3.1.1 函数的概念及其表示 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的概念及其表示（一）”，通过阅读函数概念发展历程及天宫二号距离与时间等实际情境导入，回顾初中“变量说”，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 以四个不同情境（解析式、图像、表格）引导学生归纳函数共同特征生成概念，培养数学抽象与逻辑推理，结合实际问题构建模型发展数学建模素养，分层检测含跨学科选做题，助力学生用数学眼光观察、思维思考现实世界。

高一年级 学科：数学 组编人：高一数学组 审核人：张学杰 2025—2026学年上学期高一年级数学学科导学案 第三章 函数的概念及性质 年级： 学科组： 姓名： 第一课时：3.1 函数的概念及其表示（一） 【课标解读】 本节是第三章“函数的概念及性质”的起始课，函数是高中数学的核心概念，是高中数学课程内容的四条主线之一，是学习数学学科内各个分支的重要基础，是解决跨学科问题的基本工具.本课时内容从四个真实情境切人，引导学生分别从解析式、图象、表格的角度体会函数的本质，为抽象函数的概念奠定基础.高中函数的概念本质是两个非空数集之间的对应关系，相比于初中函数的概念，它更具有一般性、推广性.为进一步深化理解函数的概念，采用先给出函数模型，然后反向构建情境问题，明确同一个函数模型可以用于刻画不同的情境问题，让学生体验函数应用的广泛性. 【核心素养】 ‌数学抽象‌：从具体到本质的抽象；从直观到形式的抽象； ‌‌逻辑推理‌：概念辨析中的演绎推理：根据函数定义的两个核心条件（非空数集、任意x对应唯一y），对具体案例进行“是/否”判断；表示形式转换中的逻辑关联：推导函数解析式、图像、表格三者的等价性；问题解决中的逻辑论证：解决“已知函数f(x)的表达式，求定义域、值域”或“根据分段函数的不同区间对应关系求函数值”等问题时，需遵循“先明确对应规则→再结合定义域限制→最后严谨计算/推导”的逻辑顺序，每一步均需以函数定义为依据，确保推理过程的严密性； ‌数学建模‌：问题转化与模型构建：从实际场景中提取关键变量，明确变量间的约束条件；2.模型求解与数学运算：基于构建的函数模型，运用数学方法解决实际问题；3.模型验证与结果解释：将数学运算结果回归实际场景，检验其合理性并解释意义；‌‌‌ 【学习目标】 (1)在“变量说”的基础上，通过四个情境实例，发现、归纳函数的本质属性，理解函数的“对应说”,经历函数概念的抽象过程，再由函数模型反向构建问题情境，发展学生直观想象和数学抽象素养，培养学生跨学科素养。 (2)理解y=f(x)的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数. 教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念。 教学难点：理解函数的对应关系f. 第一课时：3.1 函数的概念及其表示（一） 【学习过程】 【导— 思】（5分钟） (一)请同学们仔细阅读75页的阅读与思考“函数概念的发展历程”总结回答下列问题： 函数的发展历程 (欧拉)1748：(解析式定义) (柯西) (变量间的依赖关系) (狄利克雷) (集合和对应的观点) 函数：(名词的确定过程) 清代数学家李善兰、翻译《代数学》时把“”译为“函数”，“凡式中含天,为天之函数”，天、地、人、物 （四元）表示4个不同的未知数或变量.(元代：朱世杰) 即：凡式中含有变量，则该式叫做的函数”. (二)请同学们仔细阅读59页的章导语总结回答下列问题： 天宫二号离发射点的距离与时间的关系； 蓄水池使用时水面高度与使用时间的关系； 高铁票价与路程的关系； 炮弹的射高与时间的关系； 受台风影响的面积与半径的关系； …… 根据以上问题的感受，回答下列问题串： (1)什么是变量，什么是代数？他们的区别是什么？ (2) 在初中，大家已经学习过函数，请大家回忆一 下初中函数的定义是怎样描述的? (3)你能用已有的知识判断是函数吗?函数与 是同一个函数吗? 【思—议—展】（20分钟） 自主阅读教材60页-62页的4个问题情景分别进行，思考-讨论-并表达下列问题串，在此过程中感受函数概念的产生过程，并总结出相关的函数概念. 情境1 某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时，在这段时间内，列车前进的路程(单位：) 与运行时间 (单位：) 的关系可以表示为什么? (1)你能根据初中所学的函数概念，分析情境1 中的函数关系吗? (2)在情境1中，能否确定列车运行行驶的路程?运行小时的路程是多少千米?当小时时，能否通过关系式唯一确定路程? （3）若取负数，还有实际意义吗?这暗示函数的定义需关注什么?情景1中对变量的范围做了什么样的限制,请表达出来?怎样表达合适？ 情境2 某电气维修公司要求工人每周工作至少天，至多不超过天，如果公司确定的工资标准是每人每天元，而且每周付一次工资，那么一个工人一周的工资(单位：元)是他工作天数的函数吗? (1)一周工作天的工资是多少元?与的对应关系相同，它们是同一函数吗?为什么? (2)类比情境,你能用集合语言和对应关系描述情境中与 的关系吗? 情境３ 图是某市某日的空气质量指数() 变化图,如何根据图确定这一天任一时刻的空气质量指数()的值? 类比情境1,你认为这里的是的函数吗? 细化问题： 1.如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数的值? 2.你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗? 3.你认为这里的是的函数吗？ 情境4 国际上常用恩格尔系数()反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.98 29.35 28.57 2017年的恩格尔系数是多少?如果表格中缺失2018年的数据，是否影响是的函数? 追问：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数是年份的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? 追问： (1)这四个实例涉及哪些量?它们的对应关系形式有何不同? (2)这些对应关系是否都满足“一个输入值对应唯一的输出值”，请举例说明。 小组任务1：总结并完成表2,思考并概括上述情境1～情境4中的函数有哪些共同特征? 问题情景 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值的集合 问题1 问题2 问题3 问题4 归纳概括： 生成概念： 函数： 一般地，设是非空的数集，如果对于数集中的 ,按照某种 对应关系,在数集中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 为从集合到集合的一个函数，记作 .其中，叫做 ，的取值集合叫做函数的 ；与的值相对应的的值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 . 要素辨析，认识本质： (1)函数定义中有哪些关键词? (2)如何理解符号? (3)在情境1到情境4中函数的值域就是因变量所在的集合吗?一般地，函数的值域与因变量所在的集合是什么关系? 小组任务2：一次函数、反比例函数、二次函数，它们的定义域、对应关系、值域各是什么?你能用刚刚所学的函数概念描述这些函数吗?请同学们讨论并完成下表： 函数类型 对应关系 定义域 值域 函数定义描述 一次函数 反比例函数 二次函数 【当堂检测】（5分钟） 1. 必做题：教材第63～64页练习第1～4题. 2.选做题：历史上有很多数学家也是哲学家，如罗素、毕达哥拉斯、莱布尼茨等，可见数学和哲学关系密切.我们今天学习了函数，它的本源就是哲学中的语言，2018年某大学自主招生考试题目就是“谈谈数学与哲学的关系”.请同学们课后收集资料，以调查报告的形式谈谈“函数概念与哲学的关系”. 【总结提升】 1.函数的概念； 2.回顾函数概念中的关键词，巩固对抽象符号f的理解. 第 一 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $