3.7切线长定理（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.7切线长定理 题型一 应用切线长定理求半径 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，于C，，，，与直线都相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，则它的内切圆的半径等于 ． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 题型二 应用切线长定理求线段长 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 题型三 应用切线长定理求三角形周长 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 4．（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 5．（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ． 题型四 应用切线长定理求三角形面积 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积． 题型一 应用切线长定理的综合求解问题 1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ． 2．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，，线段、切于，点D在上．若，则 ． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： (1)的度数； (2)的长； (3)的半径． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 题型二 应用切线长定理进行求证 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 2．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，的内切圆切三边于点D，E，F，过F作的平行线交的延长线于点G，求证：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，连接交于点D． 求证： (1)； (2)． 5．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知为斜边上的高，以为直径的圆交于E点，交于F点，为的切线交于G点． (1)求证：G为的中点； (2)已知，，求的值． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 7．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 题型一 切线长定理的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． (1)关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 (2)如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． (3)如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 2．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7切线长定理 题型一 应用切线长定理求半径 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，于C，，，，与直线都相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理的应用，是基础知识要熟练掌握．设与的切点分别为D、F、E；由切线长定理可得：，，；可用分别表示出的长，根据，得出的表达式；连接；易证得四边形是正方形，即，由此可求出的半径． 【详解】解：设与的切点分别为D、F、E；连接， 、是的切线， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形，即， 设，则， 由切线长定理，得， 则，，即，故的半径为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径 ． 【答案】1 【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解． 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是正方形， 设半径为r，， ，，， ， ，， ， ， 的内切圆的半径为1； 故答案为：1． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，则它的内切圆的半径等于 ． 【答案】 【分析】依题意，分别标识出切点，连接，如下图，根据切线长定理得出，，，，求出四边形是正方形，得出，得出方程，求出即可． 【详解】解：设与的切点分别是，连接，   ∵是的内切圆， ∴，，，． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，正方形性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆与内心的应用，关键是能根据题意求出关于内切圆半径的等式． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 【答案】1 【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的性质与判定，由勾股定理可得，证明四边形是正方形，设，则，由切线长定理可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，，是的内切圆，且与分别切于点D，点E，点F， 由勾股定理得； 由切线的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设，则， 由切线长定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1． 题型二 应用切线长定理求线段长 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长． 【详解】解：∵、为⊙的切线， ∴， ∵、为⊙的切线， ∴ ， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键． 由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 【详解】解：∵分别切于点A，B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键， 利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 题型三 应用切线长定理求三角形周长 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D， ∴， ∵的周长：，，， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 5．（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，含有角的直角三角形的性质、勾股定理．求出，再求出，解求出及，再根据切线的性质即可求出的周长． 【详解】解：如图， 设的内切圆与三边切于、、， 由切线长定理可知． 连接、、，则． ∵， ． 由题可知、、分别是三角形三个角的角平分线， ， ， ， ∴的周长为 ． 故答案为：． 题型四 应用切线长定理求三角形面积 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数等，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点，可得，即得到，由切线的性质和切线长定理得，，进而可得，即得到，即可得，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ， ∵， ∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为 【答案】30 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，准确做出辅助线求解是解题的关键． 连接，，，，，，，，根据已知条件求出，再计算4个三角形面积即可； 【详解】如图，连接，，，，，，，， 圆与四边形各边相切， ，，，， ， ，，， ， 又圆与四边形各边相切， ，，，， 圆的半径为2， ， ． 故答案． 题型一 应用切线长定理的综合求解问题 1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解答本题的关键． （1）根据切线长定理，由，，分别切于，，点得，，，然后三角形周长的定义得到的周长，然后用等线段代换后得到的周长，即可解答； （2）由三角形内角和定理得到，则，连接，根据角平分线的判定得到平分，平分，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1），，分别切于，，点， ，，， 的周长 ； （2）∵， ∴， ∴ ， 连接， ∵，，分别切于点， ∴， ∵， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 2．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，，线段、切于，点D在上．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，圆周角定理，特殊角三角函数值，掌握相关知识是解题的关键． 连接，，根据切线长定理得到，从而证得，得到，根据圆周角定理得到，因此，根据切线的性质可得，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵线段、切于， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：1 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，．点D在边上，直线交于点E，直线交于点F． (1)当线段的长为何值时，四边形为菱形？ (2)若直线，为的外接圆的两条切线，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先证明出，证明出，得到，设，，表示出，然后得到当时，四边形为菱形，进而求解即可； （2）如图所示，过点P作于点G，由切线长定理得到，，由三线合一得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为菱形． 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴当时，四边形为菱形； （2）解：如图所示，过点P作于点G ∵直线，为的外接圆的两条切线 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，菱形的判定，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求： (1)的度数； (2)的长； (3)的半径． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据切线长定理得 ，，由可知，则，题目可求； （2）在利用勾股定理可求得长，根据切线长定理得，，则可求； （3）由与相切于点，得，，代入数据可求长，即的半径． 【详解】（1）解：根据切线长定理得，； ， ， ， ； （2）解：由（1）知，． ∵，， 由勾股定理得到：， 根据切线长定理得，， ； （3）解：连接， 与相切于点， ， ， 即． ． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 题型二 应用切线长定理进行求证 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 2．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【详解】证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，的内切圆切三边于点D，E，F，过F作的平行线交的延长线于点G，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质，连接，过作的平行线交、的延长线于点、，由切线长定理得出，，，证明得出，同理可得：，从而得出，再证明，，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，连接，过作的平行线交、的延长线于点、， ， ∵的内切圆切三边于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，连接交于点D． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，根据三线合一得出，根据是的直径，得出，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，进而得出，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 5．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知为斜边上的高，以为直径的圆交于E点，交于F点，为的切线交于G点． (1)求证：G为的中点； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据切线长定理得到，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）首先求出，，然后求出，得到，，然后代数求出，最后代入求解即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵为斜边上的高 ∴ ∵以为直径的圆交于E点 ∴是的切线 ∵为的切线 ∴， ∴ ∵为直径 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴G为的中点； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴（负值舍去） ∴． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角为直角，切线长定理，解直角三角形，等角对等边性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线； （2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，过点A作射线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作，垂足为点， 设， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵、、为的切线， ∴，， ∴， ∵射线，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在中，，经过点的与斜边相切于点． (1)如图①，当点在上时，试说明； (2)如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理； （1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证； （2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围． 【详解】（1）当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切． 与边相切于点， ， ， ， ． 即； （2）在中，，，， 如图，连接、，当点在上时，为的半径， ，且点在上， 与相切， 与边相切于点， ， ∴， 设，则，， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 在中，，， ． ，， 垂直平分， 根据面积法得：，则符合条件的长大于． 由题意可知，当点与点重合时，最长， 综上，当点在外时，． 题型一 切线长定理的综合运用 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． (1)关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 (2)如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． (3)如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)或4或8 【分析】（1）根据定义的判断和推理得出①②； （2）根据画法画出图形，证明，再证；再由全等三角形性质得出、，根据“对分四边形”的定义即可判定； （3）分为，，三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”， 因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是①②； （2）解：补全图形如下： 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“对分四边形”； （3）解：①如图3， 当，，是的切线时，由对称性可知：此时，都是的切线． 连接并延长交于E，连接，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ②如图4， 当，，是的切线时， 连接并延长交于F，连接并延长交于点E， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． ③如图5， 当，，是的切线时， 由②可得∶，， ∴， ∴， 综上所述：的值为 或或8． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质,解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解． 2．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）有切线连半径，在圆中有切线证角相等，通常通过互余关系证明，所以连接并延长，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）要证是中点，则需证，先想证全等，通过观察发现，除了之外，并无等线段，不好证明，则可通过相似转化等比例线段去证，先证得到，再证得到，所以最后证出即可得证． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， 与切于点， ，即， 是的直径， ， ∴， ∵， ， ∴． （2）证明：如图，连接、． 由（1）结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即①， ∵，是圆的切线， ， 又∵， ∴， ∴，即②， 同理可得， ∴，， 、是过圆外一点作的圆的两条切线， ， ，即③， 由式①、②、③即知， 是线段中点． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，本题难点在于第二问如何通过多个相似去转化，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $