5.3 垂径定理 学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦垂径定理及其逆定理，梳理核心结论与易错点，通过回顾圆的性质和勾股定理导入，以知识梳理和关键提醒为支架，帮助学生构建从定理理解到实际应用的学习脉络。 资料特色在于结合石拱桥、铁球测量等生活实例培养数学眼光，通过构造直角三角形训练推理与运算能力，分层习题与规范解析提升模型意识，助力学生理解知识本质，便于教师教学评估。

5.3 垂径定理 同步训练 知识梳理 核心结论：本节重点掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及其逆定理（平分弦<非直径>的直径垂直于弦且平分弦所对的弧），核心应用是通过构造直角三角形，结合勾股定理解决与圆的弦、半径相关的计算问题。 一、垂径定理：定义、证明与核心内容 1. 定理内容 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（包括优弧和劣弧）。 2. 定理证明 二、垂径定理的逆定理：关键条件与应用 1. 逆定理内容 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 关键条件：“弦不是直径”的原因 若弦是直径（如CD是⊙O的直径，AB也是⊙O的直径），则两条直径互相平分，但不一定垂直（例如两条不垂直的直径），因此逆定理需排除“弦为直径”的情况，否则结论不成立。 三、垂径定理的核心应用：计算与作图 1. 解题核心思路：构造直角三角形 垂径定理的应用本质是“将弦长、半径、圆心到弦的距离转化为直角三角形的三边”： 四、易错提醒与注意事项 1. 忽略“弦不是直径”的前提：应用逆定理时，若弦为直径，不能直接得出“直径垂直于弦”的结论（如两条不垂直的直径互相平分但不垂直）。 1. 辅助线构造遗漏：解决弦长、半径问题时，需主动作“圆心到弦的垂线”，将问题转化为直角三角形计算，避免直接套用公式导致错误。 1. 弧的对应关系混淆：垂径定理中“平分弦所对的两条弧”，需明确是“优弧”和“劣弧”，计算时需根据题意判断对应弧的度数或长度。 一、单选题 1．半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法：①长度相等的弧是等弧：②直径是圆中最大的弦；③相等的圆心角所对的弦相等，④平分弦的直径垂直于弦，你认为正确的共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，在中，半径长为10，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 4．如图，在中，是的直径，是弦，且于点，，则的半径是（　　） A． B． C． D．3 5．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦的长为，瓶内液体最大深度，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 6．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 7．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 二、填空题 8．已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为 ． 9．如图，将一张矩形纸条拉直紧贴胶带纸上，就可以用刻度尺测胶带纸的外圆半径，纸条的上下边沿分别与胶带外圆相交于，，，四点，用刻度尺量得该纸条宽，，，则胶带外圆半径为 ． 10．如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，， ． 11．如图①是小明帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 ． 12．如图，四边形在圆内，点B，C在圆上，，，，过中点作交圆于点，若，则该圆的半径为 ． 三、解答题 13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是的圆心，为上一点，，垂足为．已知 ， ，求这段弯路的半径． 14．已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C． (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 15．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，且． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米（即米）时，求此时跨度的长度，并判断是否要采取紧急措施？ 16．如图，为的直径，和为上位于直径同侧的两点，且，连接，，，． (1)求证：． (2)连接，若，求的度数． 17．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径． 学科网（北京）股份有限公司 《5.3 垂径定理 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册》参考答案 1．D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值， 根据题意画出图形，则，求出即可求解； 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 则， ∴； ∴， 故选：D 2．B 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的相关性质． 本题考查圆的基本性质，包括等弧、弦、圆心角等概念，需要根据圆的性质逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解： ① 长度相等的弧必须是同圆或等圆中才称为等弧，故错误； ② 直径是圆中最大的弦，正确； ③ 相等的圆心角所对的弦相等必须在同圆或等圆中才成立，故错误； ④ 平分弦的直径垂直于弦，必须弦不是直径才成立，故错误。 ∴ 正确的只有②，共1个， 故选：B． 3．C 【分析】由圆心O到弦AB的距离，得于点E，则，，而，求得，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查点的直线的距离、垂径定理、勾股定理等知识，推导出，是解题的关键 【详解】解：在中，圆心O到弦的距离， 于点E， ，， 半径长为10， ， ， ， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，由垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：连接， ，， ， 在中，， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识点，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接，由垂径定理得，再设球的半径为R，则，然后由勾股定理列方程求得R即可． 【详解】解：如图：连接，由题意得， ∴，， 设球的半径为R，则， 在中，， ∴，解得：． ∴球的半径为． 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 7．B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 8． 2或14 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），           故答案为：或14． 9． 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是理解题意并作出辅助线． 设圆心为，连接、，过点作，，设，得出，再由垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接、，过点作，，如下图所示： 设，由题意，点、、共线， 该纸条宽， ， ，， ，， 中， 中， 又， ， 即， 解得， ， 即胶带外圆半径为． 故答案为：． 10．13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 11．2 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设圆的圆心为O，连接，与交于点D，根据垂径定理可推出，结合锅盖直径为，利用勾股定理求得，进而求得，即为点到的距离． 【详解】解：如图，设圆的圆心为O，连接，与交于点D， ∵锅盖直径为， ∴， ∵垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，即，且， ∴， 在中，， ∴， 即锅盖最低点到的距离为． 故答案为：2． 12． 【分析】通过延长线段、作垂线构造矩形和平行四边形，利用矩形的性质得到线段相等关系；根据中点和平行线分线段成比例得出线段中点，进而确定过圆心的直线；再结合等腰直角三角形的性质求出相关线段长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解圆的半径． 【详解】解：延长交于，过作于，交于， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∵，（点是的中点）， ∴， ∴，， ∴过圆心，， 如图，令圆心为，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设该圆的半径为，则，， 在中，即 解得圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及勾股定理的应用，熟练掌握这些知识并能通过构造辅助线将问题转化为直角三角形问题是解题的关键． 13．这段弯路的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解题的关键是用半径表示出，再利用勾股定理求解． 连接，设半径为，则，由可得，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接，如下图， 设半径为，则， ∴， ∵点是的圆心，， ∴，， 由勾股定理可得，，即， 解得， 答：这段弯路的半径为． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆的性质，圆心到圆上任意两点的距离相等，所以通过作两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心． （2）先利用等腰三角形的性质得出垂直平分，再在直角三角形中用勾股定理求出的长度，然后设圆的半径为，表示出的长度，最后在另一个直角三角形中利用勾股定理列方程求解半径． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：连接、，交于点，如图， ， ， 垂直平分， ，， 在中，，， ， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， 即该圆板的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及尺规作图，熟练掌握圆的对称性、勾股定理的应用是解题的关键． 15．(1) (2)32米，不需要采取紧急措施． 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由垂径定理和圆的性质可得米，米，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）由垂径定理和圆的性质可得，米，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设点O为该圆弧所在的圆的圆心，连接， ∵米，米，且， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆弧所在的圆的半径r的长为； （2）解：如图所示，连接， 由题意得，， ∴， ∵ 米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1），由等式性质可得，由圆心角、弧、弦的关系即可得； （2）由垂径定理得，等量代换得，由为直径得，即可得的度数为． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即 ∴； （2）解：如图， ∵，为的半径 ∴ ∴ ∵为直径， ∴ ∴的度数为． 17．(1) (2)19.4m 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）设主桥拱半径为R， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 答：这座石拱桥主桥拱半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $