人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 278 309 344 383 427 475 528 588 655 729 811 903 1005 1118 1244 A地景区 人次/万次 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 做减法得到游客人次的增加量 做除法得到游客人次的增长率 增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 B地景区游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. ………… 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. 探究：B地景区游客人次近似于指数增长，如何构建新的函数模型？ 如果设经过x年后的游客人次为2001的y倍，那么 . 这是一个函数，其中指数x是自变量. y=1.11x, x∈[0,+∞) 从2001年开始B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的 倍， 2年后，游客人次是2001年的 倍， 3年后，游客人次是2001年的 倍， 4年后，游客人次是2001年的 倍， …… x年后，游客人次是2001年的 倍， 1.111 1.112 1.113 1.114 1.11x 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 5730年 问题3：按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量y与死亡年数x之间有怎样的关系？生物死亡后体内碳14含量年衰减率是多少？ 设死亡生物体内碳14含量的衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为 ； 死亡2年后，生物体内碳14含量为 ； 死亡3年后，生物体内碳14含量为 ； …… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，则 . (1-p)1 (1-p)2 (1-p)3 (1-p)5730 y=(1-p)x 你能求出的值吗？ 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以 的衰减率衰减． 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． y =1.11x 概念生成： 一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 为何规定a>0,且a≠1？ 当a=1时，a x 恒等于1，没有研究的必要. 当a<0时，a x有些会没有意义，如 当a=0时，a x有些会没有意义，如 整体只有一项 自变量在指数的位置上 系数为1 y＝ ax 判断下列函数是否为指数函数 是 不是 是 不是 不是 不是 是 不是 × √ × × 2.函数y=(a-2)ax是指数函数,则(　　) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1 四、议——典例分析 题型一 指数函数的概念辨别 举一反三 1. 判断下列函数是否为指数函数 （1） （2） （3） （4） 答案：由指数函数的定义易知（1）（2）（3）不是，（4）是. 2. 判断下列函数是否为指数函数 (1) (2) (3) (4) ( >1,且 )  答案：由指数函数的定义易知（1）（2）（3）不是，（4）是. 举一反三 4.（多选题）下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D．（且） 3.给出下列函数：①②③④; ⑤.其中，指数函数的个数是（ ）. .0 .1 .2 .4 AD ①底数：a＞0，且a≠1 ②指数：自变量x ③系数：1 √ √ √ 题型二 利用指数函数定义求参数 例2：已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的值. 举一反三 2. 若函数是指数函数，则=___, 思维火花 C 若函数是指数函数，则的取值范围是（ ） A. B. C.. 解：因为函数是自变量是指数函数，所以 解得且 . 底数 题型三 待定系数法求函数解析式 例3（教材114页例1） 已知指数函数f(x)=ax (a>0,且a≠1），且f(3)=π，求f(0)， f(1)， f(-3)的值. 举一反三 2.已知指数函数 ，且 ， 求 的值。 3.如果指数函数的图象经过点（2,9），求的解析式及的值。 33 题型四 指数增长模型和指数减少模型 （1）指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则： . （2）指数减少模型 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则： . （3）指数型函数 形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 例4 （1）某种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例递减.现医生为某病人注射了该药物，那么 小时后病人血液中这种药物的含量为( ) B. . A. B. C. D. 例4 （2）某种复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10 000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为__________________. 解：根据复利计算利息的方式可知，当存期数为1时，本利和为 , 当存期数为2时，本利和为 ， ……所以当存期数为时，本利和为 . 举一反三 五、课堂小结 （1）指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则： . （2）指数减少模型 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则： . （3）指数型函数 形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 强化训练，巩固提升 已知f(x)=ax (a>0且a≠1)的图象经过点P(2,4). (1)求a的值; (2)已知f(2x)-3f(x)-4=0,求x. 解：(1)由题意 a2=4，所以a=2. (2)因为 f(x)=2x 所以方程 f(2x)-3f(x)-4=0可化为 所以22x-3·2x-4=0，即(2x)2-3·2x-4=0 所以2x=4，即x=2 Lavf55.33.100 Lavf58.46.101 Lavf57.62.100 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 指数函数的定义 函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. y＝ax(a＞0，且a≠1) [点睛]　指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. Lavf57.62.100 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）y＝xx(x>0)是指数函数.(　 　) （2）y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.(　 　) （3）因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1).(　 　) （4）y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　 　) × 答案：C 小试身手 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数. （ ） (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数. （ ） × 例1下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y＝2·(eq \r(2))x；②y＝2x－1；③y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))x；④y＝ ；⑤y＝ . ③ 解析： ①中指数式(eq \r(2))x的系数不为1，故不是指数函数； ②中y＝2x－1＝eq \f(1,2)·2x，指数式2x的系数不为1， 故不是指数函数； ④中指数不是x，故不是指数函数； ⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值， 故不是指数函数， 由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得 解得故a=2. 函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________. 0或1 解析：∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数， ∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1. 解：因为f(x)＝ax，且f(3)＝π， 则a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π， 所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝， f(－3)＝π－1＝. 若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　) A.(eq \r(2))x B.2x C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(x) A 解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝eq \r(2) 一种放射性元素，最初的质量为500克，按每年10%衰减，则t年后，这种放射性元素质量w（克）的表达式为__________ 解：这t年间的衰减率为10%，则w=500（1-10%）t. 1．某城市房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　) A. －1 B. ＋1 C.50% D.600元 解析：这6年间平均每年的增长率为x，则1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝eq \r(6,4)－1＝eq \r(3,2)－1.故选A. [点睛]　指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 指数函数的定义 函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. y＝ax(a＞0，且a≠1) $