期末复习03：分数除法（知识梳理+15个易错点练习+拔尖训练）六年级上册数学易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学分数除法期末复习讲义通过知识框架图系统梳理了从倒数认识、分数除法计算法则到混合运算及应用题策略的完整知识体系，将倒数性质、计算步骤、应用题数量关系等重难点按“概念-算理-应用”逻辑递进呈现，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于十五类易错点分层练习设计，如“已知一个数的几分之几是多少求这个数”通过工厂生产零件例题及变式训练，培养模型意识和应用意识。培优技巧中的线段图分析法、转化单位“1”策略，帮助学生用数学思维解决复杂问题，既支持基础薄弱学生巩固计算，又助力优秀生提升推理能力，为教师精准教学提供有效资源。

期末复习03：分数除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：倒数的认识与求法 1 知识点二：分数除以整数的计算法则 2 知识点三：一个数除以分数的计算法则 2 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 3 知识点五：分数除法应用题解题策略 3 知识点六：易错点与培优技巧 4 易错点练习 4 易错点一：倒数的认识 4 易错点二：与倒数有关的综合计算 6 易错点三：自然数与倒数的和或差问题 7 易错点四：分数的平均分 9 易错点五：分数与整数的除法 10 易错点六：分数与分数的除法 12 易错点七：被除数与商的大小关系（分数除法） 14 易错点八：分数的连除运算 16 易错点九：分数的乘、除法的混合运算 17 易错点十：分数除法相关的简便计算 23 易错点十一：解分数方程 30 易错点十二：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 34 易错点十三：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 36 易错点十四：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 38 易错点十五：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 41 拔尖训练 45 知识梳理 知识点一：倒数的认识与求法 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。强调“互为”的双向关系，即a是b的倒数，b也是a的倒数。 求倒数的方法： 分数：交换分子分母的位置（如3的倒数是） 整数：看作分母是1的分数（如5的倒数是） 小数：先化成分数再求倒数（如0.25=，倒数是4） 特殊数的倒数： 1的倒数是1（） 0没有倒数（0不能作除数） 倒数性质：真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1 知识点二：分数除以整数的计算法则 计算方法： 方法一：分子直接除以整数（适用于分子是整数倍数的情况） 公式：（） 方法二：乘整数的倒数（通用方法） 公式：（） 例： 计算步骤： 1.转化：将除法转化为乘法（除以一个数=乘这个数的倒数） 2.约分：分子分母交叉约分 3.计算：分子相乘作分子，分母相乘作分母 注意事项：结果必须是最简分数，带分数需先化成假分数 知识点三：一个数除以分数的计算法则 算理推导： 借助具体情境理解：表示“2里面有几个” 几何直观：用线段图表示包含除关系 计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数 公式：（，） 计算步骤： 1.变号：除号变乘号 2.倒数：除数变为它的倒数 3.约分：交叉约分简化计算 4.求解：分子分母分别相乘 统一法则：分数除法统一转化为乘法计算，即甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 运算顺序： 同级运算：从左往右依次计算 不同级运算：先算乘除，后算加减 有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的 简便运算定律（与整数相同）： 乘法交换律： 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律： 常见简算类型： 连除变连乘： 分配律应用： 拆分法：将带分数拆成整数加分数（如） 知识点五：分数除法应用题解题策略 关键步骤： 1.找：找准单位“1”的量（通常在“是、占、比”后面） 2.判：判断单位“1”的量是已知还是未知（已知用乘法，未知用除法） 3.列：根据数量关系列算式 4.算：准确计算结果 基本数量关系： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”：对应量÷对应分率=单位“1”的量 求一个数是另一个数的几分之几：比较量÷标准量=分率 复杂问题解题技巧： 画线段图分析数量关系 转化单位“1”（如甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的） 抓住不变量解题（部分量不变、总量不变或差不变） 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 混淆“除”和“除以”：a除以b写作，a除b写作 倒数概念错误：认为0有倒数或1没有倒数 计算时忘记乘倒数：如0（错误） 应用题中对应分率找错：部分量与分率不对应 培优解题技巧： 设数法：对于缺少具体数据的题目，设单位“1”为具体数 转化法：将分数除法转化为比的问题解决 验证法：用乘法验算除法结果是否正确 对比法：对比乘除法应用题的异同点 易错点练习 易错点一：倒数的认识 例题：的倒数是( )，0.45的倒数是( )。 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；求分数的倒数，就是把分子分母位置调换即可；求小数的倒数，先把小数化成分数，再调换分子分母的位置。 【详解】的倒数是。 0.45＝，所以0.45的倒数是。 【点睛】本题考查求倒数，掌握求一个数的倒数的方法是解题的关键。 【变式训练1】一个数和它的倒数的和是2，这个数是( )。( )没有倒数。 【答案】 1 0 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是它本身；0乘任何数都等于0，所以0没有倒数。 【详解】1＋1＝2，一个数和它的倒数的和是2，这个数是1。0没有倒数。 【变式训练2】如下图：点A的倒数是( )。 【答案】 【分析】把一大格看作单位“1”，平均分成5小格，每小格表示；点A在2～3之间的第2小格处，用分数表示为；再根据倒数的意义求出的倒数即可。 乘积是1的两个数互为倒数。求一个带分数的倒数，先将带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置即可。 【详解】点A表示＝，的倒数是； 所以，点A的倒数是。 【变式训练3】三个连续奇数的和的倒数是，这三个奇数分别是多少？ 【答案】17；19；21 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；据此求出的倒数，的倒数是57；也就是三个连续奇数的和；根据奇数的特征：相邻两个奇数相差2，设中间的奇数是x，则前面的奇数是（x－2），后面的奇数是（x＋2），列方程：（x－2）＋x＋（x＋2）＝57，解方程，即可解答。 【详解】的倒数是57。 解：设中间的数为x，则前面的数为（x－2），后面的数为（x＋2）. （x－2）＋x＋（x＋2）＝57 x－2＋x＋x＋2＝57 3x＝57 x＝57÷3 x＝19 19－2＝17 19＋2＝21 答：这三个连续的奇数是17，19，21。 易错点二：与倒数有关的综合计算 例题：如果a与b互为倒数，且有＝，那么，4m＝( )，m－0.25＝( )。 【答案】 1 0 【分析】倒数的核心性质：互为倒数的两个数乘积为1（即）； 等式的性质：等式两边乘同一个数，或同时除以一个不为0的数，等式仍然成立（即可转化为）。 【详解】（1）已知与互为倒数，因此； 已知，等式两边同时乘，可得，代入，得。 （2）由（1）可知： 所以 【变式训练1】的倒数与的倒数和是多少？与的和的倒数是多少？以下结果正确的是（    ）。 A．； B．； C．； 【答案】C 【分析】前者根据相乘等于1的两个数互为倒数，可先求出，的倒数，再求和。后者先求和，再根据倒数的定义求和的倒数。 【详解】，的倒数分别为，，。，的倒数为。 故答案为：C 【变式训练2】如果m、n互为倒数，那么×＋的结果是（    ）。 A．1 B． C．无法确定 【答案】B 【分析】互为倒数的两个数乘积是1，据此可知mn＝1，根据分数乘分数的计算方法把给出的算式进行化简，并把mn＝1代入计算出结果即可。 【详解】×＋＝＋ 因为mn＝1，所以＋＝＋1＝＋＝。 如果m、n互为倒数，那么×＋的结果是。 故答案为：B 【变式训练3】有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 【答案】 2025 2020 【分析】a的倒数是它本身，那么a是1，b没有倒数，b是0，代入数据计算；若a、b互为倒数，那么ab＝1，据此计算解答。 【详解】2025－5ab＝2025－5×1×0＝2025－0＝2025 2025－5ab＝2025－5×1＝2025－5＝2020 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝2025；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝2020。 易错点三：自然数与倒数的和或差问题 例题：的倒数是( )，0.25和( )互为倒数，的倒数是( )，与它的倒数的和是( )，1的倒数是( )，( )没有倒数。 【答案】 / 4 //5.2 1 0 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求分数的倒数的方法：分子和分母互换位置即可；是带分数的先化成假分数，再把分子和分母互换位置即可；求小数倒数的方法：先将小数化成分数，再分子和分母互换位置即可；1的倒数是它本身，0没有倒数。 【详解】的倒数是； 0.25＝，所以0.25的倒数是4； ＝，所以的倒数是； 的倒数是5，＋5＝，所以与它的倒数的和是； 1的倒数是它本身，0没有倒数。 【变式训练1】．一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是( )；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是( )。 【答案】 2 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；把2.5化成带分数；2.5＝，再把带分数化成整数与真分数，据此求出这个自然数；一个自然数的倒数肯定是分子是1的真分数，做差时，这个自然数要拿出一个1来减去真分数，所以结果的整数部分＋1就是原来的这个自然数，据此解答。 【详解】2.5＝ ＝2＋，2和互为倒数，所以这个自然数是2。 3.75＝ 3＋1＝4 1－＝ 4和互为倒数，这个自然数是4，所以这个自然数的倒数是。 一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是2；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是。 【变式训练2】两个连续的奇数的倒数差是，这两个连续的奇数分别是( )和( )。 【答案】 11 13 【分析】两个连续奇数一定是互质数，它们的倒数差的分母是这两个连续奇数的积。那么由143＝11×13可把143拆成两个奇数11和13的乘积即可得解。 【详解】由分析可得：143＝11×13，，那么这两个连续的奇数分别是11和13。 【变式训练3】两个自然数的倒数之和是，这两个自然数是（    ）。 A．1和2 B．2和6 C．3和9 D．4和12 【答案】D 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，先求出选项中各数的倒数，再求出它们倒数的和，最后找出正确的选项，据此解答。 【详解】A．1的倒数是1，2的倒数是，1＋＝； B．2的倒数是，6的倒数是，＋＝； C．3的倒数是，9的倒数是，＋＝； D．4的倒数是，12的倒数是，＋＝。 故答案为：D 【点睛】掌握倒数的意义和异分母分数加法的计算方法是解答题目的关键。 易错点四：分数的平均分 例题：把米长的铁丝平均分成3份，每份是全长的( )，每份长( )。 【答案】 米/m 【分析】把铁丝的全长看作单位“1”，平均分成3份，用1除以3，求出每份是全长的几分之几； 把米长的铁丝平均分成3份，用铁丝的全长除以3，求出每份的长度。 【详解】1÷3＝ ÷3 ＝× ＝（米） 每份是全长的（），每份长（米）。 【变式训练1】画一画，算一算。 【答案】； 【分析】把长方形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份涂色，表示，再把这3份看作单位“1”，平均分成2份，取其中的1份涂色，即表示的二分之一。 【详解】根据分析进行画图： ÷2＝ 【变式训练2】公顷阔叶林每天约释放氧气吨，那么1公顷阔叶林每天可以释放氧气约( )吨。 【答案】/0.7 【分析】根据把一个数平均分，求每份是多少，用除法计算，用释放的氧气量除以公顷数即可。 【详解】（吨） 公顷阔叶林每天约释放氧气吨，那么1公顷阔叶林每天可以释放氧气约吨。 【变式训练3】把一段长米的木料，锯成若干相等的小段。一共锯了8次，平均每段木料长 米。 【答案】 【分析】锯成的段数＝锯的次数＋1，木料长度÷段数＝平均每段长度，据此列式计算。除以一个数等于乘这个数的倒数。 【详解】8＋1＝9（段） ÷9＝×＝（米） 平均每段木料长米。 易错点五：分数与整数的除法 例题：修一条公路，甲、乙两队合修6天可以完成。如果甲队单独修10天完成，那么乙队单独修( )天可以完成。 【答案】15 【分析】把总工作量看作单位“1”，甲、乙两队合修6天可以完成，则甲、乙两队的工作效率和为，甲队单独修10天可以完成，则甲队的工作效率为，用两队的工作效率的和减去甲队的工作效率，求出乙队的工作效率，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”求出乙队的工作时间即可。 【详解】1÷10＝ 1÷6＝ 1÷（） ＝1÷ ＝15（天） 所以乙队单独修15天可以完成。 【变式训练1】把长为米的钢管锯成若干长度相等的小段，一共锯了4次，每小段是这根钢管的( )，每小段长( )米。 【答案】 【分析】锯的次数与段数的关系为：锯的次数＋1＝段数，锯了4次，所以段数为4＋1＝5段。把钢管看作单位“1”，平均分成5段，每小段占。钢管总长为米，平均分成5段，用除以5计算即可。 【详解】锯的次数＋1＝段数 4＋1＝5（段） 把钢管平均分成5段，每小段占。 ÷5 ＝× ＝（米） 每小段是这根钢管的，每小段长米。 【变式训练2】甲、乙、丙三人赛跑，跑相同的路程，所用时间的关系是甲＝乙＝丙，则( )的速度最快。 【答案】甲 【分析】根据速度＝路程÷时间，三人跑的路程相同，时间最小的那个人跑的速度最快。假设时间的关系甲＝乙＝丙＝1，则甲是，乙是，丙是，最后再比较三个分数的大小。据此解答。 【详解】假设时间的关系甲＝乙＝丙＝1，则甲是，乙是，丙是。 则，即丙的时间＞乙的时间＞甲的时间。 同样的路程，速度最快的用的时间最小，则甲的速度最快。 【变式训练3】编一个中国结需要米的红绳，笑笑用一根长15米的红绳编中国结，已经用了它的，剩下的红绳还能再编( )个中国结。 【答案】20 【分析】把红绳的总长度看作单位“1”，已经用了它的，用去红绳的长度＝红绳的总长度×，剩下红绳的长度＝红绳的总长度－用去红绳的长度，剩下的红绳可以做中国结的数量＝剩下红绳的长度÷做一个中国结需要红绳的长度，据此解答。 【详解】（15－15×）÷ ＝（15－3）÷ ＝12÷ ＝12× ＝20（个） 所以，剩下的红绳还能再编20个中国结。 易错点六：分数与分数的除法 例题：直接写出得数。                                                                     【答案】12；；2.4；； ；15；；0 【解析】略 【变式训练1】直接写出得数。                                                                   【答案】；0.8；；12； ；；； 【详解】略 【变式训练2】直接写得数。                                                         【答案】；；；； ；1；28； 【解析】略 【变式训练3】直接写出得数。                                                                           【答案】15；2； ；； 【解析】略 易错点七：被除数与商的大小关系（分数除法） 例题：在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )        ( )       ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＞ ＜ 【分析】（1）一个非0的数除以一个小于1的数，结果大于这个数，除以一个大于1的数，结果小于这个数； （2）一个非0的数乘一个大于1的数，结果大于这个数，乘一个小于1的数，结果小于这个数； （3）计算出算式的结果，再比较大小。 【详解】因为＜1，＞1，所以÷＞，÷＜；所以÷＞÷； 因为＞1，所以÷＜； 因为＜1，所以÷＞； ÷2＝×＝＝0.25，×＝＝0.3，0.25＜0.3，所以÷2＜×。 ÷＞÷；÷＜；÷＞；÷2＜×。 【变式训练1】是一个大于1的自然数，下列各式中，得数最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】一个数乘一个大于1的数，乘积大于这个数； 一个数除以一个大于1的数，商小于这个数； 一个数除以1，商为它本身，由此即可选择。 【详解】A．，则； B．； C．，则； ，即得数最大的是。 故答案为：A 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＜ ＞ ＜ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （3）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （4）先分别算出两个算式的结果，再比较大小。 【详解】（1），所以； （2），所以 （3），则，，所以； （4），，，所以。 【变式训练3】若M是真分数，N是假分数，则M×N（    ）N÷M。 A．＜ B．＞ C．＝ D．不能确定 【答案】A 【分析】真分数小于1，假分数大于或等于1，一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，例如：，；一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数，例如：，，据此解答即可。 【详解】由于M是真分数，定义上满足0＜M＜1（即M的值在0到1之间）。N是假分数，即N的值大于或等于1。 比较M×N和N÷M： 因为M＜1，所以 M×N＜N（乘小于1的数会使结果变小）， 因为M＜1，所以N÷M＞N（除以小于1的数会使结果变大）， 因此，M×N＜N÷M， 故答案选：A 【点睛】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数。 易错点八：分数的连除运算 例题：天安门前的检阅区设在东西两个华表之间，长为96米，受阅官兵每步行进米，每分走112步，走完检阅区需要多少分钟？（用分数表示） 【答案】分钟 【分析】根据求96米里有几个米，用除法计算，可得走完检阅区需要的步数，又知每分走112步，再求总步数里有几个112步，还用除法计算，结果保留分数形式。 【详解】 （分钟） 答：走完检阅区需要分钟。 【变式训练1】一台收割机小时可收割公顷的水稻，照这样计算，公顷的水稻需要几小时收割完？ 【答案】小时 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，先用÷，求出每小时可以收水稻的面积，再用÷每小时收水稻的面积，即可解答。 【详解】÷（÷） ＝÷（×） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：公顷的水稻需要小时收割完。 【变式训练2】武汉越秀财富中心高330米，它的高度约是武汉天悦外滩金融中心的，武汉天悦外滩金融中心的高度约是武汉绿地中心的，武汉绿地中心高约多少米？ 【答案】475米 【分析】把武汉天悦外滩金融中心的高度看作单位“1”，根据分数除法的意义，用武汉越秀财富中心的高度除以，即可求出武汉天悦外滩金融中心的高度；再把武汉绿地中心的高度看作单位“1”，用武汉天悦外滩金融中心的高度除以，即可求出武汉绿地中心的高度。 【详解】330÷÷ ＝330×× ＝475（米） 答：武汉绿地中心高约475米。 【变式训练3】小刚很粗心，他在计算一道除法题时，把除以看成乘，计算结果是。这道题的正确结果应该是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，小刚用正确的被除数乘得到，根据积÷一个乘数＝另一个乘数，用除以即可求出正确的被除数，再用正确的被除数除以正确的除数，即可求出这道题的正确结果。 【详解】÷÷ ＝×× ＝ 答：这道题的正确结果应该是。 易错点九：分数的乘、除法的混合运算 例题：脱式计算。                  【答案】；； 【分析】（1）从左往右依次计算即可； （2）把除法都转化成乘法后，从左往右依次计算； （3）先算除法，再算乘法，从左往右依次计算。 【详解】 【变式训练1】脱式计算。                    【答案】12；；； 6；9； 【分析】（1）把除法都转化为乘法后，从左往右依次计算； （2）先算乘法，再算除法； （3）把除法转化为乘法后，从左往右依次计算； （4）从左往右依次计算； （5）把除法转化为乘法后，从左往右依次计算； （6）先算乘法，再算除法。 【详解】 【变式训练2】计算下面各题。                                                             【答案】；2； 6；；4 【分析】×21×，约分，再进行计算。 ÷÷，把除法换算成乘法，原式化为：××，约分，再进行计算。 ÷5×，把除法换算成乘法，原式化为：××，约分，再进行计算。 ×（26÷），把除法换算成乘法，原式化为：×（26×），去掉括号，原式化为：×26×，约分，再进行计算。 ÷8×，把除法换算成乘法，原式化为：××，约分，再进行计算。 ×34×7×，约分，再进行计算。 【详解】×21× ＝ ＝ ÷÷ ＝×× ＝ ＝2 ÷5× ＝×× ＝ ＝ ×（26÷） ＝×（26×） ＝×26× ＝ ＝6 ÷8× ＝×× ＝ ＝ ×34×7× ＝ ＝4 【变式训练3】用你喜欢的方法计算。                     16×＋63×0.75＋                      【答案】；60； ； 【分析】（1）按照从左往右的顺序依次计算； （2）先把0.75化成，再逆用乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成（16＋63＋1）×，再进一步计算即可； （3）先把198写成199－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成199×－1×，再进一步计算即可； （4）按照先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外面的除法的顺序计算即可。 【详解】÷÷8 ＝×× ＝× ＝ 16×＋63×0.75＋ ＝16×＋63×＋ ＝（16＋63＋1）× ＝80× ＝60 198× ＝（199－1）× ＝199×－1× ＝2－ ＝ ÷[×（－）] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝ 易错点十：分数除法相关的简便计算 例题：计算下面各题，能简算的要简算。                                               【答案】；；； ；13； 【分析】按照运算顺序，先算除法（除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数），再算加法； 分数连乘，先约分，再计算； 根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将分别与括号里的两个分数相乘，再相加； 按照运算顺序，先通分计算括号里的减法，再算除法； 将看作×1，然后根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）得，先算1＋17的和，再将结果与相乘； 将分数乘、除混合运算转化为分数连乘，先约分，再计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝13 ＝ ＝ ＝ 【变式训练1】用你喜欢的方法计算下面各题。                                      【答案】1；；5 14；5； 【分析】，利用乘法交换律进行计算。 ，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律逆运算进行计算。 ，先算括号内的除法，再算括号内的加法，最后算括号外的除法。 ，把第二个看作×1，再利用乘法分配律逆运算进行计算。 ，利用乘法分配律进行计算。 ，先算括号内的除法，再算括号内的减法，最后算括号外的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝20＋15－30 ＝35－30 ＝5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式训练2】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 ①        ②         ③ ④          ⑤        ⑥ 【答案】①10；②；③8 ④4；⑤；⑥ 【分析】①把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算。 ②把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律逆运算进行计算。 ③把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律逆运算进行计算。 ④先算括号内的减法，再算括号外的除法。 ⑤先算括号内的除法，再算括号内的加法，最后算括号外的除法。 ⑥利用乘法分配律计算中括号内的式子，再计算括号外的除法。 【详解】① ＝ ＝ ＝8＋6－4 ＝14－4 ＝10 ② ＝ ＝ ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝ ＝8 ④ ＝ ＝ ＝ ＝4 ⑤ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ⑥ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式训练3】计算下面各题，怎样简便怎样计算。                                                               【答案】3.2；；3 ；； 【分析】根据乘法分配律简算a×c－b×c＝（a－b）×c，变式为，再根据分数乘法计算法则计算。 先算，变为计算得，发现后两项分数的分母相同，根据加法结合律，先算＋简便，再与相加。 先算除法，变为，得，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），变式为简算。 ，先运用乘法交换律交换与的位置，再根据乘法结合律把与结合，与结合简便，变式为。 中，先将36看作（35＋1），再运用乘法分配律。 中括号里根据减法的性质a－（b＋c）＝a－b－c，中括号里变式为简算，最后算中括号外的除法。 【详解】 易错点十一：解分数方程 例题：解方程。 （1）        （2）        （3） 【答案】；； 【分析】（1）方程两边同时乘，即可解方程； （2）先对方程左侧进行计算，然后等式两边除以，再将除以转化为乘即可解方程； （3）等式两边同时乘，然后再同时除以，再将除以转化为乘即可解方程。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式训练1】解方程。 【答案】；； 【分析】将0.45转化为，整理方程左侧为，将方程两侧同时除以，再将除以转化为乘即可解方程； 将方程两侧同时除以，将除以转化为乘，将1.5转化为，将方程两侧同时加上即可解方程； 先计算方程右侧乘法，将方程两侧同时除以，将除以转化为乘即可解方程。 【详解】 解： 解： 解： 【变式训练2】解方程。                              【答案】；； 【分析】，先计算方程左边，再根据等式的基本性质2，两边同时除以计算即可。 ，根据等式的基本性质2，两边同时乘，再同时除以3计算即可。 ，根据等式的基本性质2，两边同时乘计算即可。 【详解】 解： 解： 解： 【变式训练3】解方程。                                    【答案】；； 【分析】方程两侧同时除以，将除以转化为乘即可解方程； 将方程左侧整理为，将方程两侧同时除以，再将除以转化为乘6即可解方程； 将方程两侧同时乘，再除以，将除以转化为乘即可解方程。 【详解】 解： 解： 解： 易错点十二：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 例题：某工厂生产一批零件，已经生产了总数的，正好生产了120个，这批零件一共有多少个？ 【答案】144个 【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”。已知生产了总数的，正好生产了120个，即总数的是120个，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此解答。 【详解】120÷＝120×＝144（个） 答：这批零件一共有144个。 【变式训练1】李叔叔买了一套桌椅共花了640元，椅子的价格是书桌价格的，书桌和椅子的价格分别是多少元？ 【答案】400元；240元 【分析】由题意可得单位“1”为书桌的价格，单位“1”未知用除法，椅子的价格是书桌价格的，一套桌椅的价格相当于书桌价格的（1＋），而这部分的总价为640元，用对应的总价除以对应的分率，可求得单位“1”对应的实量，即书桌的价格，再用总价格减去书桌的价格，即可求得椅子的价格。 【详解】 ＝ ＝ （元） 640－400＝240（元） 答：书桌的价格400元，椅子的价格240元。 【变式训练2】希望小学六年级有240名男生，相当于六年级女生人数的。六年级有多少名学生？ 【答案】 624名 【分析】已知男生人数是女生人数的，用男生人数除以求出女生的人数，再把男女生人数相加求总人数即可。 【详解】女生人数： （名） 总人数：240＋384＝624（名） 答：六年级共有624名学生。 【变式训练3】阅兵活动按照“阅兵式”（国家主席检阅静止方阵）和“分列式”（各方队依次通过天安门接受检阅）两部分依次进行，其中分列式大约用了42分钟，约占整个阅兵仪式时长的，那么静止“阅兵式”大约用了多少分钟？ 【答案】28分钟 【分析】已知分列式用时42分钟，占总时长的，将总时长看作单位“1”，用分列式时间除以对应分率求出总时长，再减去分列式时间即为阅兵式时间。 【详解】 （分钟） 答：静止“阅兵式”大约用了28分钟。 易错点十三：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 例题：六（1）班和六（2）班参加机器人社团的同学一共有35人，其中六（1）班参加机器人社团的人数是六（2）班的。六（1）班和六（2）班参加机器人社团的同学分别有多少人？ 【答案】六（1）班15人；六（2）班20人 【分析】根据题意，把六（2）班参加机器人社团的人数看作单位“1”，那么两个班的总人数是六（2）班的（1＋），用总人数÷（1＋）可求出六（2）班的人数，再用总人数减去六（2）班的人数或用六（2）班的人数×可求出六（1）班的人数。据此解答 【详解】35÷（1＋） ＝35÷ ＝35× ＝20（人） 35－20＝15（人） 答：六（1）班参加机器人社团的有15人，六（2）班有20人。 【变式训练1】为减少碳排放，国家鼓励新能源汽车发展。新能源汽车具有清洁环保、使用成本低、能源利用率高等优点，越来越受到人们的青睐。新城小区今年拥有新能源汽车的家庭有210户，比去年增加了，这个小区去年拥有新能源汽车的家庭有多少户？ 【答案】150户 【分析】已知今年新能源汽车家庭数为210户，比去年增加，即今年的数量是去年的。设去年户数为，根据，据此列方程解答。 【详解】解：设去年有户。 答：这个小区去年拥有新能源汽车的家庭有150户。 【变式训练2】天安门东西华表的间距是96米，受阅女兵们按照每分钟112步，每一次踢腿高度30厘米，比每次跨步的长度少的标准步伐通过华表间距。请问女兵们每次跨步的长度是多少厘米？通过东西华表要走多少步？ 【答案】75厘米；128步 【分析】已知踢腿高度30厘米，比跨步长度少，踢腿高度是跨步长度的（）。把跨步长度看作单位“1”，用踢腿高度除以对应分率即可求出跨步的长度；东西华表间距是96米，需要先换算成厘米，再用总长度除以每步长度得到步数。 【详解】30÷ ＝30÷ ＝30× ＝75（厘米） 96米＝9600厘米 9600÷75＝128（步） 答：女兵们每次跨步的长度是75厘米，通过东西华表要走128步。 【变式训练3】万泉湖研学实践基地开展“节电增效”专项工程以来，10月份研学基地比上个月节约用电30千瓦时，10月份用电量是9月份的，研学基地9月份和10月份各用电多少千瓦时？ 【答案】120千瓦时；90千瓦时 【分析】已知10月份比9月份节约用电30千瓦时，且10月份用电量是9月份的。将9月份用电量设为单位“1”，则10月份用电量为，节约部分对应（1－），即30千瓦时。求单位“1”的量用除法计算，用对应数量30千瓦时除以对应分率（1－）即可求出9月份用电量；再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用9月份用电量乘即可计算出10月份用电量。 【详解】30÷（1－） ＝30÷ ＝30×4 ＝120（千瓦时） 120×＝90（千瓦时） 答：研学基地9月份用电120千瓦时，10月份用电90千瓦时。 易错点十四：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 例题：王老师在万泉湖研学中安排手工编织任务，计划完成一批研学纪念绳，第一周完成了这批纪念绳的，第二周完成了这批纪念绳的，再做10条就完成计划任务了。王老师计划完成多少条研学纪念绳？ 【答案】30条 【分析】把王老师计划完成研学纪念绳的总数量看作单位“1”，第一周完成了这批纪念绳的，第二周完成了这批纪念绳的，则还剩下（1－－）没有完成，再做10条就完成计划任务了，计划完成研学纪念绳的总数量＝还需要做的数量÷（1－－），据此解答。 【详解】10÷（1－－） ＝10÷（1－－） ＝10÷ ＝10×3 ＝30（条） 答：王老师计划完成30条研学纪念绳。 【变式训练1】一辆货车从北京出发开往呼和浩特，第一小时行了全程的，第二小时行驶了100千米，这时离呼和浩特还有全程的，北京到呼和浩特有多远？（请你画线段图表示题目中的相关信息、标出相关数据，并解答） 【答案】作图见详解；500千米 【分析】画一条线段表示北京到呼和浩特的距离，将全程看作单位“1”，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，将全程分成三段，第一小时行驶路程的对应分率、100千米和剩余路程的对应分率，据此作图标出相关数据。1－第一小时行驶路程的对应分率－剩余路程的对应分率＝第二小时行驶路程的对应分率，第二小时行驶路程÷对应分率＝全程，据此列式解答。 【详解】 （千米） 答：北京到呼和浩特有500千米。 【变式训练2】单独加工一批零件，张师傅需要30小时，李师傅每小时加工20个。现在两人合作，完工时，张师傅比李师傅多做全部的。这批零件一共有多少个？ 【答案】900个 【分析】已知张师傅的工作效率是1÷30＝，把全部工作量看作单位“1”，已知张师傅比李师傅多做全部的，两人的工作总量和为 “1”，则张师傅完成全部的（1＋）÷2＝÷2＝×＝，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，即可算出两人的工作时间；已知李师傅每小时加工20个，根据“工作总量＝工作时间×工作效率”即可算出李师傅加工的零件个数，且李师傅完成工作总量的1－＝，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法求出这批零件一共有多少个。 【详解】（1＋）÷2 ＝÷2 ＝× ＝ ÷＝×30＝18（小时） 20×18＝360（个） 360÷（1－） ＝360÷ ＝360× ＝900（个） 答：这批零件一共有900个。 【点睛】熟练掌握工作效率、工作时间、工作总量的关系以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的计算方法是解答本题的关键。 【变式训练3】“铁人三项”是将游泳、自行车和跑步这三项运动结合起来的比赛项目。其中自行车比赛的距离占三项比赛全程的，跑步和游泳这两项比赛的距离一共是11.5千米。“铁人三项”的比赛全程是多少千米？ 【答案】51.5千米 【分析】三项比赛包含游泳、自行车和跑步，已知自行车距离占三项比赛全程的，把三项比赛全程看作单位“1”，那么跑步和游泳的距离占三项比赛全程的比例为：1－＝。跑步和游泳的距离一共是11.5千米，且其占全程的，所以用11.5除以计算即可得出全程长度。 【详解】把三项比赛全程看作单位“1”。 11.5÷（1－） ＝11.5÷ ＝11.5× ＝51.5（千米） 答：“铁人三项”的比赛全程是51.5千米。 易错点十五：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 例题：修一条公路，第一天修了全长的多150米，第二天修了余下的，还剩400米没有修，这条公路长多少米？ 【答案】1000米 【分析】根据题意，从后往前推，第二天还剩400米没修，占余下的1－＝，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法求出第一天修完后余下的长度，即400÷＝400×＝600（米）；第一天修了全长的多150米，则多出的150米和余下的600米合起来占全长的1－＝，据此求出全长。 【详解】400÷（1－） ＝400÷ ＝400× ＝600（米） （150＋600）÷（1－） ＝750÷ ＝750× ＝1000（米） 答：这条公路长1000米。 【点睛】解答本题时要注意：先把第一天修完后余下的部分看作单位“1”，再把这条公路的全长看作单位“1”，最后根据题中数量关系列式解答。 【变式训练1】小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书一共多少页？ 【答案】180页 【分析】解答此题需要用倒推法，先把第二天余下的页数看作单位“1”，第三天读了第二天余下页数的，剩下页数占第二天余下页数的（1－），还剩40页没有读，则第二天余下的页数＝剩下的页数÷（1－），计算可知，第二天余下了50页；再把第一天余下的页数看作单位“1”，第二天读了第一天余下的少10页，则第二天余下的页数减去10页刚好占第一天余下页数的（1－），第一天余下的页数＝（第二天余下的页数－10页）÷（1－），计算可知，第一天余下了60页；最后把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了这本书的还多30页，则第一天余下的页数再加上30页刚好占总页数的（1－），这本书的总页数＝（第一天余下的页数＋30页）÷（1－），据此解答。 【详解】 第二天余下的页数： 40÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝50（页） 第一天余下的页数： （50－10）÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝60（页） 这本书的总页数： （60＋30）÷（1－） ＝90÷ ＝90×2 ＝180（页） 答：小明读的这本故事书一共180页。 【点睛】本题主要考查利用倒推法解决分数问题，准确找出单位“1”，用线段图分析题中页数对应的分率是解答题目的关键。 【变式训练2】一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的，第二天它吃了余下桃子的，第三天它吃了余下桃子的，第四天它吃了余下桃子的，第五天它吃了余下桃子的，第六天它吃了余下桃子的，这时还剩下12只桃子，那么前三天猴子所吃桃子的总数是多少只？ 【答案】36只 【分析】最后剩下的12只桃子是第六天吃剩的（1－），于是可以求出第六天时有多少只桃子，这个数又是第五天吃剩的（1－），于是又可以求出第五天时有多少只桃子……，倒着想，可以求出这只猴子摘的桃子共有的只数。 【详解】桃子的总数： 12÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－）÷（1－） ＝12÷ ＝ ＝12×7 ＝84（只） 第一天吃：84×＝12（只） 第二天吃：（84－12）×＝72×＝12（只） 第三天吃：（84－12－12）×＝60×＝12（只） 三天共吃：12＋12＋12＝36（只） 答：前三天猴子所吃桃子的总数是36只。 【变式训练3】中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位） 【答案】斗 【分析】本题用倒推法从后向前推算，先把经过内关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），剩下5斗米，经过内关时米的总数量＝剩下米的数量÷（1－），再把经过中关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），经过中关时米的总数量＝经过内关时米的总数量÷（1－），最后把经过外关时米的总数量看作单位“1”，纳税所缴的米占总数量的，则剩下的米占总数量的（1－），经过外关时米的总数量＝经过中关时米的总数量÷（1－），据此解答。 【详解】 5÷（1－）÷（1－）÷（1－） ＝5÷÷÷ ＝5××× ＝（斗） 答：这个人原来带了斗米。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，明确每次纳税的米都是把上次剩余的米看作单位“1”是解答题目的关键。 拔尖训练 1．一件毛衣按原价的销售，售价为90元，这件毛衣的原价是（    ）元。 A．100 B．99 C．81 D．900 【答案】A 【分析】将原价看作单位“1”，售价是原价的，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法计算，即原价＝售价÷对应分率。 【详解】原价为： （元） 故答案为：A 2．六（1）班男生人数的和女生人数的相等，那么男生人数是女生人数的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，男生人数占女生人数的分率＝男生人数÷女生人数，六（1）班男生人数的和女生人数的相等，则男生人数×＝女生人数×，等式两边同时除以女生人数，则男生人数÷女生人数×＝，等式两边再同时除以，则男生人数÷女生人数＝，由此求出男生人数占女生人数的分率，据此解答。 【详解】男生人数×＝女生人数× 男生人数×÷女生人数＝女生人数×÷女生人数 男生人数÷女生人数×＝ 男生人数÷女生人数×÷＝÷ 男生人数÷女生人数＝×8 男生人数÷女生人数＝ 所以，男生人数是女生人数的。 故答案为：B 3．已知甲数和乙数都大于0，且甲数÷乙数＞甲数，则在直线上表示乙数的位置可能是（    ）。 A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】甲数和乙数都大于0，甲数÷乙数＞甲数，根据一个数（0除外）除以小于1且不为0的数，商大于被除数；除以大于1的数，商小于被除数；除以1时，商等于被除数。由图可知，A点的位置大于0且小于1；B点的位置大于1且小于2；C点的位置是2；D点的位置大于2。据此假设乙数大于1，小于1（0除外）和等于1三种情况分析判断。 【详解】甲数和乙数都大于0，甲数÷乙数＞甲数； 当乙数小于1且大于0时，甲数÷乙数＞甲数； 当乙数等于1时，甲数÷乙数＝甲数； 当乙数大于1时，甲数÷乙数＜甲数。 即乙数小于1且不为0，所以在直线上表示乙数的位置可能是A点。 故答案为：A 4．六年级学生参加捐书活动，二班捐书120本，刚好是一班捐的，三班捐书的本数是一班的。三班捐书多少本？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，先把一班捐的数量看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法，用二班捐书的数量除以得到一班的数量，再把一班的数量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，用一班捐书的数量乘即可得到三班捐书的数量，据此列式并解答。 【详解】120÷× ＝120×× ＝144× ＝216（本） 求三班捐书多少本？正确的算式是：120÷×。 故答案为：B 5．甲、乙两个机器人需要检测零件480个，甲单独检测需要40分钟，乙单独检测需要60分钟。甲乙两个机器人同时检测，需要（    ）分钟完成。 A．4.8 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】将检测480个零件看作单位1，则甲的工作效率为1÷40＝，乙的工作效率为1÷60＝，用工作总量÷工作效率和＝工作时间计算。 【详解】将需要检测的480个零件看作单位1 1÷40＝ 1÷60＝ 1÷（） ＝1÷ ＝24（分钟） 故答案为：D 6．一辆小轿车行驶6km耗油L，平均每L汽油可行驶( )km，行驶1km要耗油( )L。 【答案】 10 【详解】小轿车行驶6km耗油L，用6除以可以求出平均每L汽油可行驶多少km，用除以6可以求出行驶1km要耗油多少L。 【解答】6÷ ＝6× ＝10（km） ÷6 ＝× ＝（L） 平均每L汽油可行驶10km，行驶1km要耗油L。 7．若（a、b、c均大于0），那么a、b、c中最大的是( )。 【答案】b 【分析】已知（a、b、c均大于0），根据一个数除以分数（0除外）等于乘这个分数的倒数。原式变为：＝b×，在积相等的乘法算式中，一个因数越大，则另一个因数越小，据此分析比较即可。 【详解】＝，， 即，所以b＞a＞c。 a、b、c中最大的是b。 8．把消毒液平均装在8个相同规格的小喷瓶里，每个小喷瓶装的消毒液是的( )。每个小喷瓶装的消毒液是( )L。 【答案】 【分析】把总量平均分成8份，其中的1份占总量的，每个小喷瓶装的消毒液的升数＝总升数÷小瓶个数，据此解答。 【详解】1÷8＝ 所以每个小喷瓶装的消毒液是的。 ＝ ＝（L） 所以每个小喷瓶装的消毒液是L。 9．一个数的是12.6，这个数是( )；36kg增加后是( )kg；( )m减少后是15.5m。 【答案】 29.4// 48 18.6// 【分析】第一个空，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，列式计算； 第二个空，已知质量是单位“1”，所求质量是已知质量的（1＋），已知质量×所求质量对应分率＝所求质量，据此列式计算； 第三个空，所求长度是单位“1”，已知长度是所求长度的（1－），已知长度÷对应分率＝所求长度，据此列式计算。 【详解】12.6÷ ＝12.6× ＝29.4 36×（1＋） ＝36× ＝48（kg） 15.5÷（1－） ＝15.5÷ ＝15.5× ＝18.6（m） 一个数的是12.6，这个数是29.4；36kg增加后是48kg；18.6m减少后是15.5m。 10．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )              ( ) ( )            ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；除以大于1的数，商比原数小；除以一个数等于乘这个数的倒数，据此填空。 【详解】＜1，＜              ＞1，＞ ＝3×4＝12、＝，＞            ＝ 11．“天猫商城”举行双十一促销活动，一款移动硬盘比原来优惠了，王阿姨买这款移动硬盘用了440元，那么这款移动硬盘原价是( )，优惠了( )元。 【答案】 495元 55 【分析】把这款移动硬盘的原价看作单位“1”，现价比原价优惠了，则现价相当于原价的，求单位“1”的量用除法，用对应数量440元除以对应分率即可得到原价；再用原价减去现价即可得优惠了多少元。 【详解】440÷ ＝440÷ ＝440× ＝495（元） 495－440＝55（元） “天猫商城”举行双十一促销活动，一款移动硬盘比原来优惠了，王阿姨买这款移动硬盘用了440元，那么这款移动硬盘原价是495，优惠了55元。 12．kg黄豆可以榨油kg，照这样计算，1kg黄豆可以榨油( )kg，榨1kg油需要( )kg黄豆。 【答案】 【分析】依据“单位量＝总量÷数量”和分数除法的意义，求1kg黄豆可榨油多少kg，以黄豆量为单位“1”，用榨油量除以黄豆量，即；求榨1kg油需要多少kg黄豆，以榨油量为单位“1”，用黄豆量除以榨油量，即。 【详解】 1kg黄豆可以榨油kg，榨1kg油需要kg 黄豆。 【点睛】求“1kg黄豆榨油量”，以黄豆为单位“1”，用“榨油量÷黄豆量”；求“榨1kg油需黄豆量”，以油为单位“1”，用“黄豆量÷榨油量”。通过清晰区分单位“1”的指向，利用分数除法的意义，精准解决两类反向问题。 13．一项工程，甲单独做15天完成，甲的效率是乙的。甲、乙合作完成这项工程需要( )天。 【答案】 【分析】把这项工程的工作量看作单位“1”，甲单独做15天完成，因此甲的工作效率为：1÷15＝，已知甲的效率是乙的，则乙的工作效率为：÷＝。甲、乙合作的工作效率为两者效率之和，即（＋），然后用单位“1”除以（＋）计算即可。 【详解】把这项工程的工作量看作单位“1”。 1÷15＝ ÷ ＝× ＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 甲、乙合作完成这项工程需要天。 14．直接写出得数。                                                                                  【答案】；；；；； ；；；； 【详解】略 15．解方程。                          【答案】；； 【分析】（1）先把小数转化为分数，再求出分数减法的差，最后利用等式的性质2，方程两边同时除以； （2）先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （3）先利用等式的性质1，方程两边同时加上，再利用等式的性质2，方程两边同时除以8。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 16．计算下面各题。（能简算的要简算）          【答案】；；38 ；7；15 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再提取公因数，用乘法分配律进行简算。 （2）从左到右依次计算，分数除法转乘法（除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数）。 （3）把后边的看作，接着提取公因数，用乘法分配律简算。 （4）先算括号里的加法，再算除法，最后算乘法。 （5）用乘法分配律展开计算。 （6）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 【详解】（1） （2） （3） ＝38 （4） （5） （6） 17．某工程需要铺步道，甲队单独铺20天可以完成，乙队单独铺15天可以完成，如果两队合作，多少天可以完成这项工作的？ 【答案】天 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲乙两队合作时的工作效率和为（）；根据工作时间＝工作量工作效率，用指定工作量（即这项工作的）除以两队合作时的工作效率和，即可求出合作完成这项工作的所需的时间。 【详解】120＝ 115＝ 答：两队合作，天可以完成这项工作的。 18．东坡肉以猪肉为主要食材，相传为北宋文学家苏轼所创制。做东坡肉离不开绍酒和酱油，做一份东坡肉需要绍酒300克，比所需要的酱油多，做一份东坡肉需要酱油多少克？（用方程解） 【答案】180克 【分析】本题是一道分数应用题，需要运用方程来求解。首先明确题目中的数量关系，绍酒的质量比酱油多，所以绍酒的质量是酱油质量的倍。我们设需要酱油的质量为x克，根据“”这一数量关系来列方程，进而求解出酱油的质量。 【详解】解：设：做一份东坡肉需要酱油x克。 答：做一份东坡肉需要酱油180克。 19．修一条公路，甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修12天完成，丙工程队单独修15天完成。如果是甲、乙、丙三个工程队合修，几天可以完成任务？ 【答案】4天 【分析】将工作总量看作单位“1”，已知甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修12天完成，丙工程队单独修15天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”分别求出甲、乙、丙工程队的工作效率；将三队的工作效率相加求出三队合作的工作效率总和，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”即可求出合作时间。据此解答。 【详解】1÷10＝ 1÷12＝ 1÷15＝ 1÷（＋＋） ＝1÷（＋＋） ＝1÷ ＝1× ＝4（天） 答：4天可以完成任务。 20．甲、乙二人分别从A、B两地间同时相向而行，甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是60千米，那么A、B两地相距多少米？ 【答案】210000米 【分析】已知甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米，计算两人速度比，时间相同，进而可求得二者的路程比。第一次相遇时，两人共行了一个全程，计算相遇点距A地的距离为全程的几分之几。第二次相遇时，两人共行了三个全程，计算相遇点距A地的距离占全程的几分之几，然后计算两次相遇点之间的距离占全程的几分之几，由此解答本题。 【详解】甲的速度：乙的速度＝4：3 第一次相遇时，两人共行了一个全程，相遇点距A地的距离为全程的4÷（4＋3）＝4÷7＝ 第二次相遇时，两人共行了三个全程，甲行驶 相遇点距A地的距离为全程的2－ 60÷ ＝60÷ ＝60× ＝210（千米） 210千米＝210000米 答：A、B两地相距210000米。 【点睛】由甲、乙的速度，可求得二者的速度比，时间相同，速度比等于路程比，进而可求得第一次相遇时，相遇点距A地的距离（即甲的路程占总路程的几分之几）。第二次相遇时，相当于两人共走3个全程，用一次相遇时，甲所走的路程乘3，可求得甲所走的路程，用2减这部分分率，可求得相遇点距A地的距离为全程的几分之几。用总长除以（第一次距离A地的距离的分率－第二次距离A地的分率），即可求得A、B两地相距多少。 21．一项工程，甲队单独做要15天修完，乙队每天修这项工程的，甲队先修8天后，剩下的两队合作，还需要多少天才能完成这项工程？ 【答案】4天 【分析】将这项工程看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，1－甲队效率×先修的天数＝剩余工作量，剩余工作量÷两队效率和＝还需要的天数，据此列式解答。 【详解】 （天） 答：还需要4天才能完成这项工程。 22．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变。我国普通列车的最快运行速度是120千米/时，快速列车的最快速度是普通列车的，是高速列车的。高速列车的最快运行速度是多少？ 【答案】350千米/时 【分析】把普通列车的速度看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，算出快速列车的速度。再把高速列车的速度看作单位“1”，根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 【详解】 ＝350（千米/时） 答：高速列车的最快运行速度是350千米/时。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03：分数除法 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：倒数的认识与求法 2 知识点二：分数除以整数的计算法则 2 知识点三：一个数除以分数的计算法则 3 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 3 知识点五：分数除法应用题解题策略 4 知识点六：易错点与培优技巧 4 易错点练习 4 易错点一：倒数的认识 5 易错点二：与倒数有关的综合计算 5 易错点三：自然数与倒数的和或差问题 5 易错点四：分数的平均分 6 易错点五：分数与整数的除法 6 易错点六：分数与分数的除法 6 易错点七：被除数与商的大小关系（分数除法） 7 易错点八：分数的连除运算 8 易错点九：分数的乘、除法的混合运算 8 易错点十：分数除法相关的简便计算 9 易错点十一：解分数方程 11 易错点十二：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 11 易错点十三：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 12 易错点十四：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 13 易错点十五：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 14 拔尖训练 15 知识梳理 知识点一：倒数的认识与求法 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。强调“互为”的双向关系，即a是b的倒数，b也是a的倒数。 求倒数的方法： 分数：交换分子分母的位置（如3的倒数是） 整数：看作分母是1的分数（如5的倒数是） 小数：先化成分数再求倒数（如0.25=，倒数是4） 特殊数的倒数： 1的倒数是1（） 0没有倒数（0不能作除数） 倒数性质：真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1 知识点二：分数除以整数的计算法则 计算方法： 方法一：分子直接除以整数（适用于分子是整数倍数的情况） 公式：（） 方法二：乘整数的倒数（通用方法） 公式：（） 例： 计算步骤： 1.转化：将除法转化为乘法（除以一个数=乘这个数的倒数） 2.约分：分子分母交叉约分 3.计算：分子相乘作分子，分母相乘作分母 注意事项：结果必须是最简分数，带分数需先化成假分数 知识点三：一个数除以分数的计算法则 算理推导： 借助具体情境理解：表示“2里面有几个” 几何直观：用线段图表示包含除关系 计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数 公式：（，） 计算步骤： 1.变号：除号变乘号 2.倒数：除数变为它的倒数 3.约分：交叉约分简化计算 4.求解：分子分母分别相乘 统一法则：分数除法统一转化为乘法计算，即甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 知识点四：分数混合运算顺序与简便计算 运算顺序： 同级运算：从左往右依次计算 不同级运算：先算乘除，后算加减 有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的 简便运算定律（与整数相同）： 乘法交换律： 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律： 常见简算类型： 连除变连乘： 分配律应用： 拆分法：将带分数拆成整数加分数（如） 知识点五：分数除法应用题解题策略 关键步骤： 1.找：找准单位“1”的量（通常在“是、占、比”后面） 2.判：判断单位“1”的量是已知还是未知（已知用乘法，未知用除法） 3.列：根据数量关系列算式 4.算：准确计算结果 基本数量关系： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”：对应量÷对应分率=单位“1”的量 求一个数是另一个数的几分之几：比较量÷标准量=分率 复杂问题解题技巧： 画线段图分析数量关系 转化单位“1”（如甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的） 抓住不变量解题（部分量不变、总量不变或差不变） 知识点六：易错点与培优技巧 易错点警示： 混淆“除”和“除以”：a除以b写作，a除b写作 倒数概念错误：认为0有倒数或1没有倒数 计算时忘记乘倒数：如0（错误） 应用题中对应分率找错：部分量与分率不对应 培优解题技巧： 设数法：对于缺少具体数据的题目，设单位“1”为具体数 转化法：将分数除法转化为比的问题解决 验证法：用乘法验算除法结果是否正确 对比法：对比乘除法应用题的异同点 易错点练习 易错点一：倒数的认识 例题：的倒数是( )，0.45的倒数是( )。 【变式训练1】一个数和它的倒数的和是2，这个数是( )。( )没有倒数。 【变式训练2】如下图：点A的倒数是( )。 【变式训练3】三个连续奇数的和的倒数是，这三个奇数分别是多少？ 易错点二：与倒数有关的综合计算 例题：如果a与b互为倒数，且有＝，那么，4m＝( )，m－0.25＝( )。 【变式训练1】的倒数与的倒数和是多少？与的和的倒数是多少？以下结果正确的是（    ）。 A．； B．； C．； 【变式训练2】如果m、n互为倒数，那么×＋的结果是（    ）。 A．1 B． C．无法确定 【变式训练3】有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 易错点三：自然数与倒数的和或差问题 例题：的倒数是( )，0.25和( )互为倒数，的倒数是( )，与它的倒数的和是( )，1的倒数是( )，( )没有倒数。 【变式训练1】．一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是( )；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是( )。 【变式训练2】两个连续的奇数的倒数差是，这两个连续的奇数分别是( )和( )。 【变式训练3】两个自然数的倒数之和是，这两个自然数是（    ）。 A．1和2 B．2和6 C．3和9 D．4和12 易错点四：分数的平均分 例题：把米长的铁丝平均分成3份，每份是全长的( )，每份长( )。 【变式训练1】画一画，算一算。 【变式训练2】公顷阔叶林每天约释放氧气吨，那么1公顷阔叶林每天可以释放氧气约( )吨。 【变式训练3】把一段长米的木料，锯成若干相等的小段。一共锯了8次，平均每段木料长 米。 易错点五：分数与整数的除法 例题：修一条公路，甲、乙两队合修6天可以完成。如果甲队单独修10天完成，那么乙队单独修( )天可以完成。 【变式训练1】把长为米的钢管锯成若干长度相等的小段，一共锯了4次，每小段是这根钢管的( )，每小段长( )米。 【变式训练2】甲、乙、丙三人赛跑，跑相同的路程，所用时间的关系是甲＝乙＝丙，则( )的速度最快。 【变式训练3】编一个中国结需要米的红绳，笑笑用一根长15米的红绳编中国结，已经用了它的，剩下的红绳还能再编( )个中国结。 易错点六：分数与分数的除法 例题：直接写出得数。                                                                     【变式训练1】直接写出得数。                                                                   【变式训练2】直接写得数。                                                         【变式训练3】直接写出得数。                                                                           易错点七：被除数与商的大小关系（分数除法） 例题：在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )        ( )       ( ) 【变式训练1】是一个大于1的自然数，下列各式中，得数最大的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )    ( ) 【变式训练3】若M是真分数，N是假分数，则M×N（    ）N÷M。 A．＜ B．＞ C．＝ D．不能确定 易错点八：分数的连除运算 例题：天安门前的检阅区设在东西两个华表之间，长为96米，受阅官兵每步行进米，每分走112步，走完检阅区需要多少分钟？（用分数表示） 【变式训练1】一台收割机小时可收割公顷的水稻，照这样计算，公顷的水稻需要几小时收割完？ 【变式训练2】武汉越秀财富中心高330米，它的高度约是武汉天悦外滩金融中心的，武汉天悦外滩金融中心的高度约是武汉绿地中心的，武汉绿地中心高约多少米？ 【变式训练3】小刚很粗心，他在计算一道除法题时，把除以看成乘，计算结果是。这道题的正确结果应该是多少？ 易错点九：分数的乘、除法的混合运算 例题：脱式计算。                  【变式训练1】脱式计算。                    【变式训练2】计算下面各题。                                                             【变式训练3】用你喜欢的方法计算。                     16×＋63×0.75＋                      易错点十：分数除法相关的简便计算 例题：计算下面各题，能简算的要简算。                                               【变式训练1】用你喜欢的方法计算下面各题。                                      【变式训练2】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 ①        ②         ③ ④          ⑤        ⑥ 【变式训练3】计算下面各题，怎样简便怎样计算。                                                               易错点十一：解分数方程 例题：解方程。 （1）        （2）        （3） 【变式训练1】解方程。 【变式训练2】解方程。                              【变式训练3】解方程。                                    易错点十二：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 例题：某工厂生产一批零件，已经生产了总数的，正好生产了120个，这批零件一共有多少个？ 【变式训练1】李叔叔买了一套桌椅共花了640元，椅子的价格是书桌价格的，书桌和椅子的价格分别是多少元？ 【变式训练2】希望小学六年级有240名男生，相当于六年级女生人数的。六年级有多少名学生？ 【变式训练3】阅兵活动按照“阅兵式”（国家主席检阅静止方阵）和“分列式”（各方队依次通过天安门接受检阅）两部分依次进行，其中分列式大约用了42分钟，约占整个阅兵仪式时长的，那么静止“阅兵式”大约用了多少分钟？ 易错点十三：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 例题：六（1）班和六（2）班参加机器人社团的同学一共有35人，其中六（1）班参加机器人社团的人数是六（2）班的。六（1）班和六（2）班参加机器人社团的同学分别有多少人？ 【变式训练1】为减少碳排放，国家鼓励新能源汽车发展。新能源汽车具有清洁环保、使用成本低、能源利用率高等优点，越来越受到人们的青睐。新城小区今年拥有新能源汽车的家庭有210户，比去年增加了，这个小区去年拥有新能源汽车的家庭有多少户？ 【变式训练2】天安门东西华表的间距是96米，受阅女兵们按照每分钟112步，每一次踢腿高度30厘米，比每次跨步的长度少的标准步伐通过华表间距。请问女兵们每次跨步的长度是多少厘米？通过东西华表要走多少步？ 【变式训练3】万泉湖研学实践基地开展“节电增效”专项工程以来，10月份研学基地比上个月节约用电30千瓦时，10月份用电量是9月份的，研学基地9月份和10月份各用电多少千瓦时？ 易错点十四：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 例题：王老师在万泉湖研学中安排手工编织任务，计划完成一批研学纪念绳，第一周完成了这批纪念绳的，第二周完成了这批纪念绳的，再做10条就完成计划任务了。王老师计划完成多少条研学纪念绳？ 【变式训练1】一辆货车从北京出发开往呼和浩特，第一小时行了全程的，第二小时行驶了100千米，这时离呼和浩特还有全程的，北京到呼和浩特有多远？（请你画线段图表示题目中的相关信息、标出相关数据，并解答） 【变式训练2】单独加工一批零件，张师傅需要30小时，李师傅每小时加工20个。现在两人合作，完工时，张师傅比李师傅多做全部的。这批零件一共有多少个？ 【变式训练3】“铁人三项”是将游泳、自行车和跑步这三项运动结合起来的比赛项目。其中自行车比赛的距离占三项比赛全程的，跑步和游泳这两项比赛的距离一共是11.5千米。“铁人三项”的比赛全程是多少千米？ 易错点十五：运用转化法或倒推法解决稍复杂的分数应用题 例题：修一条公路，第一天修了全长的多150米，第二天修了余下的，还剩400米没有修，这条公路长多少米？ 【变式训练1】小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书一共多少页？ 【变式训练2】一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的，第二天它吃了余下桃子的，第三天它吃了余下桃子的，第四天它吃了余下桃子的，第五天它吃了余下桃子的，第六天它吃了余下桃子的，这时还剩下12只桃子，那么前三天猴子所吃桃子的总数是多少只？ 【变式训练3】中国古代《九章算术》中有一道数学名题“持米过关”：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？意思是有一个人背了一袋大米过三关，在外关时用全部米的纳税，经过中关时用所剩米的纳税，经过内关时再用所剩米的纳税，最后还剩5斗米。请问：这个人原来带了多少斗米？先画图表示数量关系，再解决问题。（“斗”是中国古代的容量单位） 拔尖训练 1．一件毛衣按原价的销售，售价为90元，这件毛衣的原价是（    ）元。 A．100 B．99 C．81 D．900 2．六（1）班男生人数的和女生人数的相等，那么男生人数是女生人数的（    ）。 A． B． C． D． 3．已知甲数和乙数都大于0，且甲数÷乙数＞甲数，则在直线上表示乙数的位置可能是（    ）。 A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4．六年级学生参加捐书活动，二班捐书120本，刚好是一班捐的，三班捐书的本数是一班的。三班捐书多少本？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 5．甲、乙两个机器人需要检测零件480个，甲单独检测需要40分钟，乙单独检测需要60分钟。甲乙两个机器人同时检测，需要（    ）分钟完成。 A．4.8 B．8 C．12 D．24 6．一辆小轿车行驶6km耗油L，平均每L汽油可行驶( )km，行驶1km要耗油( )L。 7．若（a、b、c均大于0），那么a、b、c中最大的是( )。 8．把消毒液平均装在8个相同规格的小喷瓶里，每个小喷瓶装的消毒液是的( )。每个小喷瓶装的消毒液是( )L。 9．一个数的是12.6，这个数是( )；36kg增加后是( )kg；( )m减少后是15.5m。 10．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )              ( ) ( )            ( ) 11．“天猫商城”举行双十一促销活动，一款移动硬盘比原来优惠了，王阿姨买这款移动硬盘用了440元，那么这款移动硬盘原价是( )，优惠了( )元。 12．kg黄豆可以榨油kg，照这样计算，1kg黄豆可以榨油( )kg，榨1kg油需要( )kg黄豆。 13．一项工程，甲单独做15天完成，甲的效率是乙的。甲、乙合作完成这项工程需要( )天。 14．直接写出得数。                                                                                  15．解方程。                          16．计算下面各题。（能简算的要简算）          17．某工程需要铺步道，甲队单独铺20天可以完成，乙队单独铺15天可以完成，如果两队合作，多少天可以完成这项工作的？ 18．东坡肉以猪肉为主要食材，相传为北宋文学家苏轼所创制。做东坡肉离不开绍酒和酱油，做一份东坡肉需要绍酒300克，比所需要的酱油多，做一份东坡肉需要酱油多少克？（用方程解） 19．修一条公路，甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修12天完成，丙工程队单独修15天完成。如果是甲、乙、丙三个工程队合修，几天可以完成任务？ 20．甲、乙二人分别从A、B两地间同时相向而行，甲的速度是每小时40千米，乙的速度是每小时30千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是60千米，那么A、B两地相距多少米？ 21．一项工程，甲队单独做要15天修完，乙队每天修这项工程的，甲队先修8天后，剩下的两队合作，还需要多少天才能完成这项工程？ 22．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变。我国普通列车的最快运行速度是120千米/时，快速列车的最快速度是普通列车的，是高速列车的。高速列车的最快运行速度是多少？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $