精品解析：浙江省绍兴市新昌县城关中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年（下）八年级数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在的正方形网格中，4个涂黑的小正方形能组成轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不能组成轴对称图形，不合题意； B．不能组成轴对称图形，不合题意； C．能组成轴对称图形，符合题意； D．不能组成轴对称图形，不合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则不一定成立，反例：时，但，故A选项不符合题意； B． 由，则，故B选项不符合题意； C． 由，则，故C选项不符合题意； D．由，则，故D选项符合题意． 故选D． 3. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，数轴所表示的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解．关键是掌握实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 观察数轴上表示的解集，判断即可． 【详解】解：由数轴可以看出，两个解集公共部分为， ∴数轴所表示的不等式为， 故选：B． 5. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 6. 观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 中垂线 D. 角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图的作法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：线段是的角平分线． 故选：D． 7. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ） A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形. D. 不是等腰三角形的两个角不相等. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形. 故选A． 8. 如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 9. 如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 10. 如图，，为垂足，的中线的延长线交于点，．若，，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由直角三角形斜边中线的性质可得，，即；如图：过E作于G，即；再证明可得，利用三角形中位线的性质可得；然后说明，易证可得，即；运用勾股定理可得，利用等面积法可得，进而得到、、，最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，的中线的延长线交于点， ∴，即，， ∴， 如图：过E作于G，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. “的一半与3的和小于6”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，列出正确的不等式是解答本题的关键． 的一半为，与3的和为，小于6即，据此列不等式． 【详解】解：∵的一半与3的和小于6， ∴． 故答案为：． 12. 如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由三角形内角和定理以及等边对等角可得，再根据等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质可得、，易得，再根据直角三角形的性质可得，即，最后运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的面积为10，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与弦图，一元二次方程的解法，理解题意，求得小正方形的边长是解决本题的关键．如图，标记点G，H．设，则，根据列关于a的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，标记点G，H． 由题意知，， 设，则， 大正方形的面积为10， ， ， 整理得， 解得，（负值舍去）， ． 故答案为：． 14. 如图，某书架长，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚，每本数学书厚．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放______本数学书． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设数学书还可以摆x本，根据数学书的总厚度加上语文书的总厚度不超过书架的长建立不等式求解即可． 【详解】解：设数学书还可以摆x本， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为16， ∴数学书最多还可以摆16本， 故答案为：16． 15. 如图，等腰直角三角形中，，，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质．根据题意作图，可知点D可能在上方或下方，和为等边三角形，垂直平分，点A在上，求出和，即可求解． 【详解】解：如图，点D可能在上方或下方，连接交于点H， 由作图知和为等边三角形，， 垂直平分，即，， 又， 点A在上， ，， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 16. 如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点H，构造长方形．设，则，由折叠得，，，证明，推出，，设，可得，由长方形的性质得，，最后用勾股定理解即可求解． 【详解】解：，， ， 如图，作于点H， ， 四边形是长方形． ， ， 设，则， 由折叠知，，，， ，，， ， ，， 设，则， ， ， 四边形是长方形， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等，有一定难度，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 数轴表示为： 【解析】 【分析】此题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法和利用数轴表示解集是解题关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，然后利用数轴表示解集即可． 【详解】解： ， 解得， ∴原不等式的解集为 18. 数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 【答案】 解：都可行． 证明的小协说法： ∵，， ． 在和中 ， ， ， ， ∴． 证明小助的说法： 如图：连接． ∵，， ． 在和中 ． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，再根据小协和小助所说的内容进行分析，分别证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质以及线段的和差即可证明结论． 【详解】略 19. 如图，中，，，分别是的中线和角平分线． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理． （1）由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合得出，再根据是的角平分线，即可求解； （2）用勾股定理解求出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等腰三角形． ∵是的中线， ∴也是的高线，即． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）知， 在中，由勾股定理得：， ∵是的中线， ∴． 20. 如图，在和中，，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）7 【解析】 【分析】根据同角的余角相等，可得，再利用角角边证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 21. 下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， （1）求证：射线是的平分线； （2）若点到射线的距离为，求的面积． 【答案】（1）见下方解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定以及点到直线的距离和三角形面积公式等知识点． （1）关键在于利用平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换的思想来证明．利用三角形中等边对等角，再利用同位角相等，两直线平行，再利用平行证明内错角相等，等等量代换即可； （2）关键是理解角平分线的性质，将点到的距离转化为中边上的高． 【小问1详解】 由题可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． 【小问2详解】 过点作于点，于点, 由题可知， 由（1）可知射线是的平分线， ∴， ∴， ， ． 故答案为：． 22. 浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： （1）求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． （2）学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）甲品牌篮球的单价是90元，乙品牌篮球的单价是70元． （2）学校共有三种购买方案：方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据题意正确列方程（组）． （1）设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个，根据购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元． 根据题意，得， 解得， 答：甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是90元，70元． 【小问2详解】 解：设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个． 根据题意，得， 解得， a为整数， ， 共有三种方案， 方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 23. 定义：如果一个三角形的三边长分别为，，，且满足，那么称这个三角形为优美三角形． （1）判断等边三角形是不是优美三角形，并说明理由． （2）如图，在中，，，在上取一点，使得，连接． 求证：是优美三角形． 【答案】（1） 等边三角形是优美三角形，理由如下： 等边三角形中，则， 故等边三角形是优美三角形； （2） 证明：过点作于点， 设 ∴由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是优美三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的定义，解题的关键是正确理解新定义，运用勾股定理建立方程求解． （1）根据等边三角形得到，再结合优美三角形的定义即可求解； （2）过点作于点，设，由勾股定理得，则，求出，再由勾股定理求出，然后利用新定义证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，，，垂足为点．是边上的一个动点，连接，将沿着折叠至，线段与直线相交于点． （1）求的长； （2）当时，求的度数及的长； （3）点在边上移动时，若为直角三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可； （2）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，易得，则，即；再说明可得；再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）分和两种情况，分别画出图形，再运用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，，，垂足为点． ∴，， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠至，线段与直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图：当时，此时点H和点E重合，即，， ∵将沿着折叠至，线段与直线相交于点， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：． ∴． 如图：当时，此时点H和点D重合，即， ∴． 综上，的长2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年（下）八年级数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在的正方形网格中，4个涂黑的小正方形能组成轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴所表示的不等式为（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 中垂线 D. 角平分线 7. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ） A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形. D. 不是等腰三角形的两个角不相等. 8. 如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，，为垂足，的中线的延长线交于点，．若，，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. “的一半与3的和小于6”用不等式表示为______． 12. 如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为______． 13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的面积为10，，则的长为______． 14. 如图，某书架长，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚，每本数学书厚．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放______本数学书． 15. 如图，等腰直角三角形中，，，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结．若，则的值为______． 16. 如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式，并把解集表示在数轴上． 18. 数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 19. 如图，中，，，分别是的中线和角平分线． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 20. 如图，在和中，，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， （1）求证：射线是的平分线； （2）若点到射线的距离为，求的面积． 22. 浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： （1）求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． （2）学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 23. 定义：如果一个三角形的三边长分别为，，，且满足，那么称这个三角形为优美三角形． （1）判断等边三角形是不是优美三角形，并说明理由． （2）如图，在中，，，在上取一点，使得，连接． 求证：是优美三角形． 24. 如图，在中，，，，，垂足为点．是边上的一个动点，连接，将沿着折叠至，线段与直线相交于点． （1）求的长； （2）当时，求的度数及的长； （3）点在边上移动时，若为直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $