期末复习05：圆（知识梳理+17个易错点练习+拔尖训练）六年级上册数学易错题型举一反三培优（人教版）

该小学数学“圆”单元复习讲义通过知识梳理与易错点突破双模块系统构建复习体系，知识梳理部分以框架图形式呈现圆的认识、对称性、周长、面积等七大知识点，清晰标注公式推导过程与内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于17个易错点专项训练设计，每个易错点配套例题与变式题，如“半圆周长计算”“方中圆面积比”等题型，培养几何直观与运算能力。拔尖训练提升创新意识，支持分层教学，助力教师精准复习与学生自主巩固。

期末复习05：圆 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：圆的认识与基本概念 2 知识点二：圆的对称性 2 知识点三：圆的周长及计算 3 知识点四：圆的面积及推导 3 知识点五：圆环的面积计算 4 知识点六：扇形的认识与面积 4 知识点七：圆的应用与培优技巧 5 易错点练习 6 易错点一：圆的概念及特点 6 易错点二：画圆 6 易错点三：与圆相关的轴对称图形 7 易错点四：圆的周长 8 易错点五：半圆的周长 9 易错点六：圆的周长的应用 9 易错点七：含圆的组合图形的周长 10 易错点八：圆的面积 11 易错点九：圆的面积的应用 12 易错点十：圆环的面积 13 易错点十一：求最大面积 14 易错点十二：含圆的组合图形的面积 15 易错点十三：方中圆和圆中方的面积问题 16 易错点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 17 易错点十五：弧、圆心角、扇形的认识 18 易错点十六：画扇形 18 易错点十七：扇形的周长和面积 19 拔尖训练 21 知识梳理 知识点一：圆的认识与基本概念 圆的定义：在一个平面内，线段A绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定点叫做圆心，线段A叫做半径 各部分名称： 圆心（O）：圆中心的点，确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段 重要关系： 在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍：d=2r 或 r= 同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等 圆的特征： 圆是曲线图形，有无数条半径和直径 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径 知识点二：圆的对称性 轴对称性： 圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴 圆有无数条对称轴 中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转不变性） 常见对称轴数量： 半圆：1条对称轴 扇形：1条对称轴 圆环：无数条对称轴 知识点三：圆的周长及计算 周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示 圆周率（π）： 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 π是无限不循环小数，通常取近似值3.14（实际计算时按题目要求取值） 计算公式： 已知直径：C=πd 已知半径：C=2πr 已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷π÷2 推导过程： 通过测量不同大小的圆发现：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个倍数就是π 单位换算： 常见长度单位：毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km) 换算关系：1米=10分米=100厘米=1000毫米 易错警示： 计算时要统一单位 区分直径和半径，避免公式混淆 π是一个固定值，不是单位 知识点四：圆的面积及推导 面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示 计算公式： 基本公式：S=πr² 已知直径：S=π(d÷2)² 已知周长：S=π(C÷π÷2)² 推导过程： 将圆平均分成若干等份（越多越接近长方形），拼成一个近似长方形： 长方形的长=圆周长的一半（πr） 长方形的宽=圆的半径（r） 因为长方形面积=长×宽，所以圆面积S=πr×r=πr² 单位换算： 常见面积单位：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²) 换算关系：1平方米=100平方分米=10000平方厘米 解题步骤： 1.确定已知条件（半径、直径或周长） 2.根据已知条件求出半径（关键步骤） 3.代入面积公式计算 4.检查单位是否正确 知识点五：圆环的面积计算 圆环定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环（环形） 基本特征： 有一个公共的圆心 有两个半径（外圆半径R和内圆半径r） 环宽=外圆半径-内圆半径=R-r 计算公式： 基本公式：S=πR²-πr² 简便公式：S=π(R²-r²)（利用平方差公式） 解题步骤： 1.确认外圆半径(R)和内圆半径(r) 2.计算R²-r² 3.代入公式S=π(R²-r²)计算 易错点： 混淆直径和半径：题目可能给出直径需要先求半径 环宽处理：已知环宽时，R=r+环宽或r=R-环宽 单位统一：确保R和r的单位一致 知识点六：扇形的认识与面积 扇形定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 各部分名称： 圆心角：顶点在圆心的角（用n表示度数） 弧：圆上任意两点之间的部分 扇形面积公式： 基本公式：S=πr²×(n/360) 推导依据：扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角占360°的比例 扇形与圆的关系： 当n=360°时，扇形就是整个圆 当n=180°时，扇形是半圆（2πr/2=πr） 当n=90°时，扇形是四分之一圆 弧长公式： l=2πr×(n/360)=πr×(n/180)（了解内容） 易错警示： 扇形面积必须已知半径和圆心角两个条件 圆心角的单位是度，计算时不需要换算成弧度 知识点七：圆的应用与培优技巧 组合图形面积计算策略： 1.分割法：将组合图形分割成基本图形（圆、半圆、扇形、三角形等） 2.填补法：用整体图形面积减去空白部分面积（"大减小"） 3.转化法：通过平移、旋转将不规则图形转化为规则图形 常见组合图形类型： 半圆+长方形/正方形 圆环+三角形 多个扇形组合（如四叶草图形） 圆与正方形的关系： 1.正方形内接圆（内切圆）： 直径=正方形边长 面积比：圆面积:正方形面积=π:4 2.圆内接正方形： 对角线=圆的直径 面积比：正方形面积:圆面积=2:π 解决问题的步骤： 1.理解题意，明确所求（周长/面积/体积） 2.提取关键数据，标注图形各部分尺寸 3.选择合适公式和计算策略 4.分步计算，必要时画出辅助线 5.检查单位是否统一，结果是否合理 培优技巧： 寻找"不变量"：在动态问题中，找到不变的半径或直径 利用"整体思想"：不求局部求整体，简化计算 极端值法：考虑特殊情况（如最大、最小面积） 方程思想：设未知数解决复杂问题 易错点练习 易错点一：圆的概念及特点 例题：在一个长10厘米、宽5厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径是( )厘米。 【变式训练1】小慧用圆规画圆，圆规两脚之间的距离如图所示，那么她画出的圆的直径是 厘米。 【变式训练2】在一张长9厘米、宽7厘米的长方形纸上画一个完整的圆，圆规两脚间的距离不能超过（    ）厘米。 A．7 B．4.5 C．3.5 【变式训练3】如图，下面关于圆的说法，正确的是（    ）。 A．线段是半径 B．线段的长度是线段的3倍 C．线段是直径 D．线段与线段的长度相等 易错点二：画圆 例题：用圆规画一个半径是1厘米的圆，并用字母标出它的圆心。 【变式训练1】在下面的长方形中画出最大的半圆，并标出圆心和半径。 【变式训练2】在下面的方格纸上画一个半径为2cm的圆。 【变式训练3】请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 易错点三：与圆相关的轴对称图形 例题：图形有2条对称轴。( ) 【变式训练1】画出下列图形所有的对称轴。 【变式训练2】如图，一个长方形中有两个相同的圆，半径为3cm。这个长方形的长是( )cm，宽是( )cm。这个图形有( )条对称轴。 【变式训练3】在下面图形中描出一个或几个圆，使描出的圆与正方形组成一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。（参照示例） 易错点四：圆的周长 例题：一列火车主动轮的直径是1.5米，每分钟可以行驶2826米，那么这列火车的主动轮1分钟转多少圈？ 【变式训练1】小明爸爸要用铁丝网围一个半径是15米的圆形鸡栏，请问：围这个鸡栏需要多少米的铁丝网？（接头处不计） 【变式训练2】这座桥长多少米？ 【变式训练3】区里科技节举行四驱车比赛。陈明制作的四驱车速度为2米/秒，沿圆形赛道跑一圈，需要多长时间？ 易错点五：半圆的周长 例题：半圆的周长可以表示为（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】在一个长3cm、宽2cm的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．5.14 B．4.71 C．7.71 【变式训练2】淘气和笑笑分别从A、C点沿半圆走到B、D点，如图，笑笑所走半圆的半径为5米，淘气所走半圆的半径为5.8米。他们所走的路程相差（    ）米。 A．0.8 B．1 C．2.512 D．5.024 【变式训练3】一个半圆的直径是4厘米，半圆的周长是（    ）厘米。 A．6.28 B．12.56 C．10.28 易错点六：圆的周长的应用 例题：在一个直径是100米的圆形鱼塘周围栽树，每隔6.28米栽一棵，一共可以栽（    ）棵。 A．50 B．100 C．200 【变式训练1】甲、乙两辆玩具车从一个直径是10分米的圆形轨道上的同一点同时向相反的方向沿圆形轨道运动，甲车每分钟走8.5分米，乙车每分钟走7.2分米。当甲、乙两车相遇时，甲车比乙车多走了多少分米？ 【变式训练2】花样滑冰是技巧与艺术性相结合的一个冰上运动项目。运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作。下图是双人花样滑冰中女运动员做圆周运动的精彩画面。女运动员冰鞋滑过一周是多少米？ 【变式训练3】一个自行车轮胎的外直径是0.5米，小明骑自行车的轮胎每分钟120转，那么他从距离学校3.768千米的家骑车到学校需要多长时间？ 易错点七：含圆的组合图形的周长 例题：求涂色部分的周长。 【变式训练1】求图中阴影部分的周长。 【变式训练2】计算下面图形的周长。（单位：dm） 【变式训练3】生活中，经常把一些同样大小的啤酒瓶用绳子捆扎在一起。如图甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较（接头处不计），正确的是（    ）。 A．一样长 B．甲长 C．乙长 D．无法比较 易错点八：圆的面积 例题：一个圆的周长是37.68分米，它的面积是（    ）平方分米。 A．452.16 B．113.04 C．37.68 【变式训练1】一只山羊栓在一个木桩上，木桩周围都是青草，绳长是2米。这只山羊能吃到青草的面积是多少平方米？ 【变式训练2】把一个圆分割成两个半圆后，总周长增加了8厘米，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．9.42 B．18.84 C．12.56 【变式训练3】把一个圆等分，切、拼成近似长方形（如图所示），圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。圆的周长比拼成的近似长方形周长少( )厘米。 易错点九：圆的面积的应用 例题：一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】贝贝用3m长的绳子测量一棵树干的周长，将绳子在树上绕了3周还余17.4cm，这棵树干的横截面面积是( )cm2。 【变式训练2】如下图，剪纸是中国民间艺术的瑰宝。如图“福”字是从一张周长为80cm的正方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【变式训练3】一块长方形木块，长8分米，宽4分米，如果把它制成一个最大的圆形桌面，被锯掉的木板面积是多少平方分米？ 易错点十：圆环的面积 例题：李叔叔要给一个圆形餐桌上配一个圆形转盘，如图，转盘的半径是40厘米，转盘外还有宽30厘米的圆环形桌面。圆环形桌面的面积有多大？ 【变式训练1】小米是个细心观察的孩子，她发现她家车上安装的汽车雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，小米测量了一下，这款汽车雨刷摆臂长度为40厘米，胶条长度为20厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 【变式训练2】土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 【变式训练3】在圆形鱼池的周围有一条1米宽的小路，给这条小路铺上地砖，至少要多少平方米的地砖？ 易错点十一：求最大面积 例题：同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法确定 【变式训练1】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【变式训练2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【变式训练3】如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 易错点十二：含圆的组合图形的面积 例题：求阴影部分的面积。 【变式训练1】如图，正方形的边长是16厘米，求阴影部分的面积。 【变式训练2】求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14） 【变式训练3】如图，求阴影部分的面积。 易错点十三：方中圆和圆中方的面积问题 例题：下图表示两个相同的圆正好放在一个长方形内，请你添加一个条件，然后求出阴影部分的面积。请使用四种不同的方法计算（π取3）。 【变式训练1】如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 【变式训练2】春节帖“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是多少？ 【变式训练3】中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 易错点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 例题：求下列图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练1】求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 【变式训练2】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【变式训练3】计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 易错点十五：弧、圆心角、扇形的认识 例题：将一张圆形纸连续对折三次，展开后得到每份的圆心角是( )；如果一个圆的半径是6厘米，那么这个圆的直径是( )厘米。 【变式训练1】圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（    ）。 A．弧长扩大为原来的4倍。 B．弧长扩大为原来的2倍。 C．弧长不变。 D．弧长缩小为原来的。 【变式训练2】下列图形中，涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练3】在一张边长是8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米；在这张纸上画一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的半径最大是( )厘米。 易错点十六：画扇形 例题：以点A为圆心，画一个直径为3厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【变式训练1】在下面的圆中分别画出一个75°和一个135°的扇形，并涂上阴影。 【变式训练2】一只狗用皮带系在边长为14分米的一个正方形狗窝外的一个角上，如图。 （1）皮带长10分米，画出狗在狗窝外面的活动范围示意图。 （2）计算狗在狗窝外面能活动范围的面积。（狗的大小忽略不计。单位：分米。） 【变式训练3】下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求画一画。 （1）画一个周长是30厘米的长方形，长与宽的比是3∶2。 （2）画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形。 易错点十七：扇形的周长和面积 例题：如图，已知圆的周长是12.56厘米，若圆的面积和长方形面积相等，则图中阴影部分的周长是多少厘米？ 【变式训练1】画一个半径是1.5厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是的扇形，并求出这个扇形的面积。 【变式训练2】如图，张伯伯住在一个长10米、宽10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角O处拴了一只藏獒，拴藏獒的绳长10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 【变式训练3】如图，ABCD是正方形，扇形的半径是8厘米，求图中阴影部分的面积？    拔尖训练 1．一个圆的半径由4厘米变成7厘米，圆的面积增加（    ）平方厘米。 A．9 B．33 C． D． 2．在一张长11厘米、宽5厘米的长方形纸上面画一个圆，则圆规两脚间的距离不能超过（    ）厘米。 A．11 B．5.5 C．5 D．2.5 3．观察下面两个图形中的阴影部分，它们的周长和面积的关系是（    ）。 A．周长相等，面积不相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 4．在一个钟面上，时针长2厘米，分针长3厘米，从8：00到10：00，分针扫过的面积是（    ）。 A．12.48cm2 B．28.26cm2 C．37.68cm2 D．56.52cm2 5．要使大小不同的两个圆有无数条对称轴，应采用（    ）种画法。 A． B． C． D． 6．一个圆的半径是4分米，它的直径是( )分米，周长是( )分米，面积是( )平方分米。 7．农业科技化建设确实已成为我国现代农业的突出亮点，某农场用无人机播撒种子，播撒范围是一个圆形，半径是15米，其周长是( )米，面积是( )平方米。 8．已知小圆的半径是3厘米，大圆的直径是8厘米，小圆和大圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 9．如图中三个圆的圆心在同一条直线上，已知最大圆的周长是28.26cm，最小圆的周长是6.28cm，那么中等的这个圆的周长是( )cm。 10．如图，把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，这个近似的平行四边形的高是4cm，底是( )cm，这个圆的面积是( )。 11．南湖公园有一个花瓣状门洞的边缘是由4个直径相等的半圆组成的。这个门洞的周长是( )米，面积是( )平方米。 12．如图：如果图1中的外面正方形面积是16dm2，则内圆面积是( )dm2；如果图2中的外圆面积是12.56dm2，则圆内正方形面积是( )dm2。 13．如图是汉代 "千秋万岁" 瓦当（一种古建筑构件）的简化示意图，该瓦当直径6cm。其中阴影部分为瓦当的扇形纹饰，其半径是( )厘米，圆心角是( )度（注：汉代瓦当常用四等分界格），弧AB长( ) cm。 14．求阴影部分的面积。 15．计算阴影部分的面积。（单位：dm） 16．世界上最大的球面射电望远镜，位于贵州省的喀斯特洼坑中，被誉为“中国天眼”。它就像一口大锅，如果沿着它的锅口边缘走一圈，要走1570米，那么“锅口”直径为多少米？ 17．公园里一座亭子的圆形底部的半径是3米，现在要在它的周围种上2米宽的环形草坪（如下图）。草坪的面积有多大？ 18．中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币造型饰品的面积是多少平方厘米？ 19．李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如图），四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 20．一条长12厘米的绳子，一头系着一只小蚂蚁，另一头拴在一个边长是6厘米的等边三角形的一个顶点处，小蚂蚁的初始位置与三角形一边在同一条直线上，这时它开始拉着绳子逆时针跑，它能跑的最大距离为多少？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05：圆 期末复习易错题型举一反三培优练习 目录 知识梳理 2 知识点一：圆的认识与基本概念 2 知识点二：圆的对称性 2 知识点三：圆的周长及计算 3 知识点四：圆的面积及推导 3 知识点五：圆环的面积计算 4 知识点六：扇形的认识与面积 4 知识点七：圆的应用与培优技巧 5 易错点练习 6 易错点一：圆的概念及特点 6 易错点二：画圆 7 易错点三：与圆相关的轴对称图形 10 易错点四：圆的周长 12 易错点五：半圆的周长 14 易错点六：圆的周长的应用 15 易错点七：含圆的组合图形的周长 17 易错点八：圆的面积 19 易错点九：圆的面积的应用 21 易错点十：圆环的面积 23 易错点十一：求最大面积 26 易错点十二：含圆的组合图形的面积 29 易错点十三：方中圆和圆中方的面积问题 31 易错点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 35 易错点十五：弧、圆心角、扇形的认识 38 易错点十六：画扇形 40 易错点十七：扇形的周长和面积 43 拔尖训练 45 知识梳理 知识点一：圆的认识与基本概念 圆的定义：在一个平面内，线段A绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定点叫做圆心，线段A叫做半径 各部分名称： 圆心（O）：圆中心的点，确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段 重要关系： 在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍：d=2r 或 r= 同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等 圆的特征： 圆是曲线图形，有无数条半径和直径 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径 知识点二：圆的对称性 轴对称性： 圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴 圆有无数条对称轴 中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转不变性） 常见对称轴数量： 半圆：1条对称轴 扇形：1条对称轴 圆环：无数条对称轴 知识点三：圆的周长及计算 周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示 圆周率（π）： 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 π是无限不循环小数，通常取近似值3.14（实际计算时按题目要求取值） 计算公式： 已知直径：C=πd 已知半径：C=2πr 已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷π÷2 推导过程： 通过测量不同大小的圆发现：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个倍数就是π 单位换算： 常见长度单位：毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km) 换算关系：1米=10分米=100厘米=1000毫米 易错警示： 计算时要统一单位 区分直径和半径，避免公式混淆 π是一个固定值，不是单位 知识点四：圆的面积及推导 面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示 计算公式： 基本公式：S=πr² 已知直径：S=π(d÷2)² 已知周长：S=π(C÷π÷2)² 推导过程： 将圆平均分成若干等份（越多越接近长方形），拼成一个近似长方形： 长方形的长=圆周长的一半（πr） 长方形的宽=圆的半径（r） 因为长方形面积=长×宽，所以圆面积S=πr×r=πr² 单位换算： 常见面积单位：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²) 换算关系：1平方米=100平方分米=10000平方厘米 解题步骤： 1.确定已知条件（半径、直径或周长） 2.根据已知条件求出半径（关键步骤） 3.代入面积公式计算 4.检查单位是否正确 知识点五：圆环的面积计算 圆环定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环（环形） 基本特征： 有一个公共的圆心 有两个半径（外圆半径R和内圆半径r） 环宽=外圆半径-内圆半径=R-r 计算公式： 基本公式：S=πR²-πr² 简便公式：S=π(R²-r²)（利用平方差公式） 解题步骤： 1.确认外圆半径(R)和内圆半径(r) 2.计算R²-r² 3.代入公式S=π(R²-r²)计算 易错点： 混淆直径和半径：题目可能给出直径需要先求半径 环宽处理：已知环宽时，R=r+环宽或r=R-环宽 单位统一：确保R和r的单位一致 知识点六：扇形的认识与面积 扇形定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 各部分名称： 圆心角：顶点在圆心的角（用n表示度数） 弧：圆上任意两点之间的部分 扇形面积公式： 基本公式：S=πr²×(n/360) 推导依据：扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角占360°的比例 扇形与圆的关系： 当n=360°时，扇形就是整个圆 当n=180°时，扇形是半圆（2πr/2=πr） 当n=90°时，扇形是四分之一圆 弧长公式： l=2πr×(n/360)=πr×(n/180)（了解内容） 易错警示： 扇形面积必须已知半径和圆心角两个条件 圆心角的单位是度，计算时不需要换算成弧度 知识点七：圆的应用与培优技巧 组合图形面积计算策略： 1.分割法：将组合图形分割成基本图形（圆、半圆、扇形、三角形等） 2.填补法：用整体图形面积减去空白部分面积（"大减小"） 3.转化法：通过平移、旋转将不规则图形转化为规则图形 常见组合图形类型： 半圆+长方形/正方形 圆环+三角形 多个扇形组合（如四叶草图形） 圆与正方形的关系： 1.正方形内接圆（内切圆）： 直径=正方形边长 面积比：圆面积:正方形面积=π:4 2.圆内接正方形： 对角线=圆的直径 面积比：正方形面积:圆面积=2:π 解决问题的步骤： 1.理解题意，明确所求（周长/面积/体积） 2.提取关键数据，标注图形各部分尺寸 3.选择合适公式和计算策略 4.分步计算，必要时画出辅助线 5.检查单位是否统一，结果是否合理 培优技巧： 寻找"不变量"：在动态问题中，找到不变的半径或直径 利用"整体思想"：不求局部求整体，简化计算 极端值法：考虑特殊情况（如最大、最小面积） 方程思想：设未知数解决复杂问题 易错点练习 易错点一：圆的概念及特点 例题：在一个长10厘米、宽5厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径是( )厘米。 【答案】10 【分析】长方形的长是10厘米，宽是5厘米，则长方形的长是宽的2倍。如下图所示：在一个长10厘米、宽5厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长。 【详解】由分析可知：在一个长10厘米、宽5厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径是10厘米。 【变式训练1】小慧用圆规画圆，圆规两脚之间的距离如图所示，那么她画出的圆的直径是 厘米。 【答案】7 【分析】圆规两脚分开的距离，即是圆的半径，根据同圆中半径和直径的关系：直径＝半径×2，据此求出直径。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 小慧用圆规画圆，圆规两脚之间的距离如图所示，那么她画出的圆的直径是7厘米。 【变式训练2】在一张长9厘米、宽7厘米的长方形纸上画一个完整的圆，圆规两脚间的距离不能超过（    ）厘米。 A．7 B．4.5 C．3.5 【答案】C 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径。长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，直径÷2＝半径，据此求出长方形纸内画最大的圆的半径，也就是圆规两脚间不能超过的距离，据此解答。 【详解】7÷2＝3.5（厘米） 所以在一张长9厘米，宽7厘米的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离不能超过3.5厘米。 故答案为：C 【变式训练3】如图，下面关于圆的说法，正确的是（    ）。 A．线段是半径 B．线段的长度是线段的3倍 C．线段是直径 D．线段与线段的长度相等 【答案】D 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径也相等，直径的长度是半径的2倍。据此逐项分析判断。 【详解】A．连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。线段AC是直径，不是半径。原题说法错误； B．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍。线段AC是直径，线段OB是半径，所以线段AC的长度是线段OB的2倍，不是3倍，原题说法错误； C．连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。线段OB是半径，不是直径。原题说法错误； D．线段与线段都是半径，在同一个圆内，所有的半径都相等，所以线段与线段的长度相等。原题说法正确。 故答案为：D 易错点二：画圆 例题：用圆规画一个半径是1厘米的圆，并用字母标出它的圆心。 【答案】见详解 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，以点O为圆心，圆规两脚之间的距离为1厘米画圆，最后标注字母，半径用r表示，据此解答。 【详解】作图如下： 【变式训练1】在下面的长方形中画出最大的半圆，并标出圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】在这个长方形中画最大的半圆，半圆的直径最大只能等于长方形的长，观察图可以发现：长方形的长为5cm，则半圆的直径为5cm，根据d＝2r（d为圆的直径，r为圆的半径），求出半径r的长度，判断r和长方形的宽的大小，若r小于或等于长方形的宽，则以长方形的长的中点为圆心，长方形长的一半为半径，画出半圆；若r大于长方形的宽，则可以长方形的宽的中点为圆心，长方形的宽为半径，画出半圆。 【详解】5÷2＝2.5（cm） 2.5＜3 所以，以长方形的长的中点为圆心，长方形长的一半为半径，画出半圆，如图：（画法不唯一） 【变式训练2】在下面的方格纸上画一个半径为2cm的圆。 【答案】见详解 【分析】在方格纸上任选一个点作为圆心（例如方格的交点）。因为方格的边长是1cm，所以半径2cm对应2÷1＝2个方格的边长。以圆心为中心，用圆规量取2格的长度，然后绕圆心旋转一周，画出完整的圆。 【详解】2÷1＝2（格） 用圆规量取2格的长度，然后绕圆心旋转一周，画出完整的圆。 如图： 【变式训练3】请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 【答案】见详解 【分析】由圆的特征可知，圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等，A、B、C点都在圆上，连接AC，则AC的中点O就是圆心，最后以点O为圆心，OA的长度为半径画圆即可。 【详解】作图如下： 易错点三：与圆相关的轴对称图形 例题：图形有2条对称轴。( ) 【答案】√ 【分析】一个图形沿着这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴‌。轴对称图形是指沿着对称轴将图形两部分折叠后可重合。 【详解】图形有两条对称轴 故答案为：√ 【变式训练1】画出下列图形所有的对称轴。 【答案】画图见详解 【分析】轴对称图形是指把图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，而这条直线叫做对称轴，据此画出题中图形的所有对称轴。 【详解】画出所有的对称轴如下： 【变式训练2】如图，一个长方形中有两个相同的圆，半径为3cm。这个长方形的长是( )cm，宽是( )cm。这个图形有( )条对称轴。 【答案】 12 6 2 【分析】根据图示，这个长方形的长等于圆的半径的4倍，宽等于圆的半径的2倍，据此解答即可。轴对称图形特征：沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。由此可以得知这个图形有2条对称轴，据此解答即可。 【详解】长：3×4＝12（cm） 宽：3×2＝6（cm） 如图： 所以这个长方形的长是12cm，宽是6cm，这个图形有2条对称轴。 【变式训练3】在下面图形中描出一个或几个圆，使描出的圆与正方形组成一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。（参照示例） 【答案】见详解 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，直线叫做对称轴；本题中因为正方形只有四条对称轴，所以考虑整体组合图形的对称轴时，只能从正方形的这四条对称轴中选择。 【详解】如图所示： （画法不唯一） 易错点四：圆的周长 例题：一列火车主动轮的直径是1.5米，每分钟可以行驶2826米，那么这列火车的主动轮1分钟转多少圈？ 【答案】600圈 【分析】圆的周长C＝πd，主动轮的周长为（3.14×1.5）米，火车每分钟行驶距离除以主动轮的周长，即等于主动轮每分钟转的圈数，据此即可解答。 【详解】2826÷（3.14×1.5） ＝2826÷4.71 ＝600（圈） 答：这列火车的主动轮1分钟转600圈。 【变式训练1】小明爸爸要用铁丝网围一个半径是15米的圆形鸡栏，请问：围这个鸡栏需要多少米的铁丝网？（接头处不计） 【答案】 94.2米 【分析】根据圆的周长公式，代入数据计算。 【详解】 （米） 答：围这个鸡栏需要94.2米的铁丝网。 【变式训练2】这座桥长多少米？ 【答案】131.88米 【分析】已知车轮直径是0.6米，根据圆的周长公式C＝πd计算出车轮的周长，即车轮转动1周所行驶的距离；已知车轮过桥共转了70周，用车轮转动1周所行驶的距离乘转动的周数即可计算出桥的长度。据此解答。 【详解】3.14×0.6×70 ＝1.884×70 ＝131.88（米） 答：这座桥长131.88米。 【变式训练3】区里科技节举行四驱车比赛。陈明制作的四驱车速度为2米/秒，沿圆形赛道跑一圈，需要多长时间？ 【答案】9.42秒 【分析】根据圆的周长＝求出这个圆形赛道的周长，即路程，再根据时间＝路程÷速度，用赛道的周长除以四驱车速度即可求出四驱车沿圆形赛道跑一圈所需时间，据此解答即可。 【详解】（米） （秒） 答：需要9.42秒。 易错点五：半圆的周长 例题：半圆的周长可以表示为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】半圆的周长是指围绕半圆一周的长度，它由两部分组成：一部分是圆周长的一半（即半圆的圆弧部分），另一部分是半圆的直径。根据圆的周长＝2πr（r为圆的半径）先求出圆的周长，再用圆的周长除以2，即可求出半圆的圆弧部分；在半径为r的圆中，直径d＝2r，用半圆圆弧部分加上直径部分，即可求出半圆的周长。 【详解】圆的周长＝2πr（r为半径） 所以半圆弧为：2πr÷2＝πr 直径为：2×r＝2r 所以半圆的周长为：πr＋2r 半圆的周长可以表示为（πr＋2r）。 故答案为：D 【变式训练1】在一个长3cm、宽2cm的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．5.14 B．4.71 C．7.71 【答案】C 【分析】半圆的周长由圆周长的一半和一条直径组成。从图中可知半圆的直径是3cm，代入公式计算即可。 【详解】3.14×3÷2＋3 ＝4.71＋3 ＝7.71（cm） 即这个半圆的周长是7.71cm。 故答案为：C 【变式训练2】淘气和笑笑分别从A、C点沿半圆走到B、D点，如图，笑笑所走半圆的半径为5米，淘气所走半圆的半径为5.8米。他们所走的路程相差（    ）米。 A．0.8 B．1 C．2.512 D．5.024 【答案】C 【分析】根据题意，淘气和笑笑所走的路程都是对应圆周长的一半。内半圆的半径是5米，外半圆的半径是5.8米。圆的周长＝，据此分别求出两个圆的周长，再除以2求出两人各自所走的路程，最后把它们相减即可。 【详解】2×3.14×5.8÷2－2×3.14×5÷2 ＝6.28×5.8÷2－6.28×5÷2 ＝36.424÷2－31.4÷2 ＝18.212－15.7 ＝2.512（米） 所以他们所走的路程相差2.512米。 故答案为：C 【变式训练3】一个半圆的直径是4厘米，半圆的周长是（    ）厘米。 A．6.28 B．12.56 C．10.28 【答案】C 【分析】半圆的周长＝这个圆的周长的一半＋这个圆的直径，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×4÷2＋4 ＝12.56÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 一个半圆的直径是4厘米，半圆的周长是10.28厘米。 故答案为：C 易错点六：圆的周长的应用 例题：在一个直径是100米的圆形鱼塘周围栽树，每隔6.28米栽一棵，一共可以栽（    ）棵。 A．50 B．100 C．200 【答案】A 【分析】封闭图形的植树问题：“植树棵数＝间隔数”，根据圆的周长＝×直径求出圆形鱼塘的周长，再除以间距6.28米即可解答。 【详解】3.14×100÷6.28 ＝314÷6.28 ＝50（棵） 所以一共可以栽50棵。 故答案为：A 【变式训练1】甲、乙两辆玩具车从一个直径是10分米的圆形轨道上的同一点同时向相反的方向沿圆形轨道运动，甲车每分钟走8.5分米，乙车每分钟走7.2分米。当甲、乙两车相遇时，甲车比乙车多走了多少分米？ 【答案】2.6分米 【分析】先根据圆周长C＝πd算出圆的周长，两人相遇时走的路程和是一个圆周长，根据相遇时间＝路程和÷速度和，算出相遇时间，那么用甲每分钟比乙每分钟多走的路程乘相遇时间即可解答。 【详解】3.14×10＝31.4（分米） 31.4÷（8.5＋7.2） ＝31.4÷15.7 ＝2（分钟） （8.5－7.2）×2 ＝1.3×2 ＝2.6（分米） 答：甲车比乙车多走了2.6分米。 【变式训练2】花样滑冰是技巧与艺术性相结合的一个冰上运动项目。运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作。下图是双人花样滑冰中女运动员做圆周运动的精彩画面。女运动员冰鞋滑过一周是多少米？ 【答案】9.42米 【分析】由题意可知，女运动员冰鞋滑过一周的长度为圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，代入r＝1.5米，计算即可。 【详解】2×3.14×1.5 ＝6.28×1.5 ＝9.42（米） 答：女运动员冰鞋滑过一周是9.42米。 【变式训练3】一个自行车轮胎的外直径是0.5米，小明骑自行车的轮胎每分钟120转，那么他从距离学校3.768千米的家骑车到学校需要多长时间？ 【答案】20分钟 【分析】首先利用1千米＝1000米，将3.768千米转化为米，通过圆的周长公式求出轮胎转一周的距离，用总距离除以轮胎的周长即可求出骑行到学校自行车轮胎需要的转数； 用总转数除以自行车每分钟的转数即可求出他骑车到学校需要多长时间。 【详解】（米） （转） （分钟） 答：他骑车到学校需要20分钟。 易错点七：含圆的组合图形的周长 例题：求涂色部分的周长。 【答案】20.56cm 【分析】这个阴影部分的周长为两个圆的周长加上一个正方形的周长： 这个圆的直径为2cm，根据圆的周长C＝即可求出一个圆的周长； 这个正方形的边长为2cm，根据正方形的周长＝边长×4，将圆的周长乘2加上这个正方形的周长即可求出阴影部分的周长。 【详解】2×3.14×2＋2×4 ＝6.28×2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 即阴影部分的周长为20.56cm。 【变式训练1】求图中阴影部分的周长。 【答案】20.56 【分析】阴影部分的两侧可以拼成一个完整的圆，圆的直径为4，上下为正方形的边长，用圆的周长加上下2条边长即可。 圆形周长： 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56 所以阴影部分的周长为20.56。 【变式训练2】计算下面图形的周长。（单位：dm） 【答案】44.56dm 【分析】将长方形下边的边平移到上边，这个图形的周长＝圆周长的一半＋直径＋长方形的长×2，圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，据此列式计算。 【详解】3.14×8÷2＋8＋12×2 ＝12.56＋8＋24 ＝44.56（dm） 这个图形的周长是44.56dm。 【变式训练3】生活中，经常把一些同样大小的啤酒瓶用绳子捆扎在一起。如图甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较（接头处不计），正确的是（    ）。 A．一样长 B．甲长 C．乙长 D．无法比较 【答案】C 【分析】观察图形可知，甲捆扎方式用绳子的长度＝圆的周长＋4条直径，乙捆扎方式用绳子的长度＝圆的周长＋6条直径；根据圆的周长公式C＝πd解答。 【详解】设啤酒瓶底面圆的直径为d。 甲图：πd＋d×4＝πd＋4d 乙图：πd＋d×6＝πd＋6d πd＋4d＜πd＋6d 甲＜乙 即甲、乙两种捆扎方式，需用绳子的长度比较，乙长。 故答案为：C 易错点八：圆的面积 例题：一个圆的周长是37.68分米，它的面积是（    ）平方分米。 A．452.16 B．113.04 C．37.68 【答案】B 【分析】圆的周长公式：，则，据此计算出圆的半径，再根据圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【详解】37.68÷2÷3.14 ＝18.84÷3.14 ＝6（分米） ＝113.04（平方分米） 所以一个圆的周长是37.68分米，它的面积是113.04平方分米。 故答案为：B 【变式训练1】一只山羊栓在一个木桩上，木桩周围都是青草，绳长是2米。这只山羊能吃到青草的面积是多少平方米？ 【答案】12.56平方米 【分析】根据题意可知，山羊能吃到青草的面积相当于一个半径为2米的圆面积，根据圆面积公式：（取3.14），代入数据即可求出山羊能吃到青草的面积。 【详解】 （平方米） 答：这只山羊能吃到青草的面积是12.56平方米。 【变式训练2】把一个圆分割成两个半圆后，总周长增加了8厘米，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．9.42 B．18.84 C．12.56 【答案】C 【分析】把一个圆分割成两个半圆后，总周长增加了两条直径即四条半径，则用8厘米除以4即可求出这个圆的半径，再根据圆的面积＝即可求出这个圆的面积。 【详解】8÷4＝2（厘米） 3.24×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 即这个圆的面积为12.56平方厘米。 故答案为：C 【变式训练3】把一个圆等分，切、拼成近似长方形（如图所示），圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。圆的周长比拼成的近似长方形周长少( )厘米。 【答案】 10 5 78.5 10 【分析】利用圆切拼成长方形的性质：长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，圆的直径，圆的面积公式为，据此求解。 圆切拼成长方形后，长方形的周长比圆的周长多了2条半径的长度，即一条直径的长度。因此，少的长度就是直径的长度。 【详解】 把一个圆等分，切、拼成近似长方形，圆的直径是10厘米，半径是5厘米，面积是78.5平方厘米。圆的周长比拼成的近似长方形周长少10厘米。 易错点九：圆的面积的应用 例题：一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 37.68 226.08 【分析】30分钟分针刚好走半圈，分针扫过的是半径12厘米的半圆，根据圆的周长公式计算出针尖走过的路程，根据圆的面积公式计算扫过的面积即可。 【详解】根据分析： 圆的周长的一半＝2×3.14×12÷2 ＝6.28×12÷2 ＝75.36÷2 ＝37.68（厘米） 半圆的面积＝3.14×122÷2 ＝3.14×144÷2 ＝452.16÷2 ＝226.08（平方厘米） 一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是37.68厘米，分针扫过的面积是226.08平方厘米。 【变式训练1】贝贝用3m长的绳子测量一棵树干的周长，将绳子在树上绕了3周还余17.4cm，这棵树干的横截面面积是( )cm2。 【答案】706.5 【分析】根据1m＝100cm，用3乘进率100即可换算为厘米，用绳子的总长300cm减去剩余的17.4cm的差值再除以周数3周，即可求出树干的周长； 根据圆的周长＝即可求出树干的半径，再根据圆的面积＝即可求出这棵树干的横截面面积。 【详解】（3×100－17.4）÷3 ＝（300－17.4）÷3 ＝282.6÷3 ＝94.2（cm） 94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（cm） 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（cm2） 即这棵树干的横截面面积706.5 cm2。 【变式训练2】如下图，剪纸是中国民间艺术的瑰宝。如图“福”字是从一张周长为80cm的正方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 62.8 314 【分析】这个圆是从周长为80厘米的正方形红纸上剪下的最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。根据正方形的边长＝周长÷4算出正方形的边长，也是圆的直径。根据圆的周长公式：C＝πd算出周长。根据圆的面积公式：S＝πr2算出面积。 【详解】80÷4＝20（厘米） 周长：3.14×20＝62.8（平方厘米） 面积：20÷2＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 所以，这个圆的周长是62.8cm，面积是314cm2。 【变式训练3】一块长方形木块，长8分米，宽4分米，如果把它制成一个最大的圆形桌面，被锯掉的木板面积是多少平方分米？ 【答案】19.44平方分米 【分析】根据题意，要在长方形中制成最大的圆形，就要将长方形的宽作为圆的直径，圆的半径就是直径的一半；根据，及圆的面积公式：，分别求出长方形和圆的面积，最后用长方形的面积减去圆的面积即可。 【详解】8×4＝32（平方分米） （平方分米） 32－12.56＝19.44（平方分米） 答：被锯掉的木板面积是19.44平方分米。 易错点十：圆环的面积 例题：李叔叔要给一个圆形餐桌上配一个圆形转盘，如图，转盘的半径是40厘米，转盘外还有宽30厘米的圆环形桌面。圆环形桌面的面积有多大？ 【答案】10362平方厘米 【分析】用转盘的半径40厘米加上30厘米得到桌面大圆的半径，根据圆环的面积公式：，代入数据计算即可得出圆环形桌面的面积。据此列式计算。 【详解】40＋30＝70（厘米） （平方厘米） 答：圆环形桌面的面积有10362平方厘米。 【变式训练1】小米是个细心观察的孩子，她发现她家车上安装的汽车雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，小米测量了一下，这款汽车雨刷摆臂长度为40厘米，胶条长度为20厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 【答案】1884平方厘米 【分析】根据题意可知所求面积为两个半圆的面积之差。大圆的半径为40厘米，小圆的半径为（40－20）厘米，根据圆的面积＝πr2再除以2即可求得半圆的面积，再相减即可。 【详解】3.14×402÷2 ＝3.14×1600÷2 ＝5024÷2 ＝2512（平方厘米）     3.14×（40－20）2÷2 ＝3.14×202÷2 ＝3.14×400÷2 ＝1256÷2 ＝628（平方厘米） 2512－628＝1884（平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是1884平方厘米。 【变式训练2】土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】利用圆面积公式，圆环的面积用以10厘米为直径的圆面积减厘米为直径的圆的面积即可求解。 【详解】 （平方厘米） 答：这张圆环形硬纸板的面积是50.24平方厘米。 【变式训练3】在圆形鱼池的周围有一条1米宽的小路，给这条小路铺上地砖，至少要多少平方米的地砖？ 【答案】128.74平方米 【分析】圆面积公式S＝πr2。将鱼池直径除以2，求出鱼池的半径。将鱼池的半径加上1米，求出外圆的半径。根据圆面积公式，分别求出外圆的面积和鱼池的面积，再将外圆的面积减去鱼池的面积，求出小路的面积即可。小路的面积，就是铺地砖的面积。 【详解】40÷2＝20（米） 20＋1＝21（米） 3.14×212－3.14×202 ＝3.14×441－3.14×400 ＝3.14×（441－400） ＝3.14×41 ＝128.74（平方米） 答：至少要128.74平方米的地砖。 易错点十一：求最大面积 例题：同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，长方形、正方形和圆的周长都是绳子的长度，所以三个图形周长相等。假设绳子的长度是18.84厘米，根据圆的周长公式和正方形的周长公式，分别求出圆的半径和正方形的边长，然后根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出圆的面积和正方形的面积，再比较。周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。因为要使积大，两个乘数的差就小。据此解答。 【详解】假设绳子的长度是18.84厘米， 18.84÷3.14＝6（厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 18.84÷4＝4.71（厘米） 正方形的面积：4.71×4.71＝22.1841（平方厘米） 28.26＞22.1841 周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。 同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，这三个图形面积最大的是圆。 故答案为：C 【点睛】明确两个数相差越小积就越大的规律及平面图形的面积公式是解决本题的关键。 【变式训练1】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【变式训练2】一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【分析】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【点睛】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 【变式训练3】如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 【答案】图见详解 【分析】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝12.56＋3.14 ＝15.7（平方米） 这只小羊吃草的面积是15.7平方米。 作图如下： 【点睛】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 易错点十二：含圆的组合图形的面积 例题：求阴影部分的面积。 【答案】27.52平方分米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积。长方形的长是半圆的直径，是半径8分米的2倍，即8×2＝16（分米）；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算出长方形的面积；圆的面积公式：，代入数据算出圆的面积后除以2即可得半圆的面积；最后用长方形的面积－半圆的面积即可得到阴影部分的面积。 【详解】8×2＝16（分米） 16×8＝128（平方分米） 3.14×82÷2 ＝3.14×64÷2 ＝200.96÷2 ＝100.48（平方分米） 128－100.48＝27.52（平方分米） 【变式训练1】如图，正方形的边长是16厘米，求阴影部分的面积。 【答案】55.04平方厘米 【分析】观察图形可知，4个半径为（16÷2）厘米的圆可以组成一个圆；阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【详解】16×16－3.14×（16÷2）2 ＝16×16－3.14×82 ＝16×16－3.14×64 ＝256－200.96 ＝55.04（平方厘米） 阴影部分的面积是55.04平方厘米。 【变式训练2】求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14） 【答案】14.13cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝半径为6cm的圆面积的－直径为6cm的圆面积的，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】×3.14×62－×3.14×（6÷2）2 ＝×3.14×36－×3.14×32 ＝×3.14×36－×3.14×9 ＝28.26－14.13 ＝14.13（cm2） 阴影部分的面积是14.13cm2。 【变式训练3】如图，求阴影部分的面积。 【答案】6cm2 【分析】如图，将右边正方形中的阴影部分平移到左边长方形中的空白部分，阴影部分可以拼成长3cm（2＋1＝3）、宽2cm的长方形，然后根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，即阴影部分的面积。 【详解】（2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（cm2） 所以阴影部分的面积是6cm2。 易错点十三：方中圆和圆中方的面积问题 例题：下图表示两个相同的圆正好放在一个长方形内，请你添加一个条件，然后求出阴影部分的面积。请使用四种不同的方法计算（π取3）。 【答案】条件：长方形的长是12厘米，宽是6厘米；阴影部分面积：18平方厘米 （答案不唯一） 【分析】看图可知，长方形的宽正好是圆的直径，长正好是一个圆直径的2倍。那么可以添加一个条件为：长方形的长是12厘米，宽是6厘米。长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，圆面积＝πr2。 方法一：先求出大长方形的面积，再将大长方形的面积减去两个圆的面积即可求出阴影部分的面积。 方法二：将大长方形平均分成两个正方形。先求出正方形的面积，再将正方形面积减去一个圆的面积，求出阴影部分面积的一半，再乘2即可。 方法三：将大长方形平均分成上下两个小长方形，先求出小长方形的面积，再减去一个圆的面积，求出阴影部分面积的一半，再乘2即可。 方法四：将大长方形沿着一条对角线分成两个三角形，先求出一个三角形的面积，再减去一个圆的面积，求出阴影部分面积的一半，再乘2即可。 【详解】条件：长方形的长是12厘米，宽是6厘米。（答案不唯一） 方法一： 12×6－3×（6÷2）2×2 ＝72－3×32×2 ＝72－3×9×2 ＝72－54 ＝18（平方厘米） 方法二： 6×6－3×（6÷2）2 ＝36－3×32 ＝36－3×9 ＝36－27 ＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 方法三： 12×（6÷2）－3×（6÷2）2 ＝12×3－3×32 ＝36－3×9 ＝36－27 ＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 方法四： 12×6÷2－3×（6÷2）2 ＝36－3×32 ＝36－3×9 ＝36－27 ＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 【变式训练1】如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 【答案】28.5平方厘米 【分析】已知圆的半径是5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 把圆内的正方形用一条对角线平均分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积； 那么阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。 【详解】3.14×52－5×2×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：它的面积是28.5平方厘米。 【变式训练2】春节帖“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是多少？ 【答案】193.5平方厘米 【分析】看图可知，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形的边长＝圆的直径，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答。 【详解】30×30－3.14×（30÷2）2 ＝900－3.14×152 ＝900－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方厘米） 答：“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是193.5平方厘米。 【变式训练3】中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 【答案】0.86平方米 【分析】已知外方内圆的图形中正方形的边长是2米，那么正方形内最大圆的直径等于正方形的边长； 观察图形可知，正方形和圆之间部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×2＝4（平方米） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 4－3.14＝0.86（平方米） 答：正方形和圆之间部分的面积是0.86平方米。 易错点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 例题：求下列图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】200平方厘米 【分析】通过“割补法”可知（如下图），阴影部分面积等于长为20厘米，宽为10厘米的长方形面积，根据长方形面积＝长×宽代入数据计算即可。 【详解】根据分析可知，阴影部分面积为： 20×（20÷2） ＝20×10 ＝200（平方厘米） 所以阴影部分的面积是200平方厘米。 【变式训练1】求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 【答案】18.24平方厘米 【分析】要计算阴影部分的面积，我们可以通过图形的割补与组合，将阴影部分转化为“半圆面积 ＋ 扇形面积 － 三角形面积”来求解。 【详解】半圆的面积为： 扇形的面积为： 三角形的面积为： 阴影部分面积为： 25.12＋25.12－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 所以阴影面积为18.24平方厘米。 【点睛】本题要先理清楚阴影部分可以由哪几个图形通过组合而成。 【变式训练2】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】32.5cm2 【分析】如图，将右边的阴影部分割补到左边，这样阴影部分就组成了一个梯形。 由图可知，该梯形上底相当于半圆的半径，是5cm，下底是8cm，高相当于半圆的半径，是5cm，然后根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积，即为阴影部分的面积。 【详解】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（cm2） 因此，阴影部分的面积是32.5cm2。 【变式训练3】计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.5平方厘米 【分析】如下图所示，将阴影部分的图形通过旋转和平移，转化为一个上底是1厘米，下底是4厘米，高是3厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算。 【详解】4－3＝1（厘米） （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 则阴影部分的面积7.5平方厘米。 易错点十五：弧、圆心角、扇形的认识 例题：将一张圆形纸连续对折三次，展开后得到每份的圆心角是( )；如果一个圆的半径是6厘米，那么这个圆的直径是( )厘米。 【答案】 45° 12 【分析】一个圆的圆心角是360°，将圆对折一次，圆心角度数除以2，对折两次，圆心角度数再除以2，以此类推；一个圆的直径长度是半径的两倍。 【详解】，所以，展开后得到每份的圆心角是45°； （厘米），所以，这个圆的直径是12厘米。 【变式训练1】圆的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则（    ）。 A．弧长扩大为原来的4倍。 B．弧长扩大为原来的2倍。 C．弧长不变。 D．弧长缩小为原来的。 【答案】B 【分析】假设圆的半径r＝1，原来的圆心角为60°，根据圆的周长公式：C＝2πr（C表示圆的周长，r表示圆的半径），计算出半径为1的圆的周长是多少，再求出60°占360°的几分之几，则弧长就占圆周长的几分之几，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，求出原来的弧长，再把圆心角扩大为原来的2倍，求出此时的弧长，比较这两个弧长的变化即可。 【详解】假设圆的半径r＝1，原来的圆心角为60°。 圆的周长：2×π×1＝2π 弧长：2π×＝π 将圆心角扩大为原来的2倍：60°×2＝120° 此时的弧长：2π×＝π π÷π＝＝2 所以弧长扩大为原来的2倍。 故答案为：B 【变式训练2】下列图形中，涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 【详解】A．涂色部分的顶点不在圆心，不是由圆心角的两条半径和对应的弧围成，不是扇形。 B．涂色部分的顶点不在圆心，不符合扇形“顶点在圆心”的定义，不是扇形。 C．涂色部分的顶点在圆心，由两条半径和一段弧围成，完全符合扇形的定义，是扇形。 D．涂色部分的顶点不在圆心，不是由圆心角的两条半径和对应的弧组成，不是扇形。 故答案为：C 【变式训练3】在一张边长是8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米；在这张纸上画一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的半径最大是( )厘米。 【答案】 8 4 8 【分析】①在一张边长是8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径就是这个正方形的边长； ②半径＝直径÷2，即用正方形边长除以2即可求出这个圆的半径； ③在这张纸上画一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的半径最大是即为这个正方形的边长。 【详解】①圆的直径＝正方形的边长＝8厘米，即这个圆的直径是8厘米； ②8÷2＝4（厘米），即这个圆的半径是4厘米； ③扇形的半径＝正方形边长＝8厘米，即这个扇形的半径最大是8厘米。 在一张边长是8厘米的正方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是8厘米，半径是4厘米；在这张纸上画一个圆心角为90°的扇形，这个扇形的半径最大是8厘米。 易错点十六：画扇形 例题：以点A为圆心，画一个直径为3厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】见详解 【分析】根据直径与半径的关系，先求出半径是1.5厘米，画圆时，圆规两脚间的距离是半径，也就是1.5厘米。画圆心角是120°的扇形时，以圆心为顶点，用量角器画一个120°的角。 【详解】 【变式训练1】在下面的圆中分别画出一个75°和一个135°的扇形，并涂上阴影。 【答案】见详解 【分析】先使用量角器，将量角器的中心与圆的圆心重合，量角器的0°刻度线与圆的一条半径重合。在量角器上找到75°的刻度线，在圆上对应的位置点一个点，连接圆心与这个点，再连接这个点与最初的半径端点，这样就得到了一个75°的扇形，最后将这个扇形涂上阴影。 同样将量角器的中心与圆的圆心重合,量角器的0°刻度线与圆的一条半径重合，在量角器上找到135°的刻度线，在圆上对应的位置点一个点，连接圆心与这个点，再连接这个点与最初的半径端点，得到135°的扇形，然后将其涂上阴影。 【详解】如图： 【变式训练2】一只狗用皮带系在边长为14分米的一个正方形狗窝外的一个角上，如图。 （1）皮带长10分米，画出狗在狗窝外面的活动范围示意图。 （2）计算狗在狗窝外面能活动范围的面积。（狗的大小忽略不计。单位：分米。） 【答案】（1）见详解 （2）235.5平方分米 【分析】（1）已知皮带长10分米，即狗活动范围是一个以系带的角为圆心，圆心角为360°－90°＝270°，以皮带长10分米为半径的扇形，画出这个扇形即可。 （2）从图中可知，狗在狗窝外面能活动范围的面积＝圆的面积×，已知圆的半径是10分米，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算即可求出狗在狗窝外面能活动范围的面积。 【详解】（1）活动范围示意图如下： （2）3.14×102× ＝3.14×100× ＝235.5（平方分米） 答：狗在狗窝外面能活动范围的面积是235.5平方分米。 【变式训练3】下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求画一画。 （1）画一个周长是30厘米的长方形，长与宽的比是3∶2。 （2）画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长方形的长与宽的和，再根据长与宽的比是3∶2，再根据按比例分配，用长方形的长与宽的和×，求出长方形的长；用长方形的长与宽的和×，求出长方形的宽，据此化成长方形（画法不唯一）； （2）根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆的半径，画出圆；在圆内先画一条半径，以这条半径所在的射线为边，画一个60°的角，角的两边所在半径与其所夹的弧所组成的图形，就是一个圆心角是60°的扇形（画法不唯一）。 【详解】（1）30÷2× ＝15× ＝9（厘米） 30÷2× ＝15× ＝6（厘米） 如下图： （2）18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 所画圆的半径为3厘米，根据画圆的方法，画出一个周长是18.84厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形（画图如下）： （画法不唯一） 易错点十七：扇形的周长和面积 例题：如图，已知圆的周长是12.56厘米，若圆的面积和长方形面积相等，则图中阴影部分的周长是多少厘米？ 【答案】15.7厘米 【分析】根据圆的周长＝2×半径，用圆的周长除以，再除以2求出圆的半径，再根据圆的面积＝×半径的平方，求出圆的面积，也就是长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积除以宽（圆的半径）求出长方形的长，阴影部分的周长等于长方形的两条长加上圆周长的。据此解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（厘米） 6.28×2＋12.56× ＝12.56＋3.14 ＝15.7（厘米） 答：图中阴影部分的周长是15.7厘米。 【变式训练1】画一个半径是1.5厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是的扇形，并求出这个扇形的面积。 【答案】作图见详解；1.1775平方厘米 【分析】先将圆规两脚之间距离定位1.5厘米，画出圆；再画出一条半径，以半径为角的一条边，画一个60°的角；把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把圆规有针尖的一只脚固定在角的顶点，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚从角的一边画到另一边，就画出这个扇形。 根据扇形的面积＝圆周率×半径的平方×，求出面积即可。 【详解】 3.14×1.52× ＝3.14×2.25× ＝1.1775（平方厘米） 答：这个扇形的面积是1.1775平方厘米。 【变式训练2】如图，张伯伯住在一个长10米、宽10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角O处拴了一只藏獒，拴藏獒的绳长10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【分析】这只藏獒的活动范围是个扇形，这个扇形面积是半径10米的圆的面积的，这只藏獒的活动范围面积＝圆周率×半径的平方×，据此列式解答。 【详解】3.14×102× ＝3.14×100× ＝314× ＝235.5（平方米） 答：这只藏獒的活动范围有235.5平方米。 【变式训练3】如图，ABCD是正方形，扇形的半径是8厘米，求图中阴影部分的面积？    【答案】18.24平方厘米 【分析】由图可知：扇形的半径是8厘米，扇形的圆心角是90°，即该扇形面积等于其所在圆的面积除以4，根据圆的面积公式，结果再除以4即可求得扇形面积；由图知正方形的对角线的长度也是8厘米，则正方形的面积为8×8÷2，再作差即可得解。 【详解】 （平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是18.24平方厘米。 拔尖训练 1．一个圆的半径由4厘米变成7厘米，圆的面积增加（    ）平方厘米。 A．9 B．33 C． D． 【答案】C 【分析】半径由4厘米变成7厘米，可以把增加的部分看作是一个圆环，内圆半径为4厘米，外圆半径为7厘米。根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（R为外圆半径，r为内圆半径），把数据代入公式计算即可。 【详解】π×（72－42） ＝π×（49－16） ＝π×33 ＝33π（平方厘米） 圆的面积增加33π平方厘米。 故答案为：C 2．在一张长11厘米、宽5厘米的长方形纸上面画一个圆，则圆规两脚间的距离不能超过（    ）厘米。 A．11 B．5.5 C．5 D．2.5 【答案】D 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径；长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，半径＝直径÷2，据此求出长方形内画最大的圆的半径，也就是圆规两脚间的距离不能超过的距离，据此解答。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 在一张长11厘米、宽5厘米的长方形纸上面画一个圆，则圆规两脚间的距离不能超过2.5厘米。 故答案为：D 3．观察下面两个图形中的阴影部分，它们的周长和面积的关系是（    ）。 A．周长相等，面积不相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长和面积都不相等 D．周长和面积都相等 【答案】B 【分析】根据圆的面积公式，圆的周长公式，正方形的面积公式，由图可知： 第一个图形中阴影部分面积为边长为4厘米的正方形面积减去直径为4厘米的圆的面积，阴影部分的周长为直径为4厘米的圆的周长加上2条正方形边长； 第二个图形中阴影部分面积为边长为4厘米的正方形面积减去直径为4厘米的圆的面积，阴影部分的周长为4条曲线的周长，即直径为4厘米的圆的周长。 【详解】第一个图形中： （平方厘米） （厘米） 第二个图形中： （平方厘米） （厘米） 即两个图形中的阴影部分周长不相等，面积相等。 故答案为：B 4．在一个钟面上，时针长2厘米，分针长3厘米，从8：00到10：00，分针扫过的面积是（    ）。 A．12.48cm2 B．28.26cm2 C．37.68cm2 D．56.52cm2 【答案】D 【分析】从8：00到10：00分针正好转了2圈，又因分针长3厘米即分针所扫过的圆的半径是3厘米，分针“扫过”的面积就是半径为3厘米的圆的面积的2倍，从而利用圆的面积公式即可求出分针扫过的面积。 【详解】3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方厘米） 分针扫过的面积是56.52平方厘米。 故答案为：D 5．要使大小不同的两个圆有无数条对称轴，应采用（    ）种画法。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这条直线即为对称轴，由此即可选择。 【详解】 A． 只有1条对称轴； B． 只有1条对称轴； C． 只有1条对称轴； D． 有无数条对称轴。 故答案为：D 6．一个圆的半径是4分米，它的直径是( )分米，周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 8 25.12 50.24 【分析】根据直径公式d＝2r，周长公式C＝2πr，面积公式S＝πr2，即可求出圆的直径、周长与面积。 【详解】直径：2×4＝8（分米） 周长：2×3.14×4 ＝6.28×4 ＝25.12（分米） 3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 所以一个圆的半径是4分米，它的直径是8分米，周长是25.12分米，面积是50.24平方分米。 【点睛】本题主要利用圆的直径公式d＝2r、周长公式C＝2πr与面积公式S＝πr2解决问题。 7．农业科技化建设确实已成为我国现代农业的突出亮点，某农场用无人机播撒种子，播撒范围是一个圆形，半径是15米，其周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 94.2 706.5 【分析】圆的周长公式：，圆的面积公式：，由题意知：半径是15米，代入数据计算填空即可。 【详解】2×3.14×15 ＝6.28×15 ＝94.2（米） ＝706.5（平方米） 所以某农场用无人机播撒种子，播撒范围是一个圆形，半径是15米，其周长是94.2米，面积是706.5平方米。 8．已知小圆的半径是3厘米，大圆的直径是8厘米，小圆和大圆的周长之比是( )，面积之比是( )。 【答案】 3∶4 9∶16 【分析】根据圆的周长＝×直径，圆的面积＝×半径的平方，分别求出小圆和大圆的周长、面积，再进行比即可解答。 【详解】3×2＝6（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 3.14×8＝25.12（厘米） 18.84∶25.12＝（18.84÷6.28）∶（25.12÷6.28）＝3∶4 8÷2＝4（厘米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 28.26∶50.24＝（28.26÷3.14）∶（50.24÷3.14）＝9∶16 所以小圆和大圆的周长之比是3∶4，面积之比是9∶16。 9．如图中三个圆的圆心在同一条直线上，已知最大圆的周长是28.26cm，最小圆的周长是6.28cm，那么中等的这个圆的周长是( )cm。 【答案】21.98 【分析】因为三个圆的圆心在同一条直线上，设最大圆的直径是D，最小圆的直径是d1，中等圆的直径是d2，则D＝d1＋d2；根据圆的周长公式C＝πd可知，πd1＋πd2＝π（d1＋d2）＝πD，即最小圆的周长与中等圆的周长之和等于最大圆的周长，所以用最大圆的周长减去最小圆的周长，即是中等圆的周长。 【详解】28.26－6.28＝21.98（cm） 那么中等的这个圆的周长是21.98cm。 10．如图，把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，这个近似的平行四边形的高是4cm，底是( )cm，这个圆的面积是( )。 【答案】 12.56 50.24 【分析】将一个圆平均分成若干份后，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底是圆的周长的一半，平行四边形的高是圆的半径，平行四边形的面积为原来圆的面积。圆的周长公式：；圆的面积公式：。代入数据计算即可。 【详解】 （cm） （） 如题图，把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，这个近似的平行四边形的高是4cm，底是12.56cm，这个圆的面积是50.24。 11．南湖公园有一个花瓣状门洞的边缘是由4个直径相等的半圆组成的。这个门洞的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 6.28 2.57 【分析】从图中可知，半圆的直径是1米，而这个门洞的周长是由4个直径相等的半圆弧组成，根据圆的周长公式“”代入数值计算即可；观察图片，可知这个门洞的面积是由4个直径相等的半圆和一个正方形组成，正方形的边长与半圆直径相等，根据圆的面积公式“”和正方形面积公式“正方形的面积＝边长×边长”解答即可。 【详解】3.14×1÷2×4＝6.28（米） 3.14×（1÷2）2÷2×4＋1×1 ＝3.14×0.52÷2×4＋1×1 ＝3.14×0.25÷2×4＋1 ＝1.57＋1 ＝2.57（平方米） 所以这个门洞的周长是6.28米，面积是2.57平方米。 12．如图：如果图1中的外面正方形面积是16dm2，则内圆面积是( )dm2；如果图2中的外圆面积是12.56dm2，则圆内正方形面积是( )dm2。 【答案】 12.56 8 【分析】图1：根据正方形面积求出边长，也就是内圆直径，根据求内圆面积。图2：根据求出外圆半径，连接正方形对角线，得到两个面积相等的三角形，三角形的底边是直径长，高是半径长，那么正方形面积根据计算解答。 【详解】因为（），所以正方形边长也就是内圆直径都是4dm，半径是（dm）。 （） 图1内圆面积是12.56。 （），因为（），所以外圆半径是2dm。 （） 图2圆内正方形面积是8。 13．如图是汉代 "千秋万岁" 瓦当（一种古建筑构件）的简化示意图，该瓦当直径6cm。其中阴影部分为瓦当的扇形纹饰，其半径是( )厘米，圆心角是( )度（注：汉代瓦当常用四等分界格），弧AB长( ) cm。 【答案】 3 90 4.71 【分析】首先根据圆的直径求出半径；再由“四等分界格”得出扇形圆心角占周角的比例，进而求出圆心角；最后运用弧长对应了圆周长的四分之一部分，得出弧AB的长度。 【详解】已知瓦当直径为6厘米，在圆中，半径r＝（d为直径），所以扇形的半径r＝＝3（厘米）； 因为汉代瓦当常用四等分界格，周角为360°，所以扇形的圆心角n＝＝90°； 弧AB的长度为四分之一圆的周长长度，即＝＝4.71（厘米） 【点睛】明确圆的半径与直径的关系r＝；结合“四等分”条件，得出扇形圆心角为周角的，弧AB长度也为圆周长的。 14．求阴影部分的面积。 【答案】（1）31.74cm2； （2）11.44cm2 【分析】（1）阴影部分的面积为长方形的面积减去圆的面积： 这个长方形的长为10cm，宽为6cm，根据长方形的面积＝长×宽即可求出长方形的面积； 圆的直径为6cm，半径为6÷2＝3（cm），根据圆的面积＝即可求出圆的面积，二者面积作差即可求出阴影部分面积； （2）阴影部分的面积为三角形的面积减去圆的面积： 这个三角形的底为8cm，高为6cm，根据三角形的面积＝底×高÷2即可求出三角形的面积； 圆的半径为2cm，根据圆的面积＝即可求出圆的面积，二者面积作差即可求出阴影部分面积。 【详解】（1）10×6－3.14×（6÷2）2 ＝60－3.14×32 ＝60－3.14×9 ＝60－28.26 ＝31.74（cm2） 即阴影部分的面积为31.74cm2。 （2）8×6÷2－3.14×22 ＝48÷2－3.14×4 ＝24－12.56 ＝11.44（cm2） 即阴影部分的面积为11.44cm2。 15．计算阴影部分的面积。（单位：dm） 【答案】7.85dm2；27.44dm2 【分析】（1）阴影部分的面积等于内直径（d2）是4 dm，外直径（d1）是（4＋1＋1）dm的圆环的面积的一半，圆环的面积＝π[（d1÷2）2－（d2÷2）2]，据此列式计算； （2）据图可知，阴影部分的面积等于长是（4＋6）dm宽是4 dm的长方形的面积减去半径是4 dm的圆的面积的，长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式计算。 【详解】4＋1＋1＝6（dm） 3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]÷2 ＝3.14×[32－22]÷2 ＝3.14×[9－4]÷2 ＝3.14×5÷2 ＝15.7÷2 ＝7.85（dm2） 阴影部分的面积是7.85dm2。 （4＋6）×4－3.14×42× ＝10×4－3.14×16× ＝40－50.24× ＝40－12.56 ＝27.44（dm2） 阴影部分的面积是27.44dm2。 16．世界上最大的球面射电望远镜，位于贵州省的喀斯特洼坑中，被誉为“中国天眼”。它就像一口大锅，如果沿着它的锅口边缘走一圈，要走1570米，那么“锅口”直径为多少米？ 【答案】 500米 【分析】“锅口”边缘一圈的长度即为圆的周长，由圆的周长公式可知，直径周长，据此解答。 【详解】（米） 答：那么“锅口”直径为米。 17．公园里一座亭子的圆形底部的半径是3米，现在要在它的周围种上2米宽的环形草坪（如下图）。草坪的面积有多大？ 【答案】50.24平方米 【分析】亭子的圆形底部的半径是3米，要在它的周围种上2米宽的环形草坪，草坪可看作是一个圆环。外圆的半径是3＋2＝5米，内圆的半径为3米，根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（R为外圆半径，r为内圆半径，π取3.14）。把数据代入公式计算即可。 【详解】3＋2＝5（米） 3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：草坪的面积是50.24平方米。 18．中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币造型饰品的面积是多少平方厘米？ 【答案】27.62平方厘米 【分析】由图可知，圆的直径是6厘米，利用“”求出圆的面积，正方形的边长是0.8厘米，利用“”求出正方形的面积，这个古钱币造型饰品的面积＝圆的面积－正方形的面积，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2－0.8×0.8 ＝3.14×32－0.8×0.8 ＝3.14×9－0.8×0.8 ＝28.26－0.64 ＝27.62（平方厘米） 答：这个古钱币造型饰品的面积是27.62平方厘米。 19．李佳学习了圆的面积后，学以致用。自己画了一幅图（如图），四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是3厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？请你帮李佳算一算。 【答案】9平方厘米 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的面积通过对称“转化”为平行四边形ABCD面积的一半，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，平行四边形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，把数据代入公式解答。 【详解】如图： 3×2×3÷2 ＝6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） 答：阴影部分的面积是9平方厘米。 20．一条长12厘米的绳子，一头系着一只小蚂蚁，另一头拴在一个边长是6厘米的等边三角形的一个顶点处，小蚂蚁的初始位置与三角形一边在同一条直线上，这时它开始拉着绳子逆时针跑，它能跑的最大距离为多少？ 【答案】87.92厘米 【分析】三角形为ABC，将一头拴在A点，要使跑的距离最大，首先逆时针跑以A点为圆心，AB为初始的位置，绕着三角形外围转到绳子和AC重合，即得到半径12厘米的扇形，这个扇形的圆心角就是周角减去等边三角形的内角即是300度；这时蚂蚁一条边与另一边重合，此时绳是以C为圆心绕着三角形的外围得出一个半径是6厘米的扇形，扇形的圆心角为＝平角减去三角形的其中一个内角，此时蚂蚁在B点。分别求出两个扇形弧度的长度再相加即可。扇形的弧度的长度＝扇形所在圆的周长×扇形圆心角占周角的几分之几。 【详解】360－60＝300（度） 180－60＝120（度） 3.14×12×2×＋3.14×（12－6）×2×2× ＝3.14×12×2×＋3.14×（12－6）×2×2× ＝3.14×20＋3.14×6×2×2× ＝3.14×20＋3.14×8 ＝3.14×28 ＝87.92（厘米） 答：它能跑得最大距离为87.92厘米。 【点睛】要得出蚂蚁跑的最大的距离是两个扇形，分别得出扇形弧度的长度再相加。 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $