期末复习08：数与形（知识梳理+4个易错点练习+拔尖训练）六年级上册数学易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学期末复习讲义以“数与形”为核心，通过知识框架图系统梳理概念关系、数列规律、计算应用等五大知识点，用表格归纳正方形数列、三角形数列等图形规律，以思维导图呈现数形结合“以形助数、以数解形”的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“易错点+拔尖训练”的分层设计，如用线段图解决行程问题、面积模型理解分数乘法，培养几何直观与推理意识。每个易错点配例题及变式训练，拔尖题融入规律探究，助力基础薄弱学生巩固方法，优秀学生提升创新思维，为教师精准教学提供支持。

期末复习08：数与形 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：数与形的概念及关系 1 知识点二：用图形表示数列规律 1 知识点三：数形结合解决计算问题 2 知识点四：数形结合解决实际问题 2 知识点五：易错点与培优技巧 3 易错点练习 3 易错点一：用图像表示变换关系 3 易错点二：数形结合规律 5 易错点三：数列中的规律 6 易错点四：算式的规律 7 拔尖训练 8 知识梳理 知识点一：数与形的概念及关系 数与形的定义： 数（代数）：通过符号和逻辑推理表达数量关系 形（几何）：通过图形和直观形象描述空间形式 数与形的关系： 数中有形：用图形直观表示数量关系（如用线段图表示分数、方格图表示乘法） 形中有数：用数量关系精确描述图形特征（如用数据表示图形的边长、面积） 数形结合：通过数与形的相互转化解决问题，核心思想是以形助数、以数解形。 知识点二：用图形表示数列规律 1. 基本图形数列 正方形数列（平方数）： 图形特征：第n个图形由n×n个小正方形组成 数量规律：第n项为（1, 4, 9, 16, 25...） 示例：，，，...（从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方） 三角形数列（三角形数）： 图形特征：第n个图形由n行点组成，呈三角形排列 数量规律：第n项为（1, 3, 6, 10, 15...） 示例：，，，...（从1开始的连续自然数之和） 梯形数列： 数量规律：总点数= 示例：（上底2点，下底4点，3层） 2. 规律探索方法： 观察图形变化→列表分析数据→归纳通项公式→验证规律。 知识点三：数形结合解决计算问题 1. 分数计算中的数形结合 分数加法：用图形表示分数单位，直观展示相加过程 示例：，用正方形依次分割表示各分数，剩余部分为，总和为。 分数乘法：用长方形面积模型表示分数相乘 示例：，先画长方形表示单位"1"，横向分3份取2份，纵向分4份取3份，重叠部分占。 2. 简便计算中的数形结合 等差数列求和：用梯形面积公式计算（和=） 等比数列求和：用图形极限思想理解（如，总和趋近于1）。 知识点四：数形结合解决实际问题 解题步骤： 1.理解题意，找出关键数量关系 2.画出图形（线段图、示意图、方格图等） 3.根据图形分析数量关系，列式计算 典型问题类型： 行程问题：用线段图表示路程、速度、时间关系 分数应用题：用线段图表示单位"1"和分率关系 示例：一桶油用去，还剩15kg，求原有多少kg？ （画线段表示总量，分成5份，剩余3份对应15kg，每份5kg，总量kg） 鸡兔同笼问题：用面积图表示头数和脚数关系。 知识点五：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.规律归纳不完整：仅凭前几项得出结论（如下一项不一定是16） 2.图形与数量对应错误：混淆图形序号与数量关系（如第n个正方形图形有个小正方形，非） 3.单位"1"设定不当：分数问题中图形表示的单位"1"不统一 培优技巧： 多角度画图（线段图、面积图、点阵图） 从简单入手（先分析n=1,2,3的情况，再归纳一般规律） 逆向验证（根据规律表达式画图形验证） 易错点练习 易错点一：用图像表示变换关系 例题：下图表示的是淘气乘车去图书馆看书，然后返回家的过程。下面说法不正确的是 (　　)。 A．淘气从家出发到图书馆用了0.5时 B．淘气在图书馆停留了1.5时 C．淘气的家与图书馆之间的距离是5千米 D．图中E点处速度是5千米/时 【变式训练1】小红从家里出门散步，下图描述了她散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的关系。据图判断，下面的描述符合小红散步情况的是 (　　)。 A．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸就回家了。 B．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸后，继续向前走了一段，然后回家了。 C．从家出发， 一直散步(没有停留)，然后回家了。 D．从家出发，突然发现忘带手机了，就回家了。 【变式训练2】下图是贝贝骑车从家去图书馆看书再回家的过程，下列说法不正确的是 (　　)。 A．贝贝出发后在距离家2千米的地方休息了20分钟。 B．贝贝在路上花了1小时的时间到达图书馆。 C．贝贝在图书馆看书用了40分钟。 D．图书馆和贝贝家的距离是2千米。 【变式训练3】深圳书城龙岗城是全国第一家全方位、多维度高端智能书城。有一天，淘气从家去书城的时候，中途休息了几分钟，到书城买完书后直接回家。下面能正确描述淘气这一过程的图像是(　　)。 A． B． C． D． 易错点二：数形结合规律 例题：如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到　 　个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为　 　平方厘米。 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 【变式训练1】8个班进行足球比赛，每两个班比赛一场。为了解决“一共要比赛多少场”的问题，金小圈尝试用下面的方法找出其中的规律。 2个班 1场 3个班 1+2=3（场） 4个班 1+2+3=6（场） 5个班 ____ （1）在上面的横线上列式计算5个班的比赛场数。 （2）按照这个规律，8个班的比赛场数是　 　。 【变式训练2】 用相同的圆画图，若依据前四幅图的规律，给图⑤涂色，则涂色部分的面积应该是　 　个圆的面积。 【变式训练3】我们学过扇形的面积 扇形所在圆的面积。如图①，连接三个圆的圆心，形成一个等边三角形，依次类推得到后面的所有等边三角形。请根据以上材料解决下面问题。(下图中所有圆均为半径1cm的等圆) （1）图①中涂色部分的面积是　 　cm2；图②中涂色部分的面积是　 　cm2。 （2）按规律继续往下画，则图③和图④中涂色部分面积之比是(　 　：　 　)。 （3）图n中涂色部分的面积用字母表示是　 　。 易错点三：数列中的规律 例题： 某种细菌体5天进行一次细胞分裂（由1个变成2个） ，研究员要用1个这样的细菌体新培育32个这样的细菌体，需要　 　天的时间。 【变式训练1】生活中我们经常能看到一些螺旋形状的物体，比如蜗牛的“小房子”、海螺的漂亮外壳等，下面是聪聪自己画的螺旋形的图案。 聪聪给各个点标上序号后，第1个拐点是第2个点，第2个拐点是第3个点，第3个拐点是第5个点，则第13个拐点是第　 　个点。 【变式训练2】如图所示，8个中已有7个填了数字，从16导出37，从37导出58，……，按照这个规律，带问号的那个内应填　 　。 【变式训练3】有一串分数，按如下规律排列： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ……，从左往右数，第一次出现 排在这串分数中的第　 　个，第408个分数是　 　。 易错点四：算式的规律 例题：　 　-　 　=　 　。 【变式训练1】 在 这个连乘的算式中， 20 个 2 与 20 个 5 相乘的结果有　 　个零。 【变式训练2】新考法综合探究题回答下列问题。 （1）算一算，填一填。 　 　 　 　　 　 （2）我发现：如果两个分数的　 　相同，并且分母的　 　等于分子，那么这两个分数的和就等于它们的积。 （3）根据⑵中的规律再写出一个等式：　 　。 【变式训练3】观察前四个算式的规律，利用发现的规律巧算最后一题。 1＝12 1+3＝22 1+3+5＝32 1+3+5+7＝42 1+3+5+7+…+45+47+49=　 　. 21+23+25+…+45+47+49 ＝　 　2﹣　 　2＝　 　． 拔尖训练 1．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 2．用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 3．瑞士的巴尔末从测量光谱的数据、、、…中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第6个数据，这个数据为（    ）。 A． B． C． D． 4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（    ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 5．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形有（    ）个。 A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 6．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 7．把1～50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536…，请问这个多位数共有( )位数字。 8．已知下列各数：，，1，…按此规律第6个数是 。 9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 。 10．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。 11．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 。 12．（如图）用长度相等的火柴棒按照图中的方式拼摆正方形，第4幅图需要 根火柴棒，第n幅图需要 根火柴棒。 13．下图中，在A城市和B城市间，增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票。照此规律，增加3个站点，需要增加( )种单程票；增加5个站点需要增加( )种单程票。 14．观察以下三列数： （1）2，5，8，11，14，17… （2）4，9，14，19，24，29… （3）6，13，20，27，34，41… 求出在2009以内三列数中所有相同数的和。 15．填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 16．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 17．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 18．小明带着一只狗在马路边散步，这条马路长800米，小明和狗都以匀速向前走。当小明走到马路的一半时，小狗已经到达了马路的终点，然后小狗又返回与小明相向而行，遇到小明后又跑向终点，到达终点后再与小明相向而行……直到小明到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 19．观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有多少个点，第n幅图中有多少个点？请说明理由。 20．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08：数与形 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 1 知识点一：数与形的概念及关系 1 知识点二：用图形表示数列规律 1 知识点三：数形结合解决计算问题 2 知识点四：数形结合解决实际问题 2 知识点五：易错点与培优技巧 3 易错点练习 3 易错点一：用图像表示变换关系 3 易错点二：数形结合规律 6 易错点三：数列中的规律 10 易错点四：算式的规律 12 拔尖训练 14 知识梳理 知识点一：数与形的概念及关系 数与形的定义： 数（代数）：通过符号和逻辑推理表达数量关系 形（几何）：通过图形和直观形象描述空间形式 数与形的关系： 数中有形：用图形直观表示数量关系（如用线段图表示分数、方格图表示乘法） 形中有数：用数量关系精确描述图形特征（如用数据表示图形的边长、面积） 数形结合：通过数与形的相互转化解决问题，核心思想是以形助数、以数解形。 知识点二：用图形表示数列规律 1. 基本图形数列 正方形数列（平方数）： 图形特征：第n个图形由n×n个小正方形组成 数量规律：第n项为（1, 4, 9, 16, 25...） 示例：，，，...（从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方） 三角形数列（三角形数）： 图形特征：第n个图形由n行点组成，呈三角形排列 数量规律：第n项为（1, 3, 6, 10, 15...） 示例：，，，...（从1开始的连续自然数之和） 梯形数列： 数量规律：总点数= 示例：（上底2点，下底4点，3层） 2. 规律探索方法： 观察图形变化→列表分析数据→归纳通项公式→验证规律。 知识点三：数形结合解决计算问题 1. 分数计算中的数形结合 分数加法：用图形表示分数单位，直观展示相加过程 示例：，用正方形依次分割表示各分数，剩余部分为，总和为。 分数乘法：用长方形面积模型表示分数相乘 示例：，先画长方形表示单位"1"，横向分3份取2份，纵向分4份取3份，重叠部分占。 2. 简便计算中的数形结合 等差数列求和：用梯形面积公式计算（和=） 等比数列求和：用图形极限思想理解（如，总和趋近于1）。 知识点四：数形结合解决实际问题 解题步骤： 1.理解题意，找出关键数量关系 2.画出图形（线段图、示意图、方格图等） 3.根据图形分析数量关系，列式计算 典型问题类型： 行程问题：用线段图表示路程、速度、时间关系 分数应用题：用线段图表示单位"1"和分率关系 示例：一桶油用去，还剩15kg，求原有多少kg？ （画线段表示总量，分成5份，剩余3份对应15kg，每份5kg，总量kg） 鸡兔同笼问题：用面积图表示头数和脚数关系。 知识点五：易错点与培优技巧 易错点警示： 1.规律归纳不完整：仅凭前几项得出结论（如下一项不一定是16） 2.图形与数量对应错误：混淆图形序号与数量关系（如第n个正方形图形有个小正方形，非） 3.单位"1"设定不当：分数问题中图形表示的单位"1"不统一 培优技巧： 多角度画图（线段图、面积图、点阵图） 从简单入手（先分析n=1,2,3的情况，再归纳一般规律） 逆向验证（根据规律表达式画图形验证） 易错点练习 易错点一：用图像表示变换关系 例题：下图表示的是淘气乘车去图书馆看书，然后返回家的过程。下面说法不正确的是 (　　)。 A．淘气从家出发到图书馆用了0.5时 B．淘气在图书馆停留了1.5时 C．淘气的家与图书馆之间的距离是5千米 D．图中E点处速度是5千米/时 【答案】D 【解答】解：A项：淘气从家出发到达图书馆的时间的间隔，如图形显示这一段时间确实为0.5小时，原题干说法正确； B项：2-0.5=1.5（小时），原题干说法正确； C项：淘气从家出发到达图书馆的直线段长度来判断，这一距离正好是5千米，原题干说法正确； D项：E点淘气在图书馆看书，没有速度，原题干说法错误。 故答案为：D。 【分析】A项：观察图像淘气从家出发到达图书馆的时间为0.5小时； B项：淘气在图书馆停留的时间=离开的时刻-出发的时刻=2-0.5=1.5小时； C项：淘气从家出发到达图书馆的直线段长度来判断，这一距离正好是5千米； D项：E点淘气在图书馆看书，没有速度。 【变式训练1】小红从家里出门散步，下图描述了她散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的关系。据图判断，下面的描述符合小红散步情况的是 (　　)。 A．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸就回家了。 B．从家出发，到一个公共阅报亭看了一会儿报纸后，继续向前走了一段，然后回家了。 C．从家出发， 一直散步(没有停留)，然后回家了。 D．从家出发，突然发现忘带手机了，就回家了。 【答案】B 【解答】解：A项：描述的是一种小红从家出发，到一个公共阅报亭停留后直接回家的情况。然而，图像显示小红在停留后继续前行了一段距离，原题干说法错误； B项：描述小红从家出发，到一个公共阅报亭停留后，继续前行一段距离，然后回家。这与图像描述的行为完全一致，原题干说法正确； C项：描述小红从家出发，一直散步，没有停留，然后回家。然而，图像清楚地显示了小红在散步过程中有过停留，原题干说法错误； D项：描述小红从家出发后，因为发现忘带手机而立即回家。这种情景在图像中并未得到体现，小红在散步过程中有停留和继续前行的行为，原题干说法错误。 故答案为：B。 【分析】通过细致观察图像的每个阶段，我们可以明确判断出小红的散步模式与选项B描述的场景相匹配，描述了小红散步过程中的所有关键阶段，包括停留、继续前行和最终返回家中的行为，这与图像信息完全一致，所以此选项正确。 【变式训练2】下图是贝贝骑车从家去图书馆看书再回家的过程，下列说法不正确的是 (　　)。 A．贝贝出发后在距离家2千米的地方休息了20分钟。 B．贝贝在路上花了1小时的时间到达图书馆。 C．贝贝在图书馆看书用了40分钟。 D．图书馆和贝贝家的距离是2千米。 【答案】D 【解答】解：选项A，从图像中可以看到，在路程为2千米的地方，有一段水平的线段，这表示贝贝在这个位置停留了一段时间；通过横坐标时间的刻度可以看出，这段停留的时间是从6：40到7：00，7时-6时40分=20分钟，所以贝贝出发后在距离家2千米的地方休息了20分钟，该选项正确； 选项B，贝贝从家出发到图书馆，从图像上看，出发时间是6：20，到达图书馆的时间是7：20，7时20分-6时20分=1小时，所以贝贝在路上花了1小时的时间到达图书馆，该选项正确； 选项C，贝贝到达图书馆后，路程不再变化，此时对应的时间是从7：20到8：00，8时-7时20分=40分钟，所以贝贝在图书馆看书用了40分钟，该选项正确； 选项D，从图像中可以看出，贝贝家到图书馆的路程对应的纵坐标数值是5千米，而不是2千米，所以该选项错误。 故答案为：D。 【分析】此题主要考查了用图像表示变化情况的知识，通过观察图像，分析贝贝骑车过程中的路程、时间信息，来判断每个选项的正误。 【变式训练3】深圳书城龙岗城是全国第一家全方位、多维度高端智能书城。有一天，淘气从家去书城的时候，中途休息了几分钟，到书城买完书后直接回家。下面能正确描述淘气这一过程的图像是(　　)。 A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： 能表示中间休息的时间、买书时间、与回家的时间，符号这一过程。 故答案为：C。 【分析】因为这个过程中，有休息时间，和买书的时间，这两个时间段路程是不变的；据此选择。 易错点二：数形结合规律 例题：如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到　 　个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为　 　平方厘米。 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 【答案】4n－4；6.28 【解答】由分析可得： 画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 8×8÷（2×2×2） ＝8×8÷8 ＝8（平方厘米） 8＝（2r）2 ＝（2r）×（2r） ＝4r2 8÷4×3.14＝6.28（平方厘米） 故答案为：4n－4；6.28 【分析】第1幅图有1个正方形，0个直角三角形； 第2幅图有2个正方形，有（4×1）个直角三角形； 第3幅图有3个正方形，有（4×2）个直角三角形； 第4幅图有4个正方形，有（4×3）个直角三角形 …… 所以每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4（n－1）个直角三角形。 从图中可知：大正方形的面积是小正方形面积的2倍。据此可知：最大正方形的面积是最小正方形面积的2×2×2＝8倍。最大正方形的面积是8×8＝64平方厘米，最小正方形的面积就是64÷8＝8平方厘米。又知：最小正方形的边长＝圆的直径，那么最小正方形的面积＝8＝（2r）2＝（2r）×（2r）＝4r2，r2＝8÷4＝2。因此第4幅图中圆的面积为2×3.14＝6.28平方厘米。 【变式训练1】8个班进行足球比赛，每两个班比赛一场。为了解决“一共要比赛多少场”的问题，金小圈尝试用下面的方法找出其中的规律。 2个班 1场 3个班 1+2=3（场） 4个班 1+2+3=6（场） 5个班 ____ （1）在上面的横线上列式计算5个班的比赛场数。 （2）按照这个规律，8个班的比赛场数是　 　。 【答案】（1）1+2+3+4=10(场) （2）1+2+3+4+5+6+7=28(场) 【解答】解：（1）根据表格中的规律，5个班比赛场数应为1+2+3+4=10(场)。 （2）根据规律，8个班比赛场数应为1+2+3+4+5+6+7=28(场) 故答案为：1+2+3+4=10(场)；1+2+3+4+5+6+7=28(场)。 【分析】计算n个班之间比赛的总场数，根据题目给出的规律，当有n个班时，比赛的总场数等于1+2+3+…+(n-1)的和，这是一个等差数列求和的问题。 【变式训练2】 用相同的圆画图，若依据前四幅图的规律，给图⑤涂色，则涂色部分的面积应该是　 　个圆的面积。 【答案】 【解答】解： （360+180×3）°÷360° =900°÷360° = 故答案为：。 【分析】观察前四幅图，可知要在第5幅图中画一个较大的梯形，据此画图。图①阴影部分3个扇形的圆心角的度数和是180°，故其面积等于圆面积的一半；图②阴影部分4个扇形的圆心角的度数和是360°，故其面积等于圆面积；图③阴影部分3个扇形的圆心角的度数和是180°，故其面积等于圆面积的一半；图③阴影合起来是3个半圆的面积，图④阴影合起来是4个半圆（两个整圆）的面积，图⑤阴影合起来是5个半圆的面积。阴影部分扇形的圆心角的度数和是（360+180×3）°以一个圆的圆心角360°，即可求解。 【变式训练3】我们学过扇形的面积 扇形所在圆的面积。如图①，连接三个圆的圆心，形成一个等边三角形，依次类推得到后面的所有等边三角形。请根据以上材料解决下面问题。(下图中所有圆均为半径1cm的等圆) （1）图①中涂色部分的面积是　 　cm2；图②中涂色部分的面积是　 　cm2。 （2）按规律继续往下画，则图③和图④中涂色部分面积之比是(　 　：　 　)。 （3）图n中涂色部分的面积用字母表示是　 　。 【答案】（1）7.85；12.56 （2）11；14 （3）（4.71n+3.14）cm2 【解答】解：（1）每一个圆的面积为3.14×1×1=3.14（cm2） 图①中涂色部分的面积：3.14×3-3.14××3=3.14×（3-0.5）=3.14×2.5=7.85（cm2） 图②中涂色部分的面积：3.14×（3+2+1）-3.14×0.5×3-3.14××3=3.14×（6-1.5-0.5）=3.14×4=12.56（cm2） （2）图③涂色部分面积：3.14×（4+3+2+1）-3.14-3.14×0.5×6-3.14××3=3.14×（10-1-3-0.5）=3.14×5.5（cm2） 图④涂色部分面积：3.14×（5+4+3+2+1）-3.14×（2+1）-3.14×0.5×9-3.14××3=3.14×（15-3-4.5-0.5）=3.14×7（cm2） 图③和图④中涂色部分面积之比是（3.14×5.5）：（3.14×7）=5.5：7=11：14。 （3）图①中涂色部分的面积：3.14×[（2+1）-×3]（cm2）； 图②中涂色部分的面积：3.14×[（3+2+1）-0.5×3-×3]（cm2）； 图③中涂色部分的面积：3.14×[（4+3+2+1）-1-0.5×6-×3]（cm2）； 图④中涂色部分的面积：3.14×[（5+4+3+2+1）-（2+1）-0.5×9-×3]（cm2）； ...... 图n中涂色部分的面积：3.14×[（前n+1项的和）-（前n-2项的和）-0.5×（n-1）×3-×3]=3.14×[3n-（1.5n-1.5）-0.5]=3.14×（3n-1.5n+1.5-0.5）=3.14×（1.5n+1）=4.71n+3.14（cm2） 故答案为：（1）7.85；12.56；（2）11；14；（3）（4.71n+3.14）cm2。 【分析】等边三角形三个顶点处的涂色部分都是半径为1cm的圆的面积的，三条边上的涂色部分每个都是半径为1cm的半圆。 （1）图①中涂色部分的面积=3个圆的面积-半个圆的面积；图②中涂色部分的面积=6个圆的面积-3条边上3个半圆的面积-3个顶点上3个圆的面积； （2）图③中涂色部分的面积=10个圆的面积-中间1个圆的面积-3条边上6个半圆的面积-3个顶点上3个圆的面积，图④中涂色部分的面积=15个圆的面积-中间3个圆的面积-3条边上9个半圆的面积-3个顶点上3个圆的面积；然后根据化简比的方法把比化为最简单的整数比； （3）规律如（3）解析。 易错点三：数列中的规律 例题： 某种细菌体5天进行一次细胞分裂（由1个变成2个） ，研究员要用1个这样的细菌体新培育32个这样的细菌体，需要　 　天的时间。 【答案】25 【解答】解：设细菌的分裂次数为n， 则= 32 ，又因为，所以需要分裂5次，历时5×5=25（天）； 故答案为：25 【分析】根据题意： 细菌体5天进行一次细胞分裂，由1个变成2个，假设分裂n次可以从1个分裂成32个时存在的关系是：= 32 得到需要分裂5次，因为分裂一次需要5天，则5次分裂需要5×5=25即可。 【变式训练1】生活中我们经常能看到一些螺旋形状的物体，比如蜗牛的“小房子”、海螺的漂亮外壳等，下面是聪聪自己画的螺旋形的图案。 聪聪给各个点标上序号后，第1个拐点是第2个点，第2个拐点是第3个点，第3个拐点是第5个点，则第13个拐点是第　 　个点。 【答案】50 【解答】解：2+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7=50 故答案为：50。 【分析】处于第1个拐点的数字为2，处于第2个拐点的数字2+1=3，处于第3个拐点的数字为2+1+2=5，处于第4个拐点的数字为2+1+2+2=7，处于第5个拐点的数字为2+1+2+2+3=10，处于第6个拐点的数字次2+1+2+2+3+3=13，处于第7个拐点的数字 2+1+2+2+3+3+4=17，处于第8个拐点的数字为2+1+2+2+3+3+4+4=21⋯从第2个拐点开始，每个拐点表示的数之间的差距依次为2、2、3、3、4、4••所以处于第13个拐点的数字 2+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7=50。 【变式训练2】如图所示，8个中已有7个填了数字，从16导出37，从37导出58，……，按照这个规律，带问号的那个内应填　 　。 【答案】20 【解答】 解：16=42 37=12+62 58=32+72 89=52+82 145=82+92 42=12+42+52 ？=42+22=20 4=22+02 故答案为：20 【分析】 先观察图中数字：从4直接得到16，猜测规律与平方有关进行尝试。 【变式训练3】有一串分数，按如下规律排列： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ……，从左往右数，第一次出现 排在这串分数中的第　 　个，第408个分数是　 　。 【答案】103； 【解答】2×10-1=19 1+3+5+7+······+17+19 =（1+19）×10÷2 =20×10÷2 =100（个） 100+3=103（个） （1+2n-1）×n÷2 =2n×n÷2 =n×n 当n=20时，20×20=400，结果最接近408。 那么第401个分数为，第408个分数是。 故答案为：103；。 【分析】如图所示，分数的排列规律：当分母为n时，就有（2n-1）个分数，再根据等差数列求和公式（1+2n-1）×n÷2可以求出当分母为n时，分数的个数，代入数值计算即可。 易错点四：算式的规律 例题：　 　-　 　=　 　。 【答案】；； 【解答】由题意可知， 因此 故答案为：；；。 【分析】根据前三个算式发现规律，根据规律计算最后一个算式得数即可。 【变式训练1】 在 这个连乘的算式中， 20 个 2 与 20 个 5 相乘的结果有　 　个零。 【答案】20 【解答】解：2×5=10，有1个0， 2×2×5×5=100，有2个0， 所以，20 个 2 与 20 个 5 相乘的结果有20个0； 故答案为：20。 【分析】1个2与1个5相乘的结果有1个0，2个2与2个5相乘的结果有2个0，由此可以发现规律，所以20 个 2 与 20 个 5 相乘的结果有20个0。 【变式训练2】新考法综合探究题回答下列问题。 （1）算一算，填一填。 　 　 　 　　 　 （2）我发现：如果两个分数的　 　相同，并且分母的　 　等于分子，那么这两个分数的和就等于它们的积。 （3）根据⑵中的规律再写出一个等式：　 　。 【答案】（1）；； （2）分子；和 （3） 【解答】解：（1）， ； （2）和分子相同，且分母的和等于分子，和，和同理； （3）(答案不唯一)； 故答案为：（1）；；；（2）分子；和；（3）。 【分析】（1）观察第一个式子，两个数相加=两个数相乘； （2）和分子相同，且分母的和等于分子，和，和同理，则如果两个分数的分子相同，并且分母的和等于分子，那么这两个分数的和就等于它们的积； （3）只需要写一个两个分数的分子相同，并且分母的和等于分子即可。 【变式训练3】观察前四个算式的规律，利用发现的规律巧算最后一题。 1＝12 1+3＝22 1+3+5＝32 1+3+5+7＝42 1+3+5+7+…+45+47+49=　 　. 21+23+25+…+45+47+49 ＝　 　2﹣　 　2＝　 　． 【答案】252；25；10；525 【解答】解：1+3+5+7+…+45+47+49=252； 21+23+25+…+45+47+49 =（1＋3＋5＋···＋49）-（1＋3＋5＋···19） =252-102 =525。 故答案为：252；25；10；525。 【分析】规律是：等号前面有几个数，就等于几的平方；21+23+25+…+45+47+49=（1＋3＋5＋···＋49）-（1＋3＋5＋···19），然后写成两个数平方的差 拔尖训练 1．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 2．用小棒搭成下面的图形。按以下方式，搭第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n D．6n＋1 【答案】B 【分析】由图观察规律可知：第1个图形用（1＋5）根小棒搭成，第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成，第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成，第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成，据此规律解答。 【详解】由题，第一个图形用（1＋5）根小棒搭成， 第2个图形用（1＋5×2）根小棒搭成， 第3个图形用（1＋5×3）根小棒搭成， 第4个图形用（1＋5×4）根小棒搭成， 以此类推，第n个图形需要小棒： 1＋5×n＝（5n＋1）根 故答案为：B 3．瑞士的巴尔末从测量光谱的数据、、、…中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第6个数据，这个数据为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察所给数据的分子，可得：9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，可以发现分子是从3开始的连续自然数的平方，3－1＝2，即第n个数据的分子为（n＋2）2。分母依次为5＝32－4，12＝42－4，21＝52－4，32＝62－4，可以发现分母是从3开始的连续自然数的平方减4，即第n个数据的分母为（n＋2）2－4。当n＝6时，分子为（6＋2）2＝82＝64，分母为（6＋2）2－4＝64－4＝60，所以第6个数据为。 【详解】由分析可知： 3－1＝2 第n个数据的分子：（n＋2）2 第n个数据的分母：（n＋2）2－4 当n＝6时； 分子： （6＋2）2 ＝82 ＝64 分母： （6＋2）2－4 ＝82－4 ＝64－4 ＝60 所以第6个数据为。 故答案为：C 4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第9个图形中的点数为（    ）。 A．25 B．29 C．33 D．37 【答案】C 【分析】由图可知，第1个图形中的点数为1，可表示为4×1－3； 第2个图形中的点数为5，可表示为4×2－3； 第3个图形中的点数为9，可表示为4×3－3； 第4个图形中的点数为13，可表示为4×4－3； 由此可推出，第n个图形中的点数为（4n－3）。据此解答。 【详解】分析可知，第n个图形中的点数为（4n－3）。 当n＝9时， 4n－3 ＝4×9－3 ＝36－3 ＝33 所以第9个图形中的点数为33。 故答案为：C 5．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2025个图案中涂有阴影的小正方形有（    ）个。 A．8101 B．8103 C．4051 D．4053 【答案】A 【分析】由图可知，第1个图案中涂有阴影的小正方形有5个，可表示为1＋4×1； 第2个图案中涂有阴影的小正方形有9个，可表示为1＋4×2； 第3个图案中涂有阴影的小正方形有13个，可表示为1＋4×3； 发现规律：第n个图案中涂有阴影的小正方形有（1＋4n）个；最后将n＝2025代入1＋4n中计算出第2025个图案中涂有阴影的小正方形个数。 【详解】分析可知，第n个图案中涂有阴影的小正方形有（1＋4n）个。 当n＝2025时， 1＋4n ＝1＋4×2025 ＝1＋8100 ＝8101 所以第2025个图案中涂有阴影的小正方形有8101个。 故答案为：A 6．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些性质直观地从图形中体现出来，是一种数与形的结合，如图，第4行第2个数是3，第7行第4个数是( )。 【答案】20 【分析】通过观察杨辉三角图可知：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和，据此补全杨辉三角第7行的数字，再找到第7行第4个数。据此解答即可。 【详解】 如图所示，第7行第4个数是20。 7．把1～50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536…，请问这个多位数共有( )位数字。 【答案】157 【分析】我们可以根据数的平方的结果范围，将1到50的数分为三类：平方数是一位数、两位数、三位数的情况，分别计算每类的个数，再乘以对应的位数，最后求和。 【详解】一位数平方数：3×1＝（位）； 两位数平方数：6×2＝12（位）； 三位数平方数：22×3＝66（位）； 四位数平方数：19×4＝76（位）； 一共：3＋12＋66＋76＝157（位）。 【点睛】根据数的运算结果（本题为平方数）的位数特征，将原数合理分类，分别计算每类的个数和位数贡献，最后求和即可。 8．已知下列各数：，，1，…按此规律第6个数是 。 【答案】 【分析】已知，，1，…，可变形为：，，，…。分子：1，2，4，8，后一个数是前一个数的2倍，分子的规律是，即第n个数的分子为；分母：2，3，4，5，后一个数比前一个数大1，即分母的规律是n＋1，即第n个数的分母为n＋1。所以第6个数的分子为，分母为6＋1＝7，所以第6个数是。 【详解】第n个数的分子： 第n个数的分母：n＋1 n＝6 分子： ＝25 ＝2×2×2×2×2 ＝32 分母：6＋1＝7 所以第6个数是。 9．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。 【答案】 【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。 【详解】。 10．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】观察图形可知： 1个小正方体有6个面； 2个小正方体拼成长方体时，有2×（2－1）＝2个面重合，露出6×2－2＝10个面； 3个小正方体拼成长方体时，有2×（3－1）＝4个面重合，露出6×3－4＝14个面； …… n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，露出面的个数： 6n－2（n－1） ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）个 根据此规律，把n＝16代入式子中，求出当16个小正方体拼成长方体时露出面的个数，然后用拼成长方体的表面积除以面的个数，即可求出一个面的面积；再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个面的面积乘6，求出正方体的表面积。 【详解】规律：n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，有（4n＋2）个面。 当n＝16时 4n＋2 ＝4×16＋2 ＝64＋2 ＝66（个） 一个面的面积：264÷66＝4（平方厘米） 正方体的表面积：4×6＝24（平方厘米） 一个小正方体的表面积是24平方厘米。 11．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 。 【答案】1 【分析】观察给出的等式：31＝3，末位数字是3；32＝9，末位数字是9；33＝27，末位数字是7；34＝81，末位数字是1；35＝243，末位数字是3；36＝729，末位数字是9；37＝2187，末位数字是7；…，可以发现3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现的。用2025除以循环周期4，可得：2025÷4＝506……1，其中余数为1。这说明32025的末位数字是循环周期中的第1个数字，即3，因为32025的末位数字是3，所以32025－2的末位数字为3－2＝1。 【详解】3n的末位数字是以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。 对于32025：2025÷4＝506……1 32025的末位数字是循环周期中的第1个数字为3。 3－2＝1 所以32025－2的末位数字为1。 12．（如图）用长度相等的火柴棒按照图中的方式拼摆正方形，第4幅图需要 根火柴棒，第n幅图需要 根火柴棒。 【答案】 13 （3n＋1）/（1＋3n） 【分析】看图可知，第1幅图需要4根火柴棒，4＝1×3＋1；第2幅图需要7根火柴棒，7＝2×3＋1；第3幅图需要10根火柴棒，10＝3×3＋1……由此可知，火柴棒的数量＝第几幅图就用几×3＋1。 【详解】4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（根） n×3＋1＝（3n＋1）根 第4幅图需要（13）根火柴棒，第n幅图需要（3n＋1）根火柴棒。 13．下图中，在A城市和B城市间，增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票。照此规律，增加3个站点，需要增加( )种单程票；增加5个站点需要增加( )种单程票。 【答案】 9 20 【分析】已知增加1个站点，需要增加2种单程票；增加2个站点，需要增加5种单程票，5＝2＋3；据此发现规律，增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票，照此规律解答。 【详解】规律：增加n个站点，需要增加2＋3＋…＋（n＋1）种单程票。 当n＝3时，2＋3＋4＝9（种） 当n＝5时，2＋3＋4＋5＋6＝20（种） 照此规律，增加3个站点，需要增加（9）种单程票；增加5个站点需要增加（20）种单程票。 14．观察以下三列数： （1）2，5，8，11，14，17… （2）4，9，14，19，24，29… （3）6，13，20，27，34，41… 求出在2009以内三列数中所有相同数的和。 【答案】19931 【分析】首先分析每列数的公差，得出通项公式；再找出三列数相同数的公差，确定相同数组成的新数列的首项和通项公式；最后根据通项公式求出项数，再利用等差数列求和公式计算和。 【详解】首先确定数列通项： 数列1：首项2，公差3，通项为； 数列2：首项4，公差5，通项为； 数列3：首项6，公差7，通项为； 然后找出三列数相同数的规律： 三列数都有“－1”的形式，所以相同数满足3n－1＝5m－1＝7k－1，即3n＝5m＝7k，所以相同数减去1后是3、5、7的公倍数。3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数为3××7 ＝ 105，则相同数组成的数列通项公式为dt＝105t－1； 解不等式105t－1≤2009，得：t≤≈19.14，故最大取19； 首项a1＝105×1－1＝104，末项a19＝105×19－1＝1994，和S19＝＝＝19×1049＝19931。 因此，2009以内三列数的所有相同数的和为19931。 【点睛】准确找出每列数的通项公式；分析出三列数相同数的规律，即相同数减去1后是3、5、7的公倍数；利用等差数列求和公式计算和。通过对数列规律的探究和等差数列相关知识的运用，解决了多列数中相同数的和的问题。 15．填一填，并探索规律。      （1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？ （2）你能应用你发现的规律计算“”吗？ 【答案】；；； （1）发现见详解 （2） 【分析】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。 【详解】     （1）发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相加的和等于最后一个分数乘7。用字母表示规律是：，其中n为非零自然数。 （2） 16．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【分析】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【详解】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【点睛】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 17．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 【答案】（1）见详解 （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）三角形有10个，正方形有21个；牙签84根 【分析】（1）观察图形，三角形的个数：图①有1个三角形，图②有2个三角形，图③有3个三角形，图④有4个三角形，因此图序为时，三角形个数为；正方形的个数：图①有3个正方形，图②有5个正方形，图③有7个正方形，图④有9个正方形，通过观察可知正方形的个数比三角形个数的2倍还多1，因此图序为时，正方形个数为；牙签总数：图①有12根牙签，图②有20根牙签，图③有28根牙签，图④有36根牙签； （2）通过观察可知牙签的总数比三角形个数的8倍还多4，因此图序为时，牙签的总数为； （3）根据规律可以求出对应值。 【详解】（1） 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 3 4 … 正方形的个数 3 5 7 9 … 所用牙签总根数 12 20 28 36 … （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）； 答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要牙签84根。 【点睛】本题考查了图形规律的探索，需要通过观察图形的变化，分析三角形的个数、正方形的个数、牙签总数随图序变化的规律，再用代数式表示规律并应用规律解决问题。 18．小明带着一只狗在马路边散步，这条马路长800米，小明和狗都以匀速向前走。当小明走到马路的一半时，小狗已经到达了马路的终点，然后小狗又返回与小明相向而行，遇到小明后又跑向终点，到达终点后再与小明相向而行……直到小明到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 【答案】1600米 【分析】根据题意，当小明走到马路的一半时，小狗已经到达了马路的终点，说明小狗的速度是小明的2倍。因为小明和狗都以各自的速度匀速行走，所以在相同的时间内，小狗跑的路程是小明的2倍。小明到达终点时走了800米，则小狗跑了（800×2）米。 【详解】800×2＝1600（米） 答：小狗从出发开始，一共跑了1600米。 19．观察下面三幅点阵图，按照这样的规律，第10幅图中有多少个点，第n幅图中有多少个点？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】观察图形，第一个图形需要（1＋2＋3）个点，第二个图形需要（2＋3＋4）个点，第三个图形需要（3＋4＋5）个点，依次类推，算出第10个图形需要的点数。第n个图形需要n＋（n＋1）＋（n＋2）个点，据此解答。 【详解】10＋11＋12 ＝21＋12 ＝33（个） 第10幅图中有33个点，第n个这样的点阵图中有n＋（n＋1）＋（n＋2）＝（3n＋3）个点。 20．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③。以此类推，第20个图形有几个三角形？第几个图形里有197个三角形？ 【答案】77个；第50个图形 【分析】观察图形可知，第①个图形有4×1－3＝4－3＝1个三角形，第②个图形有4×2－3＝8－3＝5个小三角形，第③个图形有4×3－3＝12－3＝9个小三角形，……，则第n个图形有4×n－3＝4n－3个三角形，据此规律进行解答即可。 【详解】第n个图形有三角形：4×n－3＝4n－3（个） 当n＝20时，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77 当4n－3＝197，则： 4n－3＋3＝197＋3 4n＝200 4n÷4＝200÷4 n＝50 答：第20个图形有77个三角形，第50个图形里有197个三角形。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $