期末复习讲义：专题08 数学广角——数与形（考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

该小学数学期末复习讲义通过考点梳理系统构建了数与形的知识体系，以框架图形式呈现数形结合核心思想，分“以形助数”“以数解形”两大模块梳理小棒摆正方形规律、点阵中的连续奇数之和、分数加法图形验证等考点，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“考点-例题-练习-真题”的递进式设计，例题讲解结合小棒摆正方形规律分析培养数学思维，考点练习与真题训练覆盖选择填空解答等题型，通过分层题目帮助不同学生提升几何直观与模型意识，为教师实施精准复习教学提供系统支持。

期末复习讲义：专题08 数学广角——数与形 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 目录 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 2 例题讲解 3 一、数与形（归纳递推） 3 考点练习 4 一、数与形（归纳递推） 4 真题训练 6 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 2.用小棒摆正方形 摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 ...... 每个正方形共用一条边 第1个：4根 (3×1 + 1) 第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1) 第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1) ...... 规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。 3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和) ....... 第1个图形（点）：1点 → 1 = 1² 第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2² 第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3² 第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 2.分数加法的规律 + = → 可以用一个正方形先涂，再涂剩下的（即），合起来是。 + + = → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。 + + + ... + = 1 - 规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。 例题讲解 一、数与形（归纳递推） 【例题1】＋＋＋＋＋…＋＝（    ）。 A． B．1 C． D．无法计算 【例题2】数学家把1、3、6、10…这样的数称为三角形数，下面（    ）也是三角形数。 A．14 B．15 C．16 D．17 【例题3】先找规律，再填数。 ，，，( )，，( )。 【例题4】如下图，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼起来可以坐10人，5张这样的桌子拼起来能够坐下( )人；要想坐下38人，至少需要( )张这样的桌子拼起来。 【例题5】先找规律再填空。12＝1；22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝( )；( )2＝1＋3＋5＋7＋9。 【例题6】找规律回答问题。 第⑤个图形中共有( )个点，如果其中一个图形有295个点，则这个图形是第( )个图形。 考点练习 一、数与形（归纳递推） 1．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。 A．52 B．42 C．52＋32 D．52－32 2．在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到（    ）根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 3．小明去文具店买东西，在路上遇到同学交谈了一会儿，然后去文具店买了一些学习用品后回家，下面图（    ）能比较准确地反映了小明的上述活动。 A． B． C． D． 4．有一串数第27个数是（    ）。 A． B． C． D． 5．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。( ) 6．、、、、…这列数越来越大，越来越接近1。( ) 7．根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝99998000001。( ) 8．按规律填数：，，，，( )，( )。 9．如图，4根火柴可拼成一个正方形，7根火柴可拼成两个正方形……照这样的规律，拼100个正方形需要( )根火柴，1000根火柴最多可以拼成( )个正方形。 10．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。 11．认真观察方框里的算式，能发现什么规律？         请写出下面算式的结果。 ( )。 12．如图，聪聪将黑、白两种颜色的正方形自上而下一层层地排列下去，每层从左到右排列，第8层是( )色的正方形，8层共有( )个正方形。 13．1＋3＋5＋7＋…＋47＝( )，＋＋＋＋＝( )。 14．探索规律。 将小棒按如下方式摆放。 (1)摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要( )根小棒，摆3个八边形需要( )根小棒。 (2)摆n个八边形需要( )根小棒。 15．（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（    ）。 真题训练 1．（24-25六年级上·吉林四平·期末）照这样接着画下去，第6个图形中有（    ）个黑色的小正方形。 A．6 B．8 C．10 D．4 2．（24-25六年级上·四川广元·期末）摆一个正六边形需要6根小棒，如图，摆10个正六边形需要（    ）根小棒。 A．50 B．51 C．52 D．60 3．（24-25六年级上·广东河源·期末）福利院住有一位老战士，这位老战士曾经是一名通信兵，他回忆一次战役时，为保障通信，他需要躲避敌人，缓步移动至任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，下面图（    ）大致能表示老战士当时与营地距离的变化情况。 A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·贵州黔东南·期末）如图，1张桌子可以围坐6人，3张桌子可以围坐14人，8张桌子可以坐（    ）人；58人坐（    ）张桌子。 A．48；14 B．34；14 C．16；48 D．14；16 5．（24-25六年级上·河北沧州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列算式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．100＝36＋64 6．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）《庄子・天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”照此说法，第( )天取得的长度是尺。 7．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）如图，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是( )cm，( )个三角形组成的图形周长是81cm。 8．（24-25六年级上·吉林四平·期末）( )。 9．（24-25六年级上·山西长治·期末）用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有( )个。 10．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）乐乐用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 11．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是( )，第四个数是( )。 12．（24-25六年级上·湖北孝感·期末）照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第个图形有( )个涂色小正方形。       13．（24-25六年级上·河南焦作·期末）观察下面图形的规律，第9个框里有( )个点。 14．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）用同样大小的黑白两色正方形摆图形，如图所示，按照这样的规律摆第7个图形需要( )个白色正方形，摆n个图形需要( )个黑色正方形。 15．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）下图是小明用火柴搭的“金鱼”，认真观察图形，思考下面的问题。 (1)照这样的规律摆下去，搭n条“金鱼”需要( )根火柴。 (2)当摆到第50根小棒时，小明已经搭好了( )条“金鱼”。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义：专题08 数学广角——数与形 （考点梳理+例题讲解+考点练习+真题训练） 目录 考点梳理 1 考点一、核心思想：数形结合 1 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 2 例题讲解 3 一、数与形（归纳递推） 3 考点练习 6 一、数与形（归纳递推） 6 真题训练 16 考点梳理 考点一、核心思想：数形结合 1.定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 2.作用： （1）以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 （2）以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 考点二、观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) 1.这类题目通常给出一组按一定规律排列的图形，要求： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 2.用小棒摆正方形 摆1个正方形需要4根小棒 摆2个正方形需要7根小棒 摆3个正方形需要10根小棒 ...... 每个正方形共用一条边 第1个：4根 (3×1 + 1) 第2个：4 + 3 = 7根 (3×2 + 1) 第3个：7 + 3 = 10根 (3×3 + 1) ...... 规律分析： 除了第一个正方形用4根，以后每增加一个正方形就增加3根小棒。图形的规律可以用代数式3n+1来表示。 3.点阵中的规律 (如从1开始的连续奇数之和) ....... 第1个图形（点）：1点 → 1 = 1² 第2个图形（点阵）：1 + 3 = 4点 → 4 = 2² 第3个图形（点阵）：1 + 3 + 5 = 9点 → 9 = 3² 第n个图形：1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² 规律分析： 从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。图形（正方形点阵）的点数之和与平方数紧密相关。 考点三、观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) 1.这类题目通常给出一组有规律的数或算式，要求： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 2.分数加法的规律 + = → 可以用一个正方形先涂，再涂剩下的（即），合起来是。 + + = → 继续用正方形涂色，发现和越来越接近1。 + + + ... + = 1 - 规律分析： 通过观察图形（如正方形或圆形的涂色部分），可以直观地理解当分数单位越来越小时，它们的和趋近于1的规律。 例题讲解 一、数与形（归纳递推） 【例题1】＋＋＋＋＋…＋＝（    ）。 A． B．1 C． D．无法计算 【答案】C 【分析】＝1－，＝－，＝－，…，根据分数的加减法的关系和性质，将＋＋＋＋＋…＋进行简算即可。 【详解】＋＋＋＋＋…＋ ＝1－＋－＋－＋－＋－＋…－ ＝1－ ＝ 故答案为：C 【例题2】数学家把1、3、6、10…这样的数称为三角形数，下面（    ）也是三角形数。 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】由图可知，第1个图形有1个圆，第2个图形有（1＋2）个圆，第3个图形有（1＋2＋3）个圆，第4个图形有（1＋2＋3＋4）个圆……以此类推，第n个图形有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个圆，求出第5个和第6个图形圆的个数，即可求得。 【详解】第5个图形圆的个数：1＋2＋3＋4＋5 ＝（1＋2＋3＋4）＋5 ＝10＋5 ＝15（个） 第6个图形圆的个数：1＋2＋3＋4＋5＋6 ＝（1＋2＋3＋4＋5）＋6 ＝15＋6 ＝21（个） 所以，15也是三角形数。 故答案为：B 【例题3】先找规律，再填数。 ，，，( )，，( )。 【答案】 【分析】观察前三个已知的分数发现，前一个分数乘等于后一个分数；据此规律解答。 【详解】×＝ ×＝ ×＝ ×＝ ×＝ 填空如下： ，，，（），，（）。 【例题4】如下图，1张桌子可以坐6人，2张桌子拼起来可以坐10人，5张这样的桌子拼起来能够坐下( )人；要想坐下38人，至少需要( )张这样的桌子拼起来。 【答案】 22 9 【分析】1张桌子可以坐6人，6＝1×4＋2；2张桌子拼起来可以坐10人，10＝2×4＋2…由此可知坐下的人数＝桌子数×4＋2；桌子数＝（坐下的人数－2）÷4，据此列式计算。 【详解】5×4＋2 ＝20＋2 ＝22（人） （38－2）÷4 ＝36÷4 ＝9（张） 5张这样的桌子拼起来能够坐下22人；要想坐下38人，至少需要9张这样的桌子拼起来。 【例题5】先找规律再填空。12＝1；22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝( )；( )2＝1＋3＋5＋7＋9。 【答案】 1＋3＋5＋7 5 【分析】观察12＝1，22＝1＋3，32＝1＋3＋5，发现规律：连续奇数的和等于奇数个数的平方，据此规律解答。 【详解】12＝1； 22＝1＋3； 32＝1＋3＋5； 42＝1＋3＋5＋7； 52＝1＋3＋5＋7＋9。 【例题6】找规律回答问题。 第⑤个图形中共有( )个点，如果其中一个图形有295个点，则这个图形是第( )个图形。 【答案】 16 98 【分析】根据图形，得出点的个数： 第一个图：4个 第二个图：4＋3＝7（个） 第三个图：4＋3＋3＝10（个） 第四个图：4＋3＋3＋3＝13（个） …… 可以得出每增加一个图形，就增加3个点。即第n个图形，点的个数为：4＋3×（n－1）。 图形有295个点，先减去开始的4个点，再除以3，则可以得出增加几个3，再加上1就是第几个图形。 【详解】4＋（5－1）×3 ＝4＋4×3 ＝4＋12 ＝16（个） （295－4）÷3＋1 ＝291÷3＋1 ＝97＋1 ＝98（个） 第⑤个图形中共有16个点，如果其中一个图形有295个点，则这个图形是第98个图形。 考点练习 一、数与形（归纳递推） 1．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。 A．52 B．42 C．52＋32 D．52－32 【答案】C 【分析】先计算1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1的结果，再分别计算各个选项中算式的结果，依此即可求解。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋9）×5÷2＋（5＋1）×3÷2 ＝25＋9 ＝34 A．52＝25 B．42＝16 C．52＋32 ＝25＋9 ＝34 D．52－32 ＝25－9 ＝16 故与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是选项C。 故答案为：C 2．在运河文化展厅展示了房屋模型，乐乐对此十分好奇，搭建3间这样的房屋模型一共使用了13根木棒。他想知道，如果按照同样的搭建规律，要搭建10间这样的房屋模型，一共需要用到（    ）根木棒。 A．40 B．41 C．42 D．53 【答案】B 【分析】由图可知，搭建1间这样的房屋模型需要5根木棒，搭建2间这样的房屋模型需要（5＋4×1）根木棒，搭建3间这样的房屋模型需要（5＋4×2）根木棒……以此类推，每次增加4根木棒，那么搭建n间这样的房屋模型需要[5＋4×（n－1）]根木棒，最后求出n＝10时含有字母式子的值，据此解答。 【详解】5＋4×（n－1） ＝5＋（4n－4） ＝5＋4n－4 ＝5－4＋4n ＝（1＋4n）根 当n＝10时。 1＋4n ＝1＋4×10 ＝1＋40 ＝41（根） 所以，一共需要用到41根木棒。 故答案为：B 3．小明去文具店买东西，在路上遇到同学交谈了一会儿，然后去文具店买了一些学习用品后回家，下面图（    ）能比较准确地反映了小明的上述活动。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，小明的活动分为： ①从家出发到与同学交谈前，这段时间离家的距离越来越远； ②在路上与同学交谈，这段时间离家的距离不变； ③交谈后到文具店，这段时间离家的距离越来越远； ④到文具店买学习用品，这段时间离家的距离不变； ⑤从文具店回家，这段时间离家的距离越来越近。 据此找出能比较准确地反映小明上述活动的折线统计图。 【详解】 A．小明所有的活动都表现出来了，符合题意； B．没有表现出途中与同学交谈的这段时间，不符合题意； C．没有表现出在文具店买学习用品的这段时间，不符合题意； D．在文具店买学习用品，这段时间离家的距离近，不符合题意。 故答案为：A 4．有一串数第27个数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化成，观察可知，分子是从1开始连续的奇数，相邻奇数相差2，从1到第27个数有（27－1）个间隔，因此第27个分数的分子是1＋（27－1）×2；分母是3的倍数，第一个分母是3×1，第二个分母是3×2，第几个分母就是3×几，据此确定第27个分数的分子和分母，写出这个分数即可。 【详解】分子：1＋（27－1）×2 ＝1＋26×2 ＝1＋52 ＝53 分母：3×27＝81 第27个数是。 故答案为：A 5．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。( ) 【答案】× 【分析】根据题图可知，每增加1个三角形小棒就增加2根，当搭n个三角形时，需要的小棒个数为3＋2（n－1）＝（2n＋1）根，据此解答即可。 【详解】用小棒搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用（2n＋1）根小棒，原题说法错误； 故答案为：× 6．、、、、…这列数越来越大，越来越接近1。( ) 【答案】√ 【分析】观察数列可知，由、、、、，这几个数从第二个数起，每个分数的分子是前一个数的分母，而分母都比分子多1，那么数列整体呈现出分数单位越来越小，分子越来越大的规律，因此越来越接近1；据此解答。 【详解】根据分析，、、、、…，这列数越来越大，越来越接近1，说法正确； 故答案为：√ 7．根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝99998000001。( ) 【答案】× 【分析】算式中两个因数都相同，且每个数位上的数都是9，通过观察发现，积前面几位9的个数比因数9的个数少一个，积写完几个9之后，就是数字8，接着是0，积中0的个数比因数9的个数少1个，积最后一位是数字1，据此解答。 【详解】根据99×99＝9801，999×999＝998001，9999×9999＝99980001，可以直接得出99999×99999＝9999800001，原题说法错误。 故答案为：× 8．按规律填数：，，，，( )，( )。 【答案】 【分析】根据前四个数字的特征，发现分子的大小是逐个加1，分母128÷2＝64，64÷2＝32，32÷2＝16，特点是前一个分母除以2变为后一个数的分母。据此解答。 【详解】16÷2＝8，8÷2＝4 4＋1＝5，5＋1＝6 则按规律填数：，，，，，。 9．如图，4根火柴可拼成一个正方形，7根火柴可拼成两个正方形……照这样的规律，拼100个正方形需要( )根火柴，1000根火柴最多可以拼成( )个正方形。 【答案】 301 333 【分析】观察图形可知： 拼1个正方形需要4根火柴，4＝3×1＋1； 拼2个正方形需要7根火柴，7＝3×2＋1； 拼3个正方形需要10根火柴，10＝3×3＋1； …… 规律：拼n个正方形需要（3n＋1）根火柴，据此规律解答。 【详解】规律：拼n个正方形需要（3n＋1）根火柴。 当n＝100时 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 3n＋1＝1000 解：3n＝1000－1 3n＝999 n＝999÷3 n＝333 照这样的规律，拼100个正方形需要（301）根火柴，1000根火柴最多可以拼成（333）个正方形。 10．如图，找规律，算一算，一个小正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】观察图形可知： 1个小正方体有6个面； 2个小正方体拼成长方体时，有2×（2－1）＝2个面重合，露出6×2－2＝10个面； 3个小正方体拼成长方体时，有2×（3－1）＝4个面重合，露出6×3－4＝14个面； …… n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，露出面的个数： 6n－2（n－1） ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）个 根据此规律，把n＝16代入式子中，求出当16个小正方体拼成长方体时露出面的个数，然后用拼成长方体的表面积除以面的个数，即可求出一个面的面积；再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个面的面积乘6，求出正方体的表面积。 【详解】规律：n个小正方体拼成长方体时，有2（n－1）个面重合，有（4n＋2）个面。 当n＝16时 4n＋2 ＝4×16＋2 ＝64＋2 ＝66（个） 一个面的面积：264÷66＝4（平方厘米） 正方体的表面积：4×6＝24（平方厘米） 一个小正方体的表面积是24平方厘米。 11．认真观察方框里的算式，能发现什么规律？         请写出下面算式的结果。 ( )。 【答案】规律； 【分析】观察可知，3比2大1，，4比3大1，， 观察可知规律：，算式中的，据此类推，计算即可得解。 【详解】规律是： 12．如图，聪聪将黑、白两种颜色的正方形自上而下一层层地排列下去，每层从左到右排列，第8层是( )色的正方形，8层共有( )个正方形。 【答案】 黑 64 【分析】自上而下一层层排列下去，奇数层排列的是白色的正方形，偶数层排列的黑色的正方形，据此确定第8层排列正方形的颜色；第一层有1个正方形，第2层有3个正方形，第3层有5个正方形，以此类推，下面一层均比它的上面一层增加2个正方形，也就是将（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）依次加起来，所得结果即为8层共有的正方形个数。 【详解】第8层是偶数层，因此第8层是黑色的正方形。 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（个） 因此8层共有64个正方形。 13．1＋3＋5＋7＋…＋47＝( )，＋＋＋＋＝( )。 【答案】 576 【分析】 从1开始，n个连续奇数的和等于奇数个数的平方； 由图可知，＋＋＋＋＋…这些分数不断加下去，总和就是，题目中算式的和就等于－，据此解答。 【详解】根据分析： 1＋3＋5＋7…＋47 ＝[（1＋47）÷2]2 ＝[48÷2] 2 ＝[24]2 ＝576 ＋＋＋＋ ＝－ ＝ 所以，1＋3＋5＋7…＋47＝576，＋＋＋＋＝。 14．探索规律。 将小棒按如下方式摆放。 (1)摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要( )根小棒，摆3个八边形需要( )根小棒。 (2)摆n个八边形需要( )根小棒。 【答案】(1) 15 22 (2)7n＋1 【分析】（1）根据图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，据此解答。 （2）根据图可知，后一个图形比前一个图形多7根小棒。 摆1个八边形需要8根小棒，可以写成：7×1＋1； 摆2个八边形需要15根小棒，可以写成：7×2＋1； 摆3个八边形需要22根小棒，可以写成：7×3＋1； ……摆n个八边形需要：（7n＋1）根小棒。 【详解】（1）根据分析可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒。 （2）根据分析可知，摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。 15．（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解； （3）1 【分析】（1）正方形表示“1”，先把正方形平均分成2份，一份是，剩下的也是；然后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；再把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；最后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是，据此在图中用阴影表示。 （2）计算，通过画图发现最后剩下的是，与算式中最后一个分数相同，那么用整个正方形“1”减去，即是阴影部分，也就是的和，这样计算更简便。 （3）如果在图中继续如上的操作，把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是…，会发现…的和越来越接近于整个正方形，即1。 【详解】（1）如图： （2）用1减去图形没有涂色部分的分数（与算式中最后一个分数相同），计算更简便。 计算过程如下： （3）如图： 如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于1。 真题训练 1．（24-25六年级上·吉林四平·期末）照这样接着画下去，第6个图形中有（    ）个黑色的小正方形。 A．6 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【分析】看图可知，第1个图形中有1个黑色的小正方形，第2个图形中有2个黑色的小正方形，第3个图形中有3个黑色的小正方形…由此可知，第几个图形中就有几个黑色的小正方形，据此分析。 【详解】根据分析，第6个图形中有6个黑色的小正方形。 故答案为：A 2．（24-25六年级上·四川广元·期末）摆一个正六边形需要6根小棒，如图，摆10个正六边形需要（    ）根小棒。 A．50 B．51 C．52 D．60 【答案】B 【分析】观察可知，摆一个正六边形需要（1＋1×5）根小棒，摆二个正六边形需要（1＋2×5）根小棒，摆三个正六边形需要（1＋3×5）根小棒摆n个正六边形需要（1＋5n）根小棒，把10代入计算即可得解。 【详解】1＋105 ＝1＋50 ＝51（根） 摆一个正六边形需要6根小棒，如图，摆10个正六边形需要51根小棒。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·广东河源·期末）福利院住有一位老战士，这位老战士曾经是一名通信兵，他回忆一次战役时，为保障通信，他需要躲避敌人，缓步移动至任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，下面图（    ）大致能表示老战士当时与营地距离的变化情况。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】折线统计图中，横轴表示时间，纵轴表示距离，折线越陡行驶速度越快，最开始从营地出发，然后到达任务地点，在任务地点停留一段时间检查线路，最后撒退回营地，老战士与营地的距离先是越来越远，然后不变，最后越来越近，据此解答。 【详解】 A．老战士快速移动至任务地点检查线路，然后去其它地方，距离营地越来越远，不符合； B．老战士在任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，不符合； C．老战士缓步移动至任务地点检查线路，然后去其它地方，距离营地越来越远，不符合； D．老战士缓步移动至任务地点检查线路，再迅速撒退回营地，距离营地越来越近，符合。 故答案为：D 4．（24-25六年级上·贵州黔东南·期末）如图，1张桌子可以围坐6人，3张桌子可以围坐14人，8张桌子可以坐（    ）人；58人坐（    ）张桌子。 A．48；14 B．34；14 C．16；48 D．14；16 【答案】B 【分析】观察图形可知，每增加1张桌子，就增加4人，1张桌子可以围6人，可以写成：4×1＋2； 2张桌子可以围10人，可以写成：4×2＋2； 3张桌子可以围14人，可以写成：4×3＋2； …… n张桌子可以围（4n＋2）人，由此可知，8张可以围成的人数；（人数－2）÷4，即可求出几张桌子。 【详解】4×8＋2 ＝32＋2 ＝34（人） （58－2）÷4 ＝56÷4 ＝14（张） 一张桌子可以围坐6人，三张桌子可以围坐14人，8张桌子可以坐34人；58人坐14张桌子。 故答案为：B 5．（24-25六年级上·河北沧州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列算式中，符合这一规律的是（    ）。 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．100＝36＋64 【答案】B 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49……＝，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项分析解答。 【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是“正方形数”，9和16不是“三角形数”，不符合题意； B．36＝15＋21；36＝62，是“正方形数”，15和21是“三角形数”，符合题意； C．49＝18＋31；49＝72，是“正方形数”，18和31不是“三角形数”，不符合题意； D．100＝36＋64；100＝102，是“正方形数”，36和64不是“三角形数”，不符合题意。 符合这一规律的是36＝15＋21。 故答案为：B 6．（24-25六年级上·浙江绍兴·期末）《庄子・天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”照此说法，第( )天取得的长度是尺。 【答案】5 【分析】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，那么第n天取得的长度是尺（n为正整数）。已知取得的长度是尺，而，所以n＝5，即第5天取得的长度是尺。 【详解】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，第n天取得的长度是尺（n为正整数）。 所以n＝5； 第5天取得的长度是尺。 7．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）如图，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是( )cm，( )个三角形组成的图形周长是81cm。 【答案】 7 79 【分析】如图所示的这种“首尾相接”的拼法中，每添加一个三角形（与已有图形共享一条边）时，周长只增加1 cm，则 1个三角形组成的图形周长是3cm， 2个三角形组成的图形周长是4cm， 3个三角形组成的图形周长是5cm， 4个三角形组成的图形周长是6cm， 5个三角形组成的图形周长是7cm， …… n个三角形组成的图形周长是（2＋n）cm。 【详解】根据分析可知：n个三角形组成的图形周长是（2＋n）cm， 所以，5 个三角形的周长是：  2＋5＝7（厘米）； 又因周长是 81 cm，则2 ＋ n ＝ 81，解得n＝81－2＝79， 所以，由边长为1cm的三角形组成新图形，5个三角形组成的图形周长是7cm，79个三角形组成的图形周长是81cm。 8．（24-25六年级上·吉林四平·期末）( )。 【答案】181 【分析】从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，据此分别数出1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19和17＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1中奇数的个数即可解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝＝10×10＝100 17＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝＝9×9＝81 所以1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋17＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝100＋81 ＝181 9．（24-25六年级上·山西长治·期末）用白色和黑色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有( )个。 【答案】 25 90 【分析】第1个图形：圆形总数1＝12个，黑色圆形数1，白色圆形数0。 第2个图形：圆形总数4＝22个，黑色圆形数2，白色圆形数4－2＝2个。 第3个图形：圆形总数9＝32个，黑色圆形数3，白色圆形数9－3＝6个。 第4个图形：圆形总数16＝42个，黑色圆形数4，白色圆形数16－4＝12个。 由此可推出规律：第n个图形中，圆形总数为n2，黑色圆形数为n，白色圆形数为n2－n。根据规律，第5个图形中，圆形总数为52＝25个。当黑色圆形数n＝10时，根据白色圆形数公式n2－n，可得白色圆形数为102－10＝100－10＝90个。 【详解】由分析可知： 第n个图形中，圆形总数为n2个，黑色圆形数为n，白色圆形数为（n2－n）个。 n＝5 52＝25（个） n＝10 102－10 ＝100－10 ＝90（个） 第5个图形中，共有25个圆形；当某一个图形中有10个黑色的圆形时，那么这个图形中白色的圆形有90个。 10．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）乐乐用小棒摆了一组有规律的图形，按照这样的规律，第5个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 【答案】 26 5n＋1/1＋5n 【分析】第1个图形的小棒数为（5×1＋1）；第2个图形的小棒数为（5×2＋1）；第3个图形的小棒数为（5×3＋1），所以第5个图形的小棒数为（5×5＋1），第n个图形的小棒数为（5×n＋1），据此解答。 【详解】5×5＋1 ＝25＋1 ＝26（根） 5×n＋1 ＝5n＋1（根） 即第5个图形需要26根小棒，第n个图形需要（5n＋1）根小棒。 11．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是( )，第四个数是( )。 【答案】 1 20 【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的任意一个数都等于该行上面一行相邻两个数的和，由此写出第7行的7个数，即可求得。 【详解】分析可知，第7行的数为1、6、15、20、15、6、1，则第一个数是1，第四个数是20。 12．（24-25六年级上·湖北孝感·期末）照这样的规律，第6个图形有( )个涂色小正方形，第个图形有( )个涂色小正方形。       【答案】 13 （n＋1）2－n2 【分析】根据题中给的规律，第几个图形的涂色数量，就是两个相邻的数的平方相减即可；第几个图形，第一个数就是几加1的平方，第二个数就是几的平方，即第n个图形的涂色小正方形的个数：（n＋1）2－n2，据此即可填空。 【详解】第6个图形： 72－62 ＝49－36 ＝13（个） 第6个图形有13个涂色小正方形，第n个图形有（n＋1）2－n2个涂色小正方形。 13．（24-25六年级上·河南焦作·期末）观察下面图形的规律，第9个框里有( )个点。 【答案】33 【分析】根据题图可知，每增加一个框就增加4个点，第n个框里有4（n－1）＋1＝（4n－3）个点，再将n＝9代入含字母的式子解答即可。 【详解】由分析可知：第n个框里有4（n－1）＋1＝（4n－3）个点，把n＝9代入4n－3，得： 4×9－3 ＝36－3 ＝33（个） 所以第9个框里有33个点。 14．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）用同样大小的黑白两色正方形摆图形，如图所示，按照这样的规律摆第7个图形需要( )个白色正方形，摆n个图形需要( )个黑色正方形。 【答案】 22 3n＋2 【分析】仔细观察图形可以发现，每增加一个图形，白色正方形增加3个，第1个图形有4个白色正方形，第2个图形有（4＋3）个白色正方形，第3个图形有（4＋3×2）个白色正方形……第7个图形有（4＋3×6）个白色正方形；第一个图形有5个黑色正方形，每增加1个图形，黑色正方形增加3个，摆n个图形，增加（n－1）个图形，即摆n个图形需要[5＋3×（n－1）]个黑色正方形。据此解答。 【详解】由分析可知：摆第7个图形需要白色正方形： 4＋3×6 ＝4＋18 ＝22（个） 摆n个图形需要黑色正方形： 5＋3×（n－1） ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）个 所以摆第7个图形需要22个白色正方形，摆n个图形需要（3n＋2）个黑色正方形。 15．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）下图是小明用火柴搭的“金鱼”，认真观察图形，思考下面的问题。 (1)照这样的规律摆下去，搭n条“金鱼”需要( )根火柴。 (2)当摆到第50根小棒时，小明已经搭好了( )条“金鱼”。 【答案】(1)6n＋2 (2) 【分析】（1）搭1条“金鱼”需8根火柴，搭2条“金鱼”需14根火柴，搭3条“金鱼”需20根火柴……，发现每增加1条“金鱼”，火柴增加6根，从中找出规律，并用含字母的式子表示规律。 （2）求50根小棒可以摆多少条“金鱼”，令6n＋2＝50，根据等式的性质求出方程的解即可。 【详解】（1）图①，搭1条“金鱼”需8根火柴，8＝1×6＋2； 图②，搭2条“金鱼”需14根火柴，14＝2×6＋2； 图③，搭3条“金鱼”需20根火柴，20＝3×6＋2； …… 照这样的规律摆下去，搭n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴。 （2）6n＋2＝50 解：6n＋2－2＝50－2 6n＝48 6n÷6＝48÷6 n＝8 当摆到第50根小棒时，小明已经搭好了（8）条“金鱼”。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $