专题05对数函数（期末真题汇编，江苏专用）高一数学上学期苏教版

专题05 对数函数 3大高频考点概览 考点01 对数的定义与运算 考点02 对数函数的定义域与值域 考点03 对数函数的性质综合 地 城 考点01 对数的定义与运算 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏苏州·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 3．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)（   ） A． B．3 C． D． 5．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)任何一个正实数N可以表示成 的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 6．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 7．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知正实数a，b满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．(24-25高一上·江苏连云港·期末)若，，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知不等式的解集为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 13．(23-24高一上·四川南充南充高级中学·月考)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·江苏常州·期末)形如的数称为费马数，记为，是一个位数，则的值为（参考数据：）（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 故选：B． 二、多选题 16．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·江苏徐州·期末)下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 18．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 19．(24-25高一上·江苏南通·期末)设.若，则 .（结果用表示） 20．设,且,则 . 21．(24-25高一上·江苏苏州·期末)计算的值为 . 22．对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则 ；若函数，则的值域为 ． 23．(24-25高一上·江苏镇江·期末)求值： . 24．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则 ； .（结果用，b表示） 25．(18-19高一上·天津蓟州区·期中)计算： . 26．(20-21高一上·山东济宁·期末) . 27．(24-25高一上·江苏南通·期末)对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 28．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)（1）计算； （2）已知，，求的值. 29．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 30．(24-25高一上·江苏盐城·期末)（1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 31．(24-25高一上·江苏常州·期末)（1）求值：： （2）已知，求的值. 32．(23-24高一上·湖南长沙雨花区·期末)求下列各式的值： (1)； (2)． 地 城 考点02 对数函数的定义域与值域 一、单选题 33．(24-25高一上·江苏苏州·期末)下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 36．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)函数的定义域为 . 37．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)函数的定义域是 . 38．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知函数． (1)求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； (2)若，求实数的取值范围． 39．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，其中． (1)当时，求的定义域； (2)若对任意实数，，求的值； (3)证明：函数的图象是轴对称图形． 40．(24-25高一上·江苏泰州兴化·期末)已知函数． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)设对恒成立，求的取值范围． 41．(21-22高一上·江苏泰州·期末)若存在实数使得，则称函数为的“函数”. (1)若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式； (2)设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：(i)是偶函数；(ii)的值域为? 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 42．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 43．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数，. (1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围； (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由. 44．(18-19高一上·四川成都石室中学·期中)已知函数，是偶函数. （1）求的值； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 地 城 考点03 对数函数的性质综合 一、单选题 45．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 46．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 47．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 48．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，若，则（    ） A． B． C． D． 49．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)若，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 50．(22-23高一上·浙江温州·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 51．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 52．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 三、非选择题 53．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 54．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 . 55．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知是偶函数，则 ，若存在，使得，则的最大值为 . 56．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 57．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 58．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 59．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)函数的值域为，的定义域为 (1)求； (2)若求实数a的取值范围. 60．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数. (1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. (2)已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 61．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 (1)若，求的“准不动点”： (2)若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： (3)设函数若使得成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 对数函数 3大高频考点概览 考点01 对数的定义与运算 考点02 对数函数的定义域与值域 考点03 对数函数的性质综合 地 城 考点01 对数的定义与运算 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．(24-25高一上·江苏苏州·期末)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（   ） A．5级 B．6级 C．7级 D．8级 【答案】B 【分析】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级. 【详解】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为， 俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为. 对于日本东北部海域的9级地震有； 对于俄罗斯东南部的地震有. 因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即. 两边同时取对数可得，根据对数运算法则，. 又因为， 已知，所以. 将，，代入可得： ， 解得. 俄罗斯东南部地震震级大约是级. 故选：B 3．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)关于的不等式的解集是，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值. 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 4．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】， 故选：C 5．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)任何一个正实数N可以表示成 的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 【答案】B 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】， 是610位数. 故选：B. 6．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 7．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【详解】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A 8．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知正实数a，b满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用换底公式并结合等比性质变形，求出的关系即可得解. 【详解】依题意，， 则， 因此，，所以. 故选：A 9．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】, ， ， ， 故③④正确，①②错误， 故选：B 10．(24-25高一上·江苏连云港·期末)若，，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则，对选项中的等式，逐一验证是否恒等即可 【详解】对于A，，所以A错； 对于B，，所以B错； 对于C，，所以C错； 对于D，，所以D对； 故选：D 11．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数运算和指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 12．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知不等式的解集为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解结合韦达定理求得的值，进而利用对数的运算求解即可. 【详解】由题意可得，且，为方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 故． 故选：D． 13．(23-24高一上·四川南充南充高级中学·月考)已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出，作差比较出. 【详解】因为，所以， 故，， ，故， ，故， 所以. 故选：B 14．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据对数的运算性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，可知， 对于选项AD：例如，则，， 即，且，故AD错误； 对于选项C：例如，则，， 即，故C错误； 对于选项B：因为，故B正确； 故选：B. 15．(24-25高一上·江苏常州·期末)形如的数称为费马数，记为，是一个位数，则的值为（参考数据：）（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】,设,两边取常用对数估算的位数即可. 【详解】，设，则两边取常用对数得 . ， 故的位数是20， 故选：B． 二、多选题 16．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 17．(24-25高一上·江苏徐州·期末)下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题 ，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 18．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 三、非选择题 19．(24-25高一上·江苏南通·期末)设.若，则 .（结果用表示） 【答案】 【分析】由指数与对数互化并根据对数运算法则以及换底公式计算可得结果. 【详解】由可得 . 故答案为： 20．设,且,则 . 【答案】100 【解析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值. 【详解】,,. ,.又∵,,即,,. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 21．(24-25高一上·江苏苏州·期末)计算的值为 . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为：. 22．对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则 ；若函数，则的值域为 ． 【答案】 208 【分析】令，然后分，，，和求出对应的的范围，再根据的定义可求出的值，先判断为偶函数，然后化简时的解析式，再根据正弦函数的性质可求出的值域，从而可求出的值域. 【详解】令，则， 令，则时，；时，； 时，；时，；时，， 所以 ； 的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以， 当时，， 当且时，， 当且时，， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：208， 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 23．(24-25高一上·江苏镇江·期末)求值： . 【答案】2 【分析】利用对数运算性质计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为：2 24．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则 ； .（结果用，b表示） 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式计算即可求解. 【详解】由， 得. 则log1456＝ 故答案为：； 25．(18-19高一上·天津蓟州区·期中)计算： . 【答案】3； 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解即可. 【详解】， 故答案为：3. 【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 26．(20-21高一上·山东济宁·期末) . 【答案】6 【解析】由幂的运算法则和对数运算法则计算． 【详解】原式＝． 故答案为：6． 27．(24-25高一上·江苏南通·期末)对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 【答案】(1)不具有解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意的，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 28．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)（1）计算； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可； （2）根据已知求出，再利用诱导公式化简所求即可得解. 【详解】（1）原式 ； （2）因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 则， 所以. 29．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2024年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月(每月月底)测量一次，通过一年的观察发现，自2024年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为k m2，二月底测得该水生植物的面积为24 m2，三月底测得该水生植物的面积为40 m2，该水生植物的面积y(单位：m2)与时间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2024年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘里该水生植物面积应该在几月份起是2024年一月底该水生植物面积的10倍以上？(参考数据：) 【答案】(1)甲， (2)6月份 【分析】（1）根据三月底水生植物面积增量几乎是二月份的一倍，可确定甲同学的模型较合适，代值即得方程组，解之可得函数模型的解析式； （2）依题意列出不等式，通过取对数，将其化成，代值计算即得. 【详解】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适， 由题意得，解得， 所以. （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即 ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上. 30．(24-25高一上·江苏盐城·期末)（1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用诱导公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （3）根据指数幂的运算性质及对数的运算法则计算可得. 【详解】（1） ； （2） ； （3） . 31．(24-25高一上·江苏常州·期末)（1）求值：： （2）已知，求的值. 【答案】（1）13（2）2 【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可； （2）利用诱导公式化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）因为， 所以原式. 32．(23-24高一上·湖南长沙雨花区·期末)求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20; (2) 【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算公式求解. （2）利用同角关系计算即得. 【详解】（1） ； （2） 地 城 考点02 对数函数的定义域与值域 一、单选题 33．(24-25高一上·江苏苏州·期末)下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域. 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 34．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 35．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边取对数，得到，继而换元，令，再结合求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】由，设， 故， 令，则， 当时，取到最大值， 故y的最大值为，即函数的最大值为， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合函数解析式的结构特点，采用两边取对数再结合换元的方法，将原问题转化为求二次函数的最值问题. 二、非选择题 36．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【解析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解. 【详解】由， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 37．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为． 故答案为： 38．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知函数． (1)求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为奇函数 (2) 【分析】（1）利用对数函数的性质求解定义域，再判断其与原点对称，最后结合奇偶性的定义判断奇偶性即可. （2）利用函数的奇偶性和对数函数的单调性解不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 判断为奇函数，证明如下：， 都有，对于， 又所以为奇函数； （2）因为为奇函数，所以， 因为，所以，即， 即，故，解，得到或， 解，得， 综上，，即的取值范围是. 39．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，其中． (1)当时，求的定义域； (2)若对任意实数，，求的值； (3)证明：函数的图象是轴对称图形． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）令，结合指数函数性质解不等式即可得定义域； （2）分析可知对任意的恒成立，结合基本不等式可得，由，换元令，整理可得，结合函数零点分析求解； （3）整理可得，可证，即可得对称轴. 【详解】（1）若，则， 令，即， 可得或，解得或， 所以的定义域为. （2）由题意可知：对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 若，即， 则，整理可得， 令，则对任意恒成立， 因为一次函数和在内单调递增， 且1为一次函数的唯一零点， 可知1为二次函数在内的唯一零点，则，解得. （3）因为， 在有意义的前提下，可得， 可知为的一条对称轴，所以函数的图象是轴对称图形. 40．(24-25高一上·江苏泰州兴化·期末)已知函数． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)设对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解； （2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解. 【详解】（1）解：令， 当时，，满足的值域为， 当时，的值域包含， 则，解得， 综上：实数的取值范围是； （2）因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 令，， 则，所以， 所以的取值范围是. 41．(21-22高一上·江苏泰州·期末)若存在实数使得，则称函数为的“函数”. (1)若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式； (2)设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：(i)是偶函数；(ii)的值域为? 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用为奇函数，为偶函数，可得答案； （2）假设存在实数使得为，的“函数”，可得，根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为为，的“函数”， 所以①，所以， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②，解得； （2）存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为，的“函数”， 则， (i)因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以； (ii) ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以. 综上所述，存在满足要求. 【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点为根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 42．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； （2）对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； （3）， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，解答时要注意分类讨论脱去绝对值符号，进而判断函数的单调性，即可求解. 43．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数，. (1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围； (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，然后解不等式即可； （2）利用二次函数的性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,，，可得，即可得出结论. 【详解】（1）当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故当时，取最小值，则； 当时，，， 则当，即时，取最小值，即， 由题意得，则，即的取值范围是； （2）当时，，， 则当，即时，取最小值为， 则恒成立时，有，即， 当时，，， 则，则， 故关于的方程不存在实数解. 44．(18-19高一上·四川成都石室中学·期中)已知函数，是偶函数. （1）求的值； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得； （2）对任意的成立，即，求出的最小值即可得结果； （3）化简得，令，则，，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果. 【详解】（1）函数，是偶函数则满足 所以 即 所以 解得 （2）由（1）可知，，对于任意恒成立 代入可得所以对于任意恒成立 令 因为所以由对数的图像与性质可得 所以 （3），，且 代入化简可得 令，因为，所以 则 当，即时，在上为增函数， 所以，解得，不合题意，舍去 当，即时，在上为减函数，在上为增函数， 所以，解得，所以 当，即时， 在上为减函数， 所以 解得不合题意，舍去， 综上可知，. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 地 城 考点03 对数函数的性质综合 一、单选题 45．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性、在上的函数值符号以及函数的零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则恒成立， 由可得，解得， 故函数的定义域为， 因为， 所以，函数为奇函数，排除D选项， 由得，可得， 故函数有无数个零点，排除B选项， 当时，，，则， 则，此时，，排除A选项. 故选：C. 46．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质求出 的范围，利用诱导公式结合特殊角的三角函数求出的值，从而可得答案. 【详解】因为， , , 所以， 故选：A. 47．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】， 所以. 故选：A 48．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象性质，先可得，从而可判断，，，从而得解. 【详解】根据函数为增函数， 由于，则， 所以，即， 因为，所以，即， ，所以. 故选：B 49．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)若，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小. 【详解】， ，， 则. 故选：A 50．(22-23高一上·浙江温州·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数排除D，根据排除C，根据当时，排除B即可求解. 【详解】由题意要使得函数有意义，则，且， 这表明函数定义域关于原点对称， 且，从而函数是奇函数，故排除D， 由，排除C， 当时，，排除B. 故选：A. 二、多选题 51．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 52．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可求出、的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 三、非选择题 53．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 54．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 . 【答案】8 【分析】利用对数函数图象性质求出点的坐标，进而求出函数及函数值. 【详解】函数，当，即时，恒有，则点， 设，由，得，， 所以. 故答案为：8 55．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知是偶函数，则 ，若存在，使得，则的最大值为 . 【答案】 / 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 56．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 57．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 58．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 【答案】(1)选①，或选②， (2)选①或选②，个 (3)选①，，；选②，， 【分析】（1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值； （2）若选①或②，当时，求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）若选①，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以； 若选②，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以. （2）若选①，当时，函数. 因为在上单调递减， 且在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 又因为在定义域上单调递减， 所以函数在上单调递减. 又因为的图象连续不间断， 且，，则， 所以在区间上有唯一的零点. 若选②，（2）当时，函数. 因为在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又因为在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又因为的图象连续不间断， 且，， 所以在区间上有唯一的零点. （3）若选①，因为，若， 当且仅当，所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，解得， 所以，则，解得，； 若选②，因为，若，当且仅当， 所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，所以， 所以，所以，则， 解得，. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 59．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)函数的值域为，的定义域为 (1)求； (2)若求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为. 所以. （2）由，得，解得，所以，， 因为，所以，解得. 故实数的取值范围. 60．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数. (1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. (2)已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可； （2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，∴ 又∵为奇函数，∴当时，， 又∵是定义域在上的奇函数，∴， 综上所述，函数的解析式为. （2）当时，，， ∴ 令，当时，， 设，， ∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为， 令，解得（舍）或， ∴当时，函数（其中）的最小值为， 则实数的值为. 61．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 (1)若，求的“准不动点”： (2)若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： (3)设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0或1； (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【详解】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $