专题08三角函数的应用与三角恒等变换（期末真题汇编，江苏专用）高一数学上学期苏教版

专题08 三角函数的应用与三角恒等变换 2大高频考点概览 考点01 三角函数的应用 考点02 三角恒等变换 地 城 考点01 三角函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期末)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 2．(24-25高一上·江苏镇江·期末)如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（   ） A．10min B．12min C．14min D．16min 【答案】B 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【详解】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 3．(24-25高一上·江苏泰州兴化·期末)如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解． 【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角， 由在内转过的角为，可知以为始边， 为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距地面的高度为， 故选：A. 4．(24-25高一上·江苏徐州·期末)如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 二、多选题 5．(24-25高一上·江苏泰州海陵区·期末)如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ） A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为 【答案】AC 【分析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点上升的高度，求出点距离地面的高度，再逐个分析判断即可 【详解】解：摩天轮转一圈， 在内转过的角度为， 建立平面直角坐标系，如图， 设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角， 以轴正半轴为始边，为终边的角为， 即点的纵坐标为， 又由题知，点起始位置在最高点处， 点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为： 即 当时，，故A正确； 若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误； 第 点距安地面的高度为 第 点距离地面的高度为 第和第时点距离地面的高度相同，故C正确； 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于， 即， 即，， 得， 或， 解得或， 共，故D错误． 故选：AC． 三、非选择题 6．(24-25高一上·江苏盐城·期末)现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】(1)，. (2)养殖面积的最小值为，及此时的. (3) 【分析】（1）过点作垂直于，垂直点为，求得，，即可求出，此时. （2）表示出，，所以，再由基本不等式即可求出养殖面积的最小值. （3）表示出两遮阳蓬面积和，由不等式“1”的代换即可得出答案. 【详解】（1）过点作垂直于，垂足为， 则，， 所以，， 所以，. （2），， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. （3）因为，， 设两遮阳蓬面积和为， 则 ， 当且仅当即时取等. 故两遮阳蓬面积和的最小值为. 7．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 8．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.    (1)设，求的取值范围及； (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果； （2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点， 所以. 因为点在线段上运动，所以， 因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为.    9．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【答案】(1) (2)小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 (3)4分钟 【分析】（1）法一：设，通过最大值，最小值，列出方程求得，再由周期及具体点求解；法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由周期得到，再结合求解即可； （2）由求解即可； （3）由求解即可； 【详解】（1）方法一：设 由题意知，最大值是41米，最小值是1米， 即，解得 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到 ，得，不妨取 所以 方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度 设经过分钟后，小王同学在点的位置，则 所以点的纵坐标 所以 （2）由题意知，得 因为，所以或10 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 （3）由题意知，即， 根据图像解得 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟 地 城 考点02 三角恒等变换 一、单选题 10．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 11．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用正弦函数对称轴的性质求出的表达式，再结合函数在给定区间上的单调性确定的值，进而得到函数的表达式，最后求出的表达式. 【详解】函数图像关于对称，说明在时成立，解得：， 函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件， 所以且， 则当时，解得：， 结合和，得到； 将代入原函数，得到， 则. 故选：A. 12．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求证，结合作商法和倍角公式即可求解判断的大小； 【详解】如图，设圆为单位圆，，， 点B在x轴上的射影点为T，过点A作x轴的垂线角射影于点P， 则， 由图知，故， 所以， 所以，即， ，即， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：是比较三角函数值大小的一个有力工具. 13．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 14．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， ， 故选：D 15．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知都是锐角，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求，再由结合两角差余弦公式求结论. 【详解】因为为锐角， 所以， 又， 所以，， 又， 所以 故选：A. 二、多选题 16．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．若函数的值域为，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【分析】求出最小正周期判断A；确定单调性判断B；求出值域判断C；取特值判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，函数在上单调递减，B错误； 对于C，，而，当时，， 当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，当时，的值域为，D错误. 故选：AC 17．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中条件及平方关系式，解得，结合角的范围判断A；进而求得，可判断B，C；继而利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算即可判断D. 【详解】由和， 解得，因为， 则，所以为锐角，A正确； 则，即，C正确； 可得， 由，可知点在的终边上，B错误； 由,， 所以，D正确. 故选：ACD. 18．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】整理可得，换元令，解得，即可得判断AB；可知为方程的两根，进而可得，即可判断CD. 【详解】因为， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去） 所以，，故A错误，B正确； 可知为方程的两根， 由解得， 可知或， 可得，故C正确； 或，故D错误； 故选：BC. 三、非选择题 19．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知，则 . 【答案】 【分析】根据结合二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 20．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数（）的所有零点为，则 ，所有零点的正切值的乘积为 . 【答案】 2 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，由求出，再求出对应正切即可得解. 【详解】依题意，，由，得， 解得，而函数在上单调递减，又， 因此函数的零点有2个，即； ， ， 所以. 故答案为：2； 【点睛】关键点点睛：利用韦达定理求出是求得的关键. 21．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 22．(24-25高一上·江苏无锡·期末)在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与射线交于点，与轴交于点.记，且，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义可得点的坐标，再利用的正余弦值表示三角形的面积，利用三角函数的性质可得其最值，即为三角形面积的最大值． 【详解】由三角函数定义，得，从而， 所以 ． 因为所以当时取等号，所以面积的最大值为． 故答案为： 23．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 24．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)若，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式将等式整理成，再根据同角三角函数的基本关系可写出，根据三角恒等变换化简即可求得结果. 【详解】由可得， ，将等式两边同时除以可得， ，所以； 所以. 故答案为： 25．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数，若，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用和角的正弦公式和诱导公式化简，求出即可求解. 【详解】 ， ， 即，解得， ， ，. 的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一）. 26．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，再求出其周期. （2）由（1）求出，再利用同角公式、和角的余弦公式计算得解. 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）得，解得， 在中，，由，得或， 则，，因此，解得，此时， 由，得，所以 . 27．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意. （2）由（1）得若，则， 所以. （3）由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 28．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知均为锐角，且. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【详解】（1）因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. （2），是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 29．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的单调递增区间； (3)函数在区间上恰好有18个零点，求的取值范围. 【答案】(1)π； (2)，； (3). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，进而求出周期. （2）利用正弦函数的单调性质求出单调递增区间. （3）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数零点个数列式求解即得. 【详解】（1）， 所以的最小正周期. （2）当时，， 由，得；由，得， 所以函数在区间上的单调递增区间是，. （3）当时，， 由函数在区间上恰好有18个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 30．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点. (1)若，求的值； (2)若且，设函数.求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据三角函数的定义即可求和的值，再根据化简即可求值； (2)利用三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可. 【详解】（1）当，，， （2）当，则，， . 所以函数的增区间为： ， 解得 . 故增区间为 . 31．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知函数的图象过点和点. (1)求函数的单调递增区间； (2)若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数. 【答案】(1)； (2)4个. 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组求出解析式并化简，再利用正弦函数单调性求出增区间. （2）由（1）及图象变换求出函数，再把图象交点问题转化为方程解的问题求解. 【详解】（1）依题意，，即，解得， 函数， 由，得 所以函数的单调递增区间为 （2）依题意，， 由图象关于直线对称，得，即， 而，则，解得，因此， 函数与的图象在上的交点个数，即求方程在上解的个数 由，得，则， 即，而， 因此即， 由，得或或或， 所以与的图像在上的交点共4个. 32．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． (1)求的值及函数在上的最小值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值； （2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）解：函数 ， 则， 因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以，函数的最小正周期为，则， 可得． 由，得，所以，， 所以，，故函数在上的最小值为． （2）解：设，因为，所以． 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 则，即， 解得，故的取值范围为． 33．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【详解】（1）由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； （2）由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 34．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆相交于点，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数定义以及角的范围分别求得其正弦、余弦值即可得出结果； （2）利用两角差的正弦公式计算可得，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意知，角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于， 所以，，则解得或，且或， 因为在第一象限，在第二象限，所以，， 所以，， 可得； （2）在单位圆中，因为，， 所以，， 又， 由两角差的正弦公式得， 又，， 因此． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数的应用与三角恒等变换 2大高频考点概览 考点01 三角函数的应用 考点02 三角恒等变换 地 城 考点01 三角函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期末)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏镇江·期末)如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（   ） A．10min B．12min C．14min D．16min 3．(24-25高一上·江苏泰州兴化·期末)如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（    ）    A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏徐州·期末)如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 二、多选题 5．(24-25高一上·江苏泰州海陵区·期末)如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ） A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为 三、非选择题 6．(24-25高一上·江苏盐城·期末)现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 7．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 8．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.    (1)设，求的取值范围及； (2)求面积的最小值. 9．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 地 城 考点02 三角恒等变换 一、单选题 10．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)若，则（    ） A．3 B． C． D． 15．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知都是锐角，，（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 16．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．若函数的值域为，则实数a的取值范围是 17．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 18．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 19．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知，则 . 20．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数（）的所有零点为，则 ，所有零点的正切值的乘积为 . 21．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)若，且，则 . 22．(24-25高一上·江苏无锡·期末)在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与射线交于点，与轴交于点.记，且，则面积的最大值为 . 23．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 24．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)若，则 . 25．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数，若，则的一个取值为 ． 26．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)在中，，，求的值. 27．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 28．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知均为锐角，且. (1)求的值： (2)求的值. 29．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的单调递增区间； (3)函数在区间上恰好有18个零点，求的取值范围. 30．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点. (1)若，求的值； (2)若且，设函数.求的单调递增区间. 31．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知函数的图象过点和点. (1)求函数的单调递增区间； (2)若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数. 32．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且． (1)求的值及函数在上的最小值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 33．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 34．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边分别与单位圆相交于点，． (1)求的值； (2)求的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $