专题01 空间向量与立体几何（期末真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 5大高频考点概览 考点01 空间向量运算及空间向量基本定理 考点02 空间向量及其运算的坐标表示 考点03 利用空间向量求解平行、垂直及空间距离问题 考点04 利用空间向量求解空间角问题 考点05 利用空间向量求解动点轨迹、球及其截面等问题 地 城 考点01 空间向量运算及其基本定理 一、单选题 1．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在平行六面体中，与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 9．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，G为的重心，E，F，H分别为棱PA，AB，AC的中点，，，，下列叙述正确的是（    ） A． B．在面PAB上的投影向量为 C．异面直线PH与EF所成的角为 D．点G到平面PAB的距离为 二、非选择题 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 11．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 地 城 考点02 空间向量运算的坐标表示 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知，，且.则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)若向量，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 二、多选题 9．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知平面的一个法向量为，则（    ） A． B．点到平面的距离为1 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、非选择题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 地 城 考点03 利用空间向量求解平行、垂直及空间距离问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B．10 C． D．100 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 二、多选题 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在上，且，则下列命题正确的为（    ） A． B．当的长度最小时， C．平面 D．存在使得与平面的夹角为 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)在棱长为1的正方体中，以D为原点，、、所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，若直线上的点P到直线的距离最短，则P点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为 ． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)如图，已知棱长为1的正方体. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)如图，四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为等腰梯形，且，点是棱的中点，过点，，的平面交棱于点． (1)证明：平面； (2)求的值． 13．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)如图，在三棱锥中，是以AB为斜边的等腰直角三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.分别是的中点，， (1)证明：平面平面 (2)求点E到平面的距离; (3)求平面与平面夹角的余弦值. 地 城 考点04 利用空间向量求解空间角问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 三、非选择题 5．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)如图，四棱锥的底面是正方形，，平面平面，分别为的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，． (1)当时，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，三棱柱中，，，，点P是棱的中点，连接BP，，，． (1)（ⅰ）求的长；    （ⅱ）判断直线和平面BCP是否垂直，并证明你的结论． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)如图，在四面体中，面ABC，. (1)求证：面面PBC； (2)若，于D，求平面和平面夹角的余弦值. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在四棱锥中，底面为矩形，平面.点分别在上，且分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)当，求平面与平面的夹角. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． (1)判断是否为棱的中点，并说明理由； (2)求平面与底面所成角的余弦值． 13．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 14．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图2． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 15．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 地 城 考点05 利用空间向量求解动点轨迹、球及其截面等问题 一、多选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，球的两个截面圆和圆的圆心分别为，半径均为2，且圆和圆所在平面分别与轴和轴垂直．若动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点的起始点分别为，，点按照图中指针方向运动，运动时间为（单位：秒），则（    ） A．球的表面积为 B．当时， C．存在时刻，使得点在球面上相遇 D．的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，四面体由矩形ABCD沿对角线AC折叠而成，其中，，当向量和所成的角为45°时，下列结论正确的有（   ）    A．折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于 B．棱BD的长度为4 C．平面ABD D．四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 4．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（    ） A．Ω的面积为 B．平面与Ω所在平面平行 C．当时，存在点P，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（    ） A．平面OAB与平面ABC夹角的余弦值为 B．若点P满足，则的最小值为 C．在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为 D．点Q在内，且，则点Q轨迹的长度为 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点在底面四边形内（包括边界）移动，且，则（    ）    A． B．点到平面的距离为 C．点的轨迹长度为 D．为线段上的点，则的最小值为 二、非选择题 7．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则的值为 . 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在棱长为2的正方体中，为平面内一动点，与所成的角为，则动点所在曲线的焦距为 . 9．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. (1)证明：； (2)已知向量，求的坐标表示； (3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 5大高频考点概览 考点01 空间向量运算及空间向量基本定理 考点02 空间向量及其运算的坐标表示 考点03 利用空间向量求解平行、垂直及空间距离问题 考点04 利用空间向量求解空间角问题 考点05 利用空间向量求解动点轨迹、球及其截面等问题 地 城 考点01 空间向量运算及其基本定理 一、单选题 1．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算即可求解； 【详解】由于底面为等边三角形，所以为其重心， 所以, 所以,故选：C 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加减法的运算法则即可求解. 【详解】,故选：C 3．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】易知.故选：B 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在平行六面体中，与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求解. 【详解】 ，故选：D 5．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，则， 因为点在上，且，则，因为，故选：B. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】，则 ． 故选：A. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出，再对已知式子化简可得，，从而可得点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，进而可求出的最大值. 【详解】因为，，且两两所成的角均为60°， 所以，．由，得，所以，由，得，所以，所以，因此点D，E分别在以AB，AC为直径的球面上，两个球的半径分别为，，设点，分别是AB，AC的中点，则，所以DE的最大值为，故选：A． 二、多选题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误.故选：AC 9．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，G为的重心，E，F，H分别为棱PA，AB，AC的中点，，，，下列叙述正确的是（    ） A． B．在面PAB上的投影向量为 C．异面直线PH与EF所成的角为 D．点G到平面PAB的距离为 【答案】BD 【分析】对于A：根据重心的性质结合空间向量的线性运算求解；对于B：可证平面PAB，即可得结果；对于C：分析可知异面直线PH与EF所成的角也就是BP与PH成的角，结合垂直关系分析判断；对于D：根据垂直关系可知点G到平面PAB的距离为点C到平面PAB的距离，进而分析求解. 【详解】对于A，因为G为的重心，则，可得，整理可得，故A错误； 对于B，因为，，，平面PAB，可知平面PAB，所以在平面PAB上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为E，F分别为棱PA，AB的中点，，所以异面直线PH与EF所成的角也就是BP与PH成的角，又因为，，，平面PAC， 可知平面PAC，且平面PAC，则，所以异面直线PH与EF所成的角为，故C错误； 对于D，因为平面PAB，则就是C到平面PAB的距离，，又因为C，F，G共线，G是的重心，，所以点G到平面PAB的距离为点C到平面PAB的距离的，故D正确.故选：BD. 二、非选择题 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 【答案】/ 【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值． 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【分析】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在空间四边形OABC中，，且， 所以. 地 城 考点02 空间向量运算的坐标表示 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知，，且.则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算作答. 【详解】，，且，，解得.故选：A. 2．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量坐标的加法运算可求的坐标，结合模长公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∴.故选：C. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是.故选：D. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】因为，，所以，，， 所以与的夹角的余弦值是，故选：B 5．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)若向量，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算律计算即得. 【详解】由，，得，而，所以. 故选：B 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知向量，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以，解得：故选：B. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ，则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ，则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ，则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ，则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，所以向量，，所以， 所以.故选：B. 二、多选题 9．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 10．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知平面的一个法向量为，则（    ） A． B．点到平面的距离为1 C．向量在向量上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】由可得选项A正确；利用点到平面的距离公式可得选项B正确；根据投影向量的概念计算可得选项C错误；利用空间向量计算线面所成角的正弦值可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，故，解得，故A正确. B.点到平面的距离为，故B正确. C. 向量在向量上的投影向量为：，故C错误. D. 设直线与平面所成角的为，则，故D正确. 故选：ABD. 三、非选择题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ，.故答案为： 地 城 考点03 利用空间向量求解平行、垂直及空间距离问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B．10 C． D．100 【答案】B 【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求. 【详解】由题意得，则，故选：B. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】依题意，，所以.故选：A 二、多选题 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在上，且，则下列命题正确的为（    ） A． B．当的长度最小时， C．平面 D．存在使得与平面的夹角为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项分析计算判断. 【详解】在边长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 令，，，则，， 对于A，，，不成立，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，此时，B正确； 对于C，平面的法向量，，而平面，则平面，C正确； 对于D，平面的法向量，令直线与平面的夹角为， 由，得，而，解得，此时，因此存在使得与平面的夹角为，D正确.故选：BCD 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)在棱长为1的正方体中，以D为原点，、、所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，若直线上的点P到直线的距离最短，则P点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设，利用坐标运算求出在上的投影，利用勾股定理由表示出点P到直线的距离，再由距离最短，得到的值，进而求得P点坐标. 【详解】以D为原点、、所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，    正方体的棱长为1，则，， 设，则，即， ，在上的投影为，点P到直线的距离为： ， 当时，点P到直线的距离最短，所以点P的坐标为故选：C. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，过作交于，利用几何关系可得在上，即可求解. 【详解】连接，易知面，又面，所以， 因为为侧面内的动点，且，，所以，即点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，过作交于，易知面，因为，所以，又，，所以，，故在上，所以当与重合时，最小，又，所以最小值为， 故选：B. 三、非选择题 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式计算. 【详解】，由点到平面的距离公式，可知． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】易得点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧．然后以点D为原点建立空间直角坐标系，设，得到，由，得到，利用向量的模求解. 【详解】点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧． 以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 设，则．因为，所以，所以，所以．当时，最小，最小值为．故答案为： 8．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以，所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值，所以的取值范围是. 故答案为：. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）连接,由于，分别是，的中点.则,得到四边形为平行四边形,再用平行四边形性质得到线线平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标，计算平面的法向量，以及，然后利用公式计算即可. 【详解】（1）如图，连接,由于，分别是，的中点. 则,则四边形为平行四边形， ,平面,平面,则平面. （2）如图，可建空间直角坐标系，则 ,, 设平面法向量为，则，即，解得，故. 根据点面距离公式，则点到平面的距离. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)如图，已知棱长为1的正方体. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用正方体的性质建立空间直角坐标系，找到直线的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量积可得两向量垂直，进而可得平面. （2）在空间直角坐标系中计算求得平面的法向量，求得平面的法向量与平面的法向量平行，可得平面平面. （3）将两平面之间的距离转化为点到平面的距离，利用距离公式可求得. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，则， 所以. 设平面的一个法向量为，则即取. 所以，即.又因为平面，所以平面. （2）由（1）得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则即取.故，而点平面,所以平面平面. （3）由（2）得平面平面，所以平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，平面的一个法向量为. 所以到平面的距离为，即平面与平面的距离为. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解； （3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，    所以. 又因为平面平面， 平面，所以面； （2） 因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，， 设平面的法向量为，由，得，， 点到平面的距离 （3）设， 所以点到面的距离为定值 . ，解得：或. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)如图，四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为等腰梯形，且，点是棱的中点，过点，，的平面交棱于点． (1)证明：平面； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用等腰梯形性质，结合线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，结合四点共面的向量定理计算即可. 【详解】（1）因为底面等腰梯形，且，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，，取中点，连接，则. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为，，为中点，为中点，所以. 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ,且为等边三角形，可求得. 则，，， 那么. 设，所以设. 又因为点是棱的中点，设，则. 因为，，，四点共面，所以，，共面. ，，. 设存在实数，，使得，则可得方程组： 解得,, 所以，则，. 所以. 13．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)如图，在三棱锥中，是以AB为斜边的等腰直角三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.分别是的中点，， (1)证明：平面平面 (2)求点E到平面的距离; (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系利用点到平面距离的向量求法计算可得结果； （3）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法即可求出. 【详解】（1）因此是以AB为斜边的等腰直角三角形，且，可得， 又是以AC为斜边的等腰直角三角形，， 在中，，，，，即， 又，，平面，因此平面，平面， 可得平面平面； （2）取AC中点O，连接PO，FO，由（1）可知平面平面， 又，平面平面，平面ABC，，， 所以，以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得，，，，，则， 设平面的法向量为，因此，令，则，所以， 又，所以到平面的距离为； （3）易知，,，，设平面的法向量为， 则，令，则，所以设平面与平面的夹角为， 可得 地 城 考点04 利用空间向量求解空间角问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】设与的夹角为，所以. 则与的夹角的余弦值为.故选：A. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【详解】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.  由坐标可得. .  先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 二、多选题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设，由E为的中点可得，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，，设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取，，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确.故选：AC. 三、非选择题 5．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)如图，四棱锥的底面是正方形，，平面平面，分别为的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1) 取中点,证明四边形为平行四边形，所以即可； （2）取中点，连接则，建立空间直角坐标系，分别找出平面与平面的法向量，利用公式求解. 【详解】（1）如图，取中点,连接, 故,又,故, 所以四边形为平行四边形，所以, 又平面，平面，所以平面. （2）如图： 因为，取中点，连接则， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，如图，建立空间直角坐标系， 则, 取平面的一个法向量， 设平面的法向量， 故，故取， ，故平面与平面的夹角的余弦值为. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，． (1)当时，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在实数，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求线面角； （2）计算平面的法向量，利用射影的性质得到，然后列方程，解方程无解，则不存在. 【详解】（1）解：由题易得直线，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，，，，．设平面的法向量为， 所以即得，取，则， 所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2）设的重心为，则，，，， 所以，，，． 设平面的法向量为， 所以即取，则，，即， 假设在平面内的射影恰好为的重心，则， 所以，无解，故不存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，三棱柱中，，，，点P是棱的中点，连接BP，，，． (1)（ⅰ）求的长；     （ⅱ）判断直线和平面BCP是否垂直，并证明你的结论． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）直线平面BCP，证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）由题意求出结合勾股定理得，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）（ⅰ）由题设，，，， 所以为等边三角形，，所以，所以为等边三角形， 在中，由余弦定理，得，故， 在中，由余弦定理，得，所以． （ⅱ）直线平面BCP． 证明如下：在中，． 由可得，由得． 又，所以．又，平面BCP， 所以直线平面BCP． （2）由（ⅱ）知直线平面BCP，又平面，所以平面平面BCP． 过点P作平面的垂线PD，则，PB，PD两两垂直， 故以点P为原点，，PB，PD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则点，，，， 所以，，． 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，取，则，，则． 同理，即，取，则，则， 所以，即平面与平面夹角的余弦值是． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一得到结论； （2）证明出⊥，由正切值求出余弦值，结合余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到⊥，得到线面垂直，进而证明出⊥平面，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 因为点为线段的中点，所以且， 因为，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，由三线合一得； （2）由（1）得，又因为，所以为等边三角形， 故，因为，，即⊥， 因为，所以直线与所成角的正切值为，即，故， 又，解得， 设，则，在中，由余弦定理得， 即，解得，故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 取中点，连接，取中点，连接，则⊥， 因为平面，所以⊥，由三线合一得⊥， 因为平面，，所以⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则， 令得，，故，设直线与平面所成角大小为， 则. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，表示出、的坐标，根据空间向量法得到，即可得证. （2）利用基本不等式求出三棱锥的体积的最大值，从而求出，再求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ，，所以； （2）由（1）知，， 三棱锥的体积，当且仅当，即时取等号， 因此三棱锥的体积取得最大值时，， ，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 因此，所以平面与平面夹角的余弦值为. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)如图，在四面体中，面ABC，. (1)求证：面面PBC； (2)若，于D，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系的坐标表示求点的坐标，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1），， 面ABC，，面， 面PAC，面面PBC. （2）由题意知，，，则. 以C为坐标原点，为x轴，为轴，过点垂直于底面的线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，设，则， ，， 设平面DAC的法向量为，则， 令，则，， 同理平面的法向量为， 设平面和平面夹角为，则， 平面和平面夹角的余弦值为. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在四棱锥中，底面为矩形，平面.点分别在上，且分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)当，求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，则， 由底面为矩形，得，平面， 于是平面，而平面，则，又，， 平面，因此平面，而平面， 则，同理，又平面，所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， 由（1）知平面的法向量为，， 设平面的法向量，则，令，得 ，所以平面与平面的夹角为. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． (1)判断是否为棱的中点，并说明理由； (2)求平面与底面所成角的余弦值． 【答案】(1)是棱的中点，理由见解析. (2) 【分析】（1）由题意平面PBC，求得体积关系：，即可得出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量和底面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，， 因为，所以，平面， 所以平面，因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以. 因为，所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以，所以为棱的中点. （2）因为平面，平面ABCD， 所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，，， 底面的法向量为，设平面的法向量为， 则，即，取，，得. 设平面与底面所成角为，所以， 平面与底面所成角的余弦值为. 13．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：取的中点，连接，通过平面，证明，进而说明平面，即可求证；法二：由空间向量的数量积为0，即可求证； （2）建系，由二面角的向量法即可求解； 【详解】（1）证明：（方法一）取的中点，连接. 由题意得平面平面， 所以. 因为平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以 ， 则，所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以. （方法二）. 设.由题可知， 则， 所以. （2）过点作的平行线，交于点.因为平面，且平面，所以.又因为，所以两两互相垂直，故以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 则. 设平面的法向量为，则即 则，令，则，故. 设平面的法向量为，则即则，令，则，故.设二面角的平面角为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 14．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图2． (1)证明：． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）如图，证明四边形为菱形，进而，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）在图1中，过分别作，垂足分别为， 则，连接，得， 所以四边形为菱形，连接，交于点，则. 在图2中，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）知，为二面角所成的平面角，所以， 过作，建立如图空间直角坐标系， 则， 得， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，，令，得， 所以，则， 又平面和平面的夹角为锐角，所以平面和平面的夹角的余弦值为. 15．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，与相交于点，运用菱形性质得到，再结合三线合一得到，即可证明平面，再用线面垂直性质可得结论； （2）由（1）找出为二面角的平面角，再用三角形性质可解； （3）找出线面角，或者运用空间向量法计算即可. 【详解】（1）证明：如图连接，与相交于点，则， 且点为的中点.由题设得，连接，则， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，即. （2）由（1）知为二面角的平面角 因为，且， 得，则，则. （3）由， ， 得， 则，由（1）知平面.则平面. 如图，设与相交于点，连接，则即为所求线面角. 易知为正的外心，亦为其重心，则， 又，则. 【另解】（3）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 由（2）知，且，则）. 设为平面的法向量，则得取. ， 则.设直线与平面所成角为，则. 地 城 考点05 利用空间向量求解动点轨迹、球及其截面等问题 一、多选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)如图，球的两个截面圆和圆的圆心分别为，半径均为2，且圆和圆所在平面分别与轴和轴垂直．若动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点的起始点分别为，，点按照图中指针方向运动，运动时间为（单位：秒），则（    ） A．球的表面积为 B．当时， C．存在时刻，使得点在球面上相遇 D．的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒 【答案】ABD 【分析】求出球O的半径，由球的表面积公式可判断A；由题意，写出运动秒后两点的坐标，求出，结合二次函数性质可判断BCD. 【详解】对于A，设球O的半径为，由题意到圆面和圆面的距离为， 所以，所以球的表面积为，故A正确； 对于B，由题意，，，，，因为动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，设两点运动的角速度为，所以，解得：， 所以两点分别从同时出发，按箭头方向沿圆周以每秒弧度的角速度运动， 运动秒后，，，， ， 当时，，所以，故B正确； 对于C，令，所以，则， 当时，，所以不存在时刻，使得点在球面上相遇，故C错误； 对于D，当时，，，或，，两个时刻的时间差为8秒，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过空间直角坐标系，结合圆中的知识得出秒后的坐标，进而求出，进而判断各选项. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)如图，四面体由矩形ABCD沿对角线AC折叠而成，其中，，当向量和所成的角为45°时，下列结论正确的有（   ）    A．折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于 B．棱BD的长度为4 C．平面ABD D．四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是 【答案】ACD 【分析】根据几何体特征以及矩形的边长得到球心的位置和半径可知A正确.由向量数量积运算可得可知B不正确.由勾股定理可知，再由线面垂直判定定理可知C正确.利用等积法可算得内切球半径可知D正确. 【详解】对于A，在四面体中，，，，， 外接球的球心在AC的中点处，且半径，所以表面积为，A正确； 对于B，因为， 又因为，所成的角为45°，所以，解得，B不正确； 对于C，由勾股定理，得，又，所以，， 又，所以平面ABD，C正确； 对于D，由勾股定理，得，，又，， 所以四面体的四个面都是直角三角形， 易得， 四面体的表面积， 设内切球的半径为r，所以由等积法可得，解得，D正确. 故选：ACD. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 【答案】ABD 【分析】求出三棱锥体积判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点Q的轨迹判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出点到平面的距离，利用球的截面性质求解判断D. 【详解】对于A，由，得的面积为定值， 由平面平面，得三棱锥的高为定值2，，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    设平面的法向量为，，则， 令，得，设，，，，则， 由平面，得， 即点的轨迹方程为，令，得；令，得.又点在底面内， 因此点的轨迹长度即为两点间的距离，B正确； 对于C，若存在平面，则，由， 得，，因此不存在平面，C错误； 对于D，由平面，得点到平面的距离为定值，而，则，而，则该球的半径，截面圆的半径满足，则截面面积的取值范围为，D正确.故选：ABD 4．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（    ） A．Ω的面积为 B．平面与Ω所在平面平行 C．当时，存在点P，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，四边形为动点P的轨迹Ω，求得面积判断A；连接，可证明平面平面，从而可判断B；以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，转化为是否有解问题处理，求解可判断C；确定的位置，进而可判断D. 【详解】因为，所以在确定的平面内，又， 取的中点，连接，则四边形为动点P的轨迹Ω， 因为长方体中，，， 所以，，进而可求得等腰梯形的高， 所以梯形的面积为，故A正确； 连接，因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，又，平面， 所以平面平面，又平面平面， 所以平面与Ω所在平面不平行，故B错误； 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 当，则， 所以， 假设，则，即，解得， 所以当时，存在点P，使得，故C正确； 当时，点在上，则时点到平面的距离为定值，又三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：ACD. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（    ） A．平面OAB与平面ABC夹角的余弦值为 B．若点P满足，则的最小值为 C．在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为 D．点Q在内，且，则点Q轨迹的长度为 【答案】ABC 【分析】作出二面角的平面角，利用正四面体的性质，求二面角的余弦，判断A的真假；先确定点在平面上，再根据点到平面的距离可求的最小值，可判断B的真假；根据正四面体的外接球、内切球及正四面体的体积的关系，可判断C的真假；确定点的轨迹，可求点Q轨迹的长度，判断D的真假. 【详解】如图：    取中点，连接，，作平面，垂足为. 由正四面体的概念可得：，，为底面的中心. 又因为正四面体的棱长为3，所以，. 对A：由题意，平面OAB与平面ABC所成二面角的平面角为， 在中，，故A正确； 对B：因为点P满足，所以在平面上， 所以的最小值为：.故B正确； 对C：正四面体内切球半径为：， 假设该球的内接正四面体棱长为，则新正四面体外接球半径为：，由. 且新的正四面体的体积为：. 又，所以在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积为，故C正确； 对D：不妨设，，，且， 则. 所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的球面. 点的轨迹就是该球面被平面所截的位于内的部分. 因为点到平面的距离为：， 所以球被平面所截得的圆的半径为：， 截面圆周长为，而点的轨迹是该圆的一部分， 所以点的轨迹长度要小于，故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：（1）若正四面体的棱长为，则它的高为：，其外接球半径为：，其内切球半径为：. （2）对空间向量，若，则四点共面. （3）平面上，到两个定点的距离之比是常数（不为1）的点的轨迹是圆，类比到空间：到两个定点的距离之比是常数（不为1）的点的轨迹是球面. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点在底面四边形内（包括边界）移动，且，则（    ）    A． B．点到平面的距离为 C．点的轨迹长度为 D．为线段上的点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直性质可知A正确；利用体积桥可求得B正确；根据可求得点轨迹为四分之一圆，知C正确；结合圆的性质可求得D正确. 【详解】对于A，，，，平面， 平面，又平面，，A正确；    对于B，平面，，； 是边长为的等边三角形，， 点到平面的距离，B错误；    对于C，平面，平面，， 又，，， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆在四边形（含边界）中的部分，即四分之一圆， 点轨迹长度为，C正确；    对于D，由C知：点轨迹为四分之一圆， 由圆的性质可知：当三点共线时，最小，此时最小值为， 又，，D正确.    故选：ACD. 二、非选择题 7．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知函数的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A，B分别作x轴的垂线，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则的值为 . 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据已知条件应用两点间距离公式求出的值. 【详解】函数的最小正周期为，在图2中，以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，， 因为，解得. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在棱长为2的正方体中，为平面内一动点，与所成的角为，则动点所在曲线的焦距为 . 【答案】8 【分析】建立空间直角坐标利用空间向量由两直线夹角得出动点的坐标满足的关系式，求出轨迹方程即可得出结果. 【详解】根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示； 易知，则、设，则， 由与所成的角为可得； 整理可得，即； 因此可知动点所在曲线为双曲线，且;所以其焦距为. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. (1)证明：； (2)已知向量，求的坐标表示； (3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）将两向量分共线和不共线两种情况，按照定义新运算分别判断与的模和方向即可证得； （2）按照定义新运算，用的展开式（用表示）进行运算，利用右手标架的规定求出结果，即得其坐标； （3）①利用的几何意义求出的面积，再由在方向上的投影长度，即可三棱锥的体积；②由的几何意义求出的面积，再求点到底面的距离，即得平行六面体的体积. 【详解】（1）若与共线时，； 若与不共线时， 即与的模相等； 根据定义知与同时垂直于，因此与共线； 由于按顺序与分别构成右手标架与， 所以与方向相反，因此. （2） ， 由定义知，，， 代入上式得，因此的坐标表示为 （3）①的几何意义为：以，为邻边的平行四边形的面积. ∴，在方向上的投影长度为 ∴ ②由的几何意义可得平行六面体的底面的面积为. 点到底面的距离为在底面的法向量的投影的长度. 因此. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $