5.3.1垂径定理课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

垂径定理 百尺高虹横水面，一弯新月出云霄. 第五章 圆 鲁教版数学九年级下册 走 进 赵 州 桥 走 州 进 赵 为了探索赵州桥里蕴含的数学奥秘，数学社团小组成员通过收集 资料测量了赵州桥的相关数据. 桥 赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m, 拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m. 如何求出赵州桥桥拱所在圆的半径？ 探 究 新 知 思考1： 它的对称轴是什么？ 左图是轴对称图形吗？ 直径CD所在的直线 思考2：图中有哪些相等的量？ 观察 AM=BM，AC=BC，AD=BD 验证 叠合法 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为点M． 猜想 · O A B C D M 性质定理 判定定理 探 究 新 知 小组合作要求： 1.先独立思考1分钟. 2.小组内分享思路 3.老师任选代表展示，讲解思路. 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径， 并且CD⊥AB，垂足为点M． · O A B C D M 求证： AM=BM，AC=BC，AD=BD. · O A B C D M 证 AM=BM ：方法一 OA=OB 等腰三角形OAB + CD⊥AB 性质定理 判定定理 AM=BM 探 究 新 知 温馨提示：在圆中，常常 连半径构造等腰三角形. OA=OB Rt△AOM≌Rt△BOM（HL） CD⊥AB AM=BM + OM=OM + 证 AM=BM ：方法二 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径， 并且CD⊥AB，垂足为点M． 三线合一 活动要求： 同位指图互说证明思路. 求证： AM=BM，AC=BC，AD=BD. AC = BC 探 究 新 知 ∠AOC=∠BOC Rt△AOM≌Rt△BOM（HL） 证 ： 等腰三角形OAB 或 AD = BD 活动要求： 同位指图互说证明思路. 四量关系定理 等式的性质 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径， 并且CD⊥AB，垂足为点M． 求证： AM=BM，AC=BC，AD=BD. AC=BC，AD=BD 温馨提示：在圆中，常常 连半径构造等腰三角形. · O A B C D M 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言： ∵ CD是直径， CD⊥AB， AC=BC，AD=BD ∴ AM=BM， 探 究 新 知 活动要求： 请将符号语言记在课本P14上， 并记忆垂径定理和符号语言. · O A B C D M 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条 直径，并且 条件 结论 逆 向 思 维 , AC=BC，AD=BD. 求证： AM=BM CD⊥AB 活动要求： 请完成在学案上（逆向思维）.如遇困难，可求助同伴. 证明：连接OA, OB ∵OA=OB， AM=BM ∴CD⊥AB（三线合一）. 又∵CD为直径 ∴AC=BC，AD=BD（垂径定理）. · O A B C D M ，垂足为点M． ． 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条 直径，并且 条件 结论 逆 向 思 维 , AC=BC，AD=BD. 求证： AM=BM CD⊥AB 证明：连接OA, OB ∵OA=OB， AM=BM ∴CD⊥AB（三线合一）. 又∵CD为直径 ∴AC=BC，AD=BD（垂径定理）. · O A B C D M ，垂足为点M． ． 垂径定理逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧. 逆 向 思 维 符号语言： ∵ CD是直径， AM=BM， AC=BC，AD=BD ∴ CD⊥AB， 活动要求： 请将符号语言和反例记在课本P15上， 并记忆逆定理和符号语言. · O A B C D 反例 · O A B C D M 逆 向 思 维 · O A B C D 课外拓展：知二推三 温馨提示： 应用垂径定理逆定理时，被平分的必须是非直径的弦. ①②→③④⑤ 垂径定理 ①③→②④⑤ 垂径定理逆定理 ① CD是直径 ③ AM=BM ② CD⊥AB ④ ⑤ M 请同学们思考，我们学习垂径定理及其逆定理的作用是什么？ · O A B C D M · O A B C M · O A B M 化 繁 为 简 O A B M 温馨提示：善于识别和构造基本图形. 应 用 新 知 (1)若AB=6,OA=5，求OM的长. OM=4 · O A B M 弦长、半径→弦心距 半径、弦心距→弦长 (2)若OA=13,OM=5，求AB的长. AB=24 r d 弦长a 弦心距d 半径r 弦长、弦心距→半径 (3)若AB=16,OM=6，求OA的长. OA=10 如图，AB是⊙O的一条弦，并且OM⊥AB，垂足为点M． 勾股定理：(2 + d2 = r2 垂径定理：a a、d、r 知二得一 同位之间，一人任选一题出题，另一人回答，然后互换. 自 主 编 题 · O A B M (1)已知AB= ,OA= ，求OM的长. (2)已知OA= ,OM= ，求AB的长. (3)已知AB= ,OM= ，求OA的长. 如图，AB是⊙O的一条弦，并且OM⊥AB，垂足为点M． 拱高是指弧的中点到弦的距离（例如图中的CM）. · O A B C M 应 用 新 知 OM=4 AB=24 你会求刚才问题的拱高CM吗？ CM=1 CM=8 拱高：h= r-d 拱高h OA=10 CM=4 (1)已知AB=6,OA=5，求OM的长. (2)已知OA=13,OM=5，求AB的长. (3)已知AB=16,OM=6，求OA的长. r d 勾股定理：(2 + d2 = r2 垂径定理：a a、d、r、h 知二得二（已知a、h，求r需列方程.） 在直径为200cm圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ） A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm A 数 学 建 模 连接半径作垂线段 构造 直角三角形 C D 题目类型：已知弦长、半径（直径），求拱高. 题目类型：已知弦长、拱高，求半径. 小组合作要求： 1.先独立思考. 2.小组内分享解题思路， 并书写过程. 3.老师任选代表展示. 赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m. 你能求出桥拱所在圆的半径吗？ 数 学 建 模 建模 37.4 7.2 R 数 学 建 模 37.4 7.2 R 解：设OC为R，则OD=(R-7.2)m ∵OC⊥AB，OC为半径，AB=37.4m， ∴AD=BD=18.7m. 在Rt△AOD中，OA² = AD² + OD² 即 R² = 18.7²+（R-7.2）² 解得 R≈27.9 答：赵州桥主桥拱的半径约为27.9m. 垂径定理—平分弦 勾股定理—列方程 赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m. 你能求出桥拱所在圆的半径吗？ 畅 谈 收 获 一题多解 垂径定理 知识 方法 情感 合作共赢 方程思想 垂径定理逆定理 垂径定理 共 话 单 元 推论 逆定理 直角三角形 勾股定理 等腰三角形三线合一 · O · O · O 基本图形 实际问题 建 模 观察 操作 验证 O A B M 共 话 单 元 三角形 等腰三角形 直角三角形 四边形 相似三角形 全等三角形 y x 平面直角坐标系 圆 纳 百 图 通 贯 汇 融 三角函数 sinα 一次函数 二次函数 方程与不等式 正多边形 作 业 布 置 课本P16 习题 T1、2 探究垂径定理的推论 查阅资料 计算拱桥半径 基础作业 拓展作业 实践作业 感谢聆听 百尺高虹横水面，一弯新月出云霄. $$