第二十六章 反比例函数 单元培优训练 2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级下册第二十六章 《反比例函数》培优专项训练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1,己知反比例函数y=-下列选项正确的是() 7 A.函数图象在第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D.y随x的增大而增大 2.如图，反比例函数y=的图象如下，在图象上任取一点P,过P点作x轴的垂线交x轴于M,则三角形OMP 的面积为() O M A.2 B.3 C.6 D.不确定 3.若点A(a,-2),B(b,-1),C(c,3)在反比例函数y=的图象上，则a,b,c的大小关系是() A.c>b a B.c>a>b C.a>b >c D.b>c>a 4.已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电路中的电流I(4)与接入电路的电阻R(2)是反比例函数 关系，其函数图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A,那么该用电器的可 变电阻R应控制在() R/2 A.R≥2 B.0<R≤2 C.R≥1 D.0<R≤1 5.在平面直角坐标系中，两数y-x<0)与y=x十1的周象交于点Pab,则代数式-的值是() A-号 B号 C.2 D.-2 6.著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”请运用这句话中提到的思想方法判断 方程-2=X2-4x的根的情况是(） 第1页，共10页 A.有三个实数根 B.有两个实数根C.有一个实数根 D.无实数根 7.如图，平面直角坐标系中，原点0为正六边形ABCDEF的中心，EF/x轴，点E在双曲线y=(k为常数， k>O)上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为() 1 k(k>0) A.4V3 B.3V3 C.2V3 D.3 8.如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A(4,2)在函数y=k>0,x>0)的图像上.将直线0A沿y 轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B,与函数y=k>0,x>0)的图像交于点C若BG=5,则点B 的坐标是() B A 10 A.(0,V5 B.(0,3) C.(0,4) D.(0,2V5) 9.如图，点A,B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD,点C,D恰好都落在反比例 函数y=k≠O)的图象上，点E在BC延长线上，CE=BC,EF1BE,交x轴于点R,边EF交反比例函数y= 生k+0)的图象于点P,记△BEF的面积为S,若s=+12,则△CEP的面积是() D A.2V17+2 B.2√17-2 C.V17+2 D.17-2 第2页，共10页 10.若函数y1的图象上存在点P,函数y2的图象上存在点Q,且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对 偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”.下列结论： ①函数y1=2x+3与函数y2=-x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1=2x+3与函数y2=-x+1的“对偶值”为-1： ③若1是函数y1=kx+3与函数y2=的“对偶值”，则k=2: 9 ④若函数y1=-2x+b(-2≤x≤-1)与函数y2=(x>0)具有“对偶关系”，则3≤b≤ 其中正确的是() A.①④ B.②③ C.①③④ D.②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知：点P0m,m)在直线y=-x+2上，也在双曲线y=-上，则m2+n2的值为 2.如图，矩形ABCD的顶点A,C在反比例函数y=冬k>0,x>0)的图象上，若点A的坐标为3,4，AB=2, AD//x轴，则点C的坐标为 B 3.如图，点A,B是函数y=(x<0)图象上两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C,AC交OB于点D若△AD0的 面积为3，点D为OB的中点，则k的值为 D 4如图，点A在反比例函数1=x>0)的图象上，过点A作AB1轴，垂足为B,交反比例函数2-x>0) 6 的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA,PC,则△APC的面积为· 第3页，共10页 ◆y B 5.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知函数y1-是(x>0)和y2=-x<0),点M为y轴正半轴上一点， 点N为x轴上一点，过点M作y轴的垂线分别交y1,y2的图象于A,B两点，连接AN,BN,则△ABN的面积为 B M y N 6.如图，点A、B在反比例函数y=（x>0)的图象上，延长AB交x轴于C点，且点B是AC的中点，则△AOC 8 的面积=· y B 7.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C,F均在x轴正半轴上，点D在边BC上， BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 第4页，共10页 8.记实数x1,x2,…,xn中的最小数为min{x1,x2,,xn},例如min{1,2,1}=1.己知min{30,a=a,min{ V30,)=30,且a,b是两个连续的正整数，记b-a的算术平方根为M:y=mn2x-1急， 记y的最大 值为N,则M+N= 二、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(体小题8分)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC是矩形，点A,C在坐标轴上，反比例函数y= (x>O)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且D为AB的中点. (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=(x>O)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上点D, E之间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围. 10.(本小题8分) 如图，在平面直角坐标系x0y中，点A是直线y=2x与函数y=,(x>0m为常数)的图象的交点，过点A 作x轴的垂线，垂足为点B,且OB=2. (1)求点A的坐标及m的值； (2已知点P(0,m0<n≤，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=2x于点Cxy,交函数y=m,的 图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3)若x2<x3<x1,请结合函数的图象，直接写出x1+x2十x3的取 值范围. =2x 第5页，共10页 11.(本小题8分)心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而 变化开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后 学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示（其中 AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分) (1)分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式： (2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ (3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教 有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标- 探究思考，归纳新知-辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需 要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40请问这样的要求能否实现？如果 能，请给出此环节时间安排的具体方案：如果不能，请说明理由. y B 50 D 10 30 第6页，共10页 12.(本小题8分)如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度y(微克/毫升)与用药的时间x( 小时)变化的图象.第一次服药后对应的图象由线段0A和部分双曲线AB:y=组成，服药6小时后血液中 的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段BC和部分曲线CD:y=x-16 k +m组成，其中0A与BC平行，血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效. (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度： (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗？ (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时 可进行第三次服药？ +y(微克/毫升) C k 8 A y=x-16+m 一D 6 1622 x(小时) 第7页，共10页 13.(本小题8分)如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图.取水平线0E为x轴，铅垂 线OD为y轴，建立平面直角坐标系.运动员以速度v(m/S)从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y=-ax2 +2x+20(a≠0).某运动员7次试跳的轨迹如图2.在着陆坡CE上设置点K(与D0相距32)作为标准点，着陆 点在K点或超过K点视为成绩达标。 y(m) a 0.250-- 0.167 20D 16 81 B C D入 TY100150200225250300350v2 图1 图2 图3 (1)求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）， (2)当a=时，着陆点为P,求P的横坐标并判断成绩是否达标. (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v的对应数据，在平面直 角坐标系中描点如图3. ①猜想a关于v的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证. ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)? (参考数据：V3≈1.73，V5≈2.24) 第8页，共10页 4.(本小题8分)如图，在△ABO中，A0=AB,点A的坐标为5,0)，点B(2,四在函数y=G>0)的图象上 将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC,点C怡好在函数y=x>0)的图象上. (1)求k1,k2的值； k2 (2)若P,Q分别为函数y=(x>0),y=(x>0)图象上的点，且以点0，P,Q,A为顶点的四边形为平 行四边形，求点P的坐标. 15.(本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=一式+4与反比例函数y=在第二象限的图象交于 点A(-2,m),与x轴交于点B. (1)求反比例函数的解析式. (②)在y轴正半轴上有一动点E(O,m),过点E作平行于x轴的直线，交反比例函数y=在第二象限的图象于点C, 1 交直线y=一x+4于点D. ①当n=6时，求线段CD的长； ②当点E在点(0,4)下方、x轴上方时，若CD≥OB,结合函数图象，求n的取值范围， 6 3 2 1 B -8-765-4-3-2-叫123456789 -2 第9页，共10页 16.(体小题8分)定义：将双曲线y=经过平移后得到一个新函数图象，我们称这个新函数是y关于x的“反 比例平移函数”，而反比例函数y=称为原函数，如：函数y=是2+1的图象是将双曲线y=狗右平移2 个单位，再向上平移1个单位得到，则函数)y=二2+1是y关于x的“反比例平移函数”，y=称为原函 数 (①“反比例平移函数”y=子+5的图象是由原函数的图象向一平移—_个单位得到： (2)如图所示，在平面直角坐标系中，点0为原点，矩形0ABC的顶点A、C的坐标分别为(12,0)、(0,3)，点D 是0A的中点，连接0B、CD交于点E,“反比例平移函数”y=+的图象经过B、E两点，求这个“反比 例平移函数”的表达式，并写出它的原函数； (3)在(2)的条件下，已知过线段BE中点的一条直线交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右 侧)，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形的面积为12，请求出点P的坐标. 个y E 0 D 第10页，共10页 2025-2026学年人教版九年级下册第二十六章 《反比例函数》培优专项训练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.已知反比例函数下列选项正确的是(    ) A. 函数图象在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. 随的增大而增大 2.如图，反比例函数的图象如下，在图象上任取一点，过点作轴的垂线交轴于，则三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 不确定 3.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电路中的电流与接入电路的电阻是反比例函数关系，其函数图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在    ． A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值是(    ) A. B. C. D. 6.著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是(    ) A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 7.如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在函数的图像上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图像交于点若，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 9.如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是(    ) A. B. C. D. 10.若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”下列结论： 函数与函数不具有“对偶关系”； 函数与函数的“对偶值”为； 若是函数与函数的“对偶值”，则； 若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______。 2.如图，矩形的顶点，在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，轴，则点的坐标为          ． 3.如图，点，是函数图象上两点，过点作轴，垂足为点，交于点若的面积为，点为的中点，则的值为          ． 4.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为          ． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为          ． 6.如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且点是的中点，则的面积      ． 7.如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是          ． 8.记实数，，，中的最小数为，例如已知，，且，是两个连续的正整数，记的算术平方根为；，记的最大值为，则      ． 二、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，在坐标轴上，反比例函数的图象分别与，交于点和点，且为的中点． 求反比例函数的解析式和点的坐标； 若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上点，之间的部分时点可与点，重合，直接写出的取值范围． 10.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点是直线与函数为常数的图象的交点，过点作轴的垂线，垂足为点，且． 求点的坐标及的值； 已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点，交垂线于点若，请结合函数的图象，直接写出的取值范围． 11.本小题分心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间分钟的变化规律如图所示其中、分别为线段，为双曲线的一部分． 分别求出线段和曲线的函数解析式； 开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ 为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知--辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由． 12.本小题分如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度微克毫升与用药的时间小时变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线：组成，服药小时后血液中的药物浓度达到最高，小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线：组成，其中与平行，血液中的浓度不低于微克毫升时有疗效． 分别求受试者第小时，第小时血液中的药物浓度； 受试者第一次服药后第二次服药前这小时内，有疗效的持续时间达到小时吗？ 若血液中的药物浓度不高于微克毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？ 13.本小题分如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线某运动员次试跳的轨迹如图在着陆坡上设置点与相距作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 求线段的函数表达式写出的取值范围． 当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． 在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得组与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图． 猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． 当为多少时，运动员的成绩恰能达标精确到？ 参考数据：， 14.本小题分如图，在中，，点的坐标为，点在函数的图象上将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点恰好在函数的图象上． 求，的值 若，分别为函数，图象上的点，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 15.本小题分如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点． 求反比例函数的解析式． 在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数在第二象限的图象于点，交直线于点． 当时，求线段的长 当点在点下方、轴上方时，若，结合函数图象，求的取值范围． 16.本小题分定义：将双曲线经过平移后得到一个新函数图象，我们称这个新函数是关于的“反比例平移函数”，而反比例函数称为原函数，如：函数的图象是将双曲线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则函数是关于的“反比例平移函数”，称为原函数． “反比例平移函数”的图象是由原函数          的图象向          平移          个单位得到 如图所示，在平面直角坐标系中，点为原点，矩形的顶点、的坐标分别为、，点是的中点，连接、交于点，“反比例平移函数”的图象经过、两点，求这个“反比例平移函数”的表达式，并写出它的原函数 在的条件下，已知过线段中点的一条直线交这个“反比例平移函数”图象于、两点在的右侧，若以、、、为顶点组成的四边形的面积为，请求出点的坐标． 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级下册第二十六章 《反比例函数》培优专项训练 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知反比例函数下列选项正确的是(    ) A. 函数图象在第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. 随的增大而增大 【答案】C  【解析】略 2.如图，反比例函数的图象如下，在图象上任取一点，过点作轴的垂线交轴于，则三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 不确定 【答案】A  【解析】【分析】 此题考查了反比例函数的几何意义，属于基础题，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 由已知得：三角形的面积，代入可以得结论． 【解答】 解：三角形的面积为， 故选：． 3.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电路中的电流与接入电路的电阻是反比例函数关系，其函数图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：把代入和， 得，，，． ，选 B． 6.著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是(    ) A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】C  【解析】解：画出函数和的图象如图所示，由图象可知，它们有一个公共点，所以方程只有一个实数根，故选 C． 7.如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 8.如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在函数的图像上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图像交于点若，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 9.如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图作轴于，轴于设，． 四边形是正方形， ，， 易证≌≌， ，， ，， 点，恰好都落在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 可得，， ， ， ， ，， ，， 直线的解析式为， 由，解得或， ， ， ， 故选：． 如图作轴于，轴于设，首先利用全等三角形的性质求出、两点坐标，再证明，再构建方程求出、，再求出直线的解析式，利用方程组确定点坐标即可解决问题； 本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10.若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”下列结论： 函数与函数不具有“对偶关系”； 函数与函数的“对偶值”为； 若是函数与函数的“对偶值”，则； 若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设函数上点坐标轴为， 、关于轴对称， 点坐标为， 若点或点的纵坐标称相等， ， 解得：， 则存在这样的点、，使得他们关于轴对称， 函数与函数具有“对偶关系”； 故错误，不符合题意； 当时，则， 解得； ，解得； 横坐标是相反数， 故正确，符合题意； 当时，则， 解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的， 代入得：， 解得， 故正确，符合题意； 设点坐标为，则点坐标为， 、横坐标是相反数关系，纵坐标相等， ， 整理得， ，对于函数，随的增大而增大， 当时，； 当时，； ，而不是， 故错误，不符合题意； 故选：． 根据、关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则、横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 本题考查新定义题型，涉及反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征及性质、轴对称的性质等内容，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______。 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，利用整体代入法求代数式的值，正确得出，之间关系是解题关键． 直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出以及的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案． 【解答】 解：点在直线上， ， 点在双曲线上， ， ． 故答案为． 2.如图，矩形的顶点，在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，轴，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】解：点的坐标为，， ， 四边形是矩形， ， 轴， 轴， 点的纵坐标为， 设， 矩形的顶点，在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为． 根据矩形的性质和点的坐标，即可得出的纵坐标为，设，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解得，从而得出的坐标为． 本题考查了据反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得的纵坐标为是解题的关键． 3.如图，点，是函数图象上两点，过点作轴，垂足为点，交于点若的面积为，点为的中点，则的值为          ． 【答案】  【解析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ． 为的中点， ． 轴， ， ． 的面积为， ， ． 故答案为：． 4.如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，为轴上一点，连接，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】解：连接和，如图： ， 点在轴上，轴， 和面积相等，即 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ， ， ， 的面积为， 故答案为． 连接和，利用三角形面积可得的面积等于的面积，再结合反比例函数中系数的几何意义，利用，可得结果． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，正确得出各矩形面积是解题关键． 利用反比例函数的性质结合矩形的性质得出矩形面积为，矩形面积为，则矩形的面积为，进而得出答案． 【解答】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，四边形是矩形， 函数和， 矩形面积为，矩形面积为， 则矩形的面积为， 则的面积． 故答案为． 6.如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且点是的中点，则的面积      ． 【答案】  【解析】解：作，，设， 点在反比例函数， ， 是的中点， ， ，， ， ，， ，， 点在反比例函数， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 设的长度为，利用反比例函数解析式表示出的长度，再表示出的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算表示面积即可得解． 本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用的长度表示出、的长度是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题． 7.如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是          ． 【答案】  【解析】【分析】 设，根据题意得点坐标，，再把、点坐标代入可求得的值，从而得出的坐标，代入可 得答案． 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点． 【解答】 解：，设，， 正方形的边长为， ， B、在反比例函数的图象上， ， 解得，舍 ， 反比例函数解析式为． 故答案为． 8.记实数，，，中的最小数为，例如已知，，且，是两个连续的正整数，记的算术平方根为；，记的最大值为，则      ． 【答案】  【解析】解：，， ， ， ，是两个连续的正整数， ，， 的算术平方根为； ； 如图，点是和的交点， ， ， 点在第一象限， 当时，， 的最大值为． ， ， 故答案为：． 根据新定义可得结论； 先根据新定义可得：，估算的大小，又知，是两个连续的正整数，可得，的值，由此即可求解； 根据最小数的定义可知：函数的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象，直线与在第一象限的交点的纵坐标即为的最大值． 本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，新定义，规律型数字的变化类，熟练应用函数图象的性质进行求解是解决本题的关键． 二、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，在坐标轴上，反比例函数的图象分别与，交于点和点，且为的中点． 求反比例函数的解析式和点的坐标； 若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上点，之间的部分时点可与点，重合，直接写出的取值范围． 【答案】(1)∵四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，∴AB⊥x轴，BC⊥y轴．∵点D的坐标为(4，1)，且D为AB的中点，∴点B的坐标为(4，2)．∴点E的纵坐标为2．∵反比例函数的图象过点D(4，1)和点E，∴k＝4×1＝4．∴反比例函数的解析式为．当y＝2时，x＝2，∴点E的坐标为(2，2)  (2)把D(4，1)代入y＝x+m，得4+m＝1，解得m＝-3；把E(2，2)代入y＝x+m，得2+m＝2，解得m＝0．∴m的取值范围是-3≤m≤0  【解析】 略  略 10.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点是直线与函数为常数的图象的交点，过点作轴的垂线，垂足为点，且． 求点的坐标及的值； 已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点，交垂线于点若，请结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点坐标为，；  (2)．  【解析】 略  略 11.本小题分 心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间分钟的变化规律如图所示其中、分别为线段，为双曲线的一部分． 分别求出线段和曲线的函数解析式； 开始学习后第分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ 为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知--辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由． 【答案】解：由图象知，，，， 设线段所在的直线的解析式为：：， 把代入得：， 解得：， 线段解析式为：． 设、所在双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 曲线的解析式为：； 把代入，得：， 把代入，得：， ， 第分钟时学生的注意力更集中； 这样的要求能实现．理由如下： 把代入得：，解得：； 把代入，得：，解得：， 学习时的注意力指标数不低于的时间为：， ， 这样的要求能实现．  【解析】从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； 把自变量的值和代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值，比较即可得出结论； 要求学习时的注意力指标数不低于，取，求出相对应的自变量的值，进而求出注意力指标数不低于的时间，与相比较，得出答案． 此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式；易错点是根据函数图象判断出注意力指标数不低于的时间． 12.本小题分 如图是一次药物临床试验中受试者服药后血液中的药物浓度微克毫升与用药的时间小时变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线：组成，服药小时后血液中的药物浓度达到最高，小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线：组成，其中与平行，血液中的浓度不低于微克毫升时有疗效． 分别求受试者第小时，第小时血液中的药物浓度； 受试者第一次服药后第二次服药前这小时内，有疗效的持续时间达到小时吗？ 若血液中的药物浓度不高于微克毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？ 【答案】解：将点代入， 得， ， 当时，， ， 设的解析式：， 代入， 得， 解得， 的解析式：， 与平行， 设的解析式：， 代入， 得， 解得， 的解析式：， 当时，， ， 第小时血液中的药物浓度为微克毫升，第小时血液中的药物浓度为微克毫升； 当，解得， 当，解得， ， 有疗效的持续时间未达到小时； 将点代入， 得， 解得， 段函数解析式：， 当时，， 小时， 受试者第二次服药后至少经过小时可进行第三次服药．  【解析】先待定系数法求出段和段的解析式，然后根据与平行，可确定段的解析式，然后求解即可； 分别求出段和段时的的值，进一步比较即可确定； 先求出段解析式，然后令求出的值，进一步求解即可． 本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意并求出各段的函数解析式是解题的关键． 13.本小题分 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线某运动员次试跳的轨迹如图在着陆坡上设置点与相距作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． 求线段的函数表达式写出的取值范围． 当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． 在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得组与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图． 猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． 当为多少时，运动员的成绩恰能达标精确到？ 参考数据：， 【答案】解：由图可知：，， 设：， 将，代入得：，解得， 线段的函数表达式为． 当时，， 由题意得， 解得舍去，． 的横坐标为． ， 成绩未达标． 猜想与成反比例函数关系． 设， 将代入得，解得， ． 将代入验证：， 能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式． 由在线段上，得，代入得，得． 由得， 又， ． 当时，运动员的成绩恰能达标．  【解析】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键． 由图可知：，，利用待定系数法可得出结论； 当时，，联立，可得出点的横坐标，比较即可得出结论； 猜想与成反比例函数关系．将代入表达式，求出的值即可．将代入进行验证即可得出结论； 由在线段上，得，代入得，得，由得，开根号运算即可． 14.本小题分 如图，在中，，点的坐标为，点在函数的图象上将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点恰好在函数的图象上． 求，的值 若，分别为函数，图象上的点，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)如图,过点B作BEOA于点E. 点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(2,n), OA=AB=5,OE=2,BE=n. AE=5-2=.n==. B(2,4). 点B在函数y=(x>0)的图象上,=24=. 过点C作CFx轴于点F.AEB=AFC=. 将线段AB绕点A按顺时针方向旋转,得到线段AC, AB=AC,BAC=. ABE+BAE=BAE+CAF=. ABE=CAF.ABECAF. AE=CF=3,BE=AF=. OF=.C(9,3). 点C在函数y=(x>0)的图象上, ​​​​​​​=93=27 ​​​​​​​  (2)由(1)知,=8,=27, P,Q分别为函数y=(x>0),y=(x>0)图象上的点, 设P(a,),Q(b,). 以点O,P,Q,A为顶点的四边形为平行四边形, 当AO为平行四边形的对角线时,由图象得这种情况不存在. 当AP为平行四边形的对角线时,易得 由,得b=5+a.代入,可得a=. P(,). 当AQ为平行四边形的对角线时,易得 由,得b=a-.代入,可得a=-(不合题意). ​​​​​​​综上所述,P(,)  【解析】 略  略 15.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点． 求反比例函数的解析式． 在轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数在第二象限的图象于点，交直线于点． 当时，求线段的长 当点在点下方、轴上方时，若，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)把A(-2,m)代入y=-x+4,得m=1+4=5. A(-2,5). 把A(-2,5)代入y=,得5=,解得k=-. ​​​​​​​反比例函数的解析式为y=-  (2)当n=6时,点E的坐标为(0,6),如图. 在y=-x+4中,令y=6,得6=-x+4, 解得x=-. D(-4,6). 在y=-中,令y=6,得6=-, 解得x=-. C(-,6). CD=--(-4)=. 线段CD的长为. 当CD=OB时,如图. 由y=-x+4,易得B(8,0). OB=. 在y=-x+4中, 令y=n,得n=-x+4,解得x=8-2n. D(8-2n,n). 在y=-中,令y=n, 得n=-,解得x=-. C(-,n). CD=8-2n-(-)=8-2n+. 当CD=OB=8时,8-2n+=8, 解得n=或n=-(不合题意,舍去). ​​​​​​​由图可知,当CDOB时, n的取值范围是0<n   【解析】 略  略 16.本小题分 定义：将双曲线经过平移后得到一个新函数图象，我们称这个新函数是关于的“反比例平移函数”，而反比例函数称为原函数，如：函数的图象是将双曲线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，则函数是关于的“反比例平移函数”，称为原函数． “反比例平移函数”的图象是由原函数          的图象向          平移          个单位得到 如图所示，在平面直角坐标系中，点为原点，矩形的顶点、的坐标分别为、，点是的中点，连接、交于点，“反比例平移函数”的图象经过、两点，求这个“反比例平移函数”的表达式，并写出它的原函数 在的条件下，已知过线段中点的一条直线交这个“反比例平移函数”图象于、两点在的右侧，若以、、、为顶点组成的四边形的面积为，请求出点的坐标． 【答案】解：上． A、的坐标分别为、， 点的坐标为， 直线的解析式为， 点是的中点， 点的坐标为， 直线的解析式为， 联立得 解得 点的坐标为． “反比例平移函数”的图象经过、两点， 解得 “反比例平移函数”的表达式为， 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图象， 原函数为． 如图，当点在点左侧时，设线段的中点为，过点作轴，交于，过点作交于，由反比例函数的中心对称性，可得四边形为平行四边形． 以、、、为顶点组成的四边形的面积为， ． 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图象， 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象． 又将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， 的图象可以看成的图象连同原点坐标一起平移而成，此时原点平移到点的位置， ． 设点的坐标为， ， ， 点的坐标为， 当点在点右侧时，同理可得点的坐标为 综上所述，点的坐标为或   【解析】见答案 第1页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $