专题04指数函数与幂函数（期末真题汇编，江苏专用）高一数学上学期苏教版

专题04 指数函数、幂函数与函数综合题目 5大高频考点概览 考点01 函数新定义 考点02 函数的最值与周期 考点03 指数运算 考点04 指数函数的性质 考点05 幂函数 地 城 考点01 函数新定义 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 3．(24-25高一上·江苏常州·期末)若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 4．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． (1)判断函数的奇偶性并予以证明； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 5．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. (1)已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； (2)设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； (3)设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 6．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)若函数满足①且不恒等于1；②对定义域内的任意三个数总有成立，则称函数为“LM”函数． (1)判断，是否是“LM”函数，并说明理由； (2)若函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； (3)函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； 7．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)对于两个定义域相同的函数，，若存在实数，，使得，则称函数是由“基底函数”和生成的. (1)以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②，③.求函数的解析式； (2)以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②为偶函数，③. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）已知，记，试求的最大值. 8．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 9．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)对于定义在上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. (1)若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； (2)若函数为的伴随函数，且. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是值域为的偶函数，求函数的值域. 10．(24-25高一上·江苏徐州·期末)设函数的定义域为，若对任意的，，，恒有，则称为—函数. (1)证明：函数是—函数； (2)判断函数，（）是否为—函数，并说明理由； (3)设函数的定义域为，且不是常函数，若存在非零常数，使得对于任意的，都有，证明：不是—函数. 11．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 (1)若，求的“准不动点”： (2)若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： (3)设函数若使得成立，求实数的取值范围. 12．(24-25高一上·江苏盐城·期末)定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称 为的生成函数. (1)设，，，判断并证明生成函数在的单调性； (2)设，，，函数的图象恒在轴的上方，的取值范围； (3)设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由. 13．(24-25高一上·江苏南通·期末)对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 14．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 15．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. (1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； (3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 16．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式：. 17．(24-25高一上·江苏常州·期末)苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型. 如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为，将表示成的函数. (1)直接写出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性：（不用证明） (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的值： (3)当函数在区间上连续，对任意，， 若恒有，则称函数是区间上的上凸函数， 若恒有，则称函数是区间上的下凸函数， 当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.试判断函数 在上的凹凸性，并证明你的结论. 地 城 考点02 函数的最值与周期 一、单选题 18．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（    ） A． B． C． D．在区间内单调递增 19．(24-25高三上·河南部分名校·)已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 20．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 21．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（   ） A．是以2为周期的函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D． 22．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知定义域为的函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．的周期为2 C．为奇函数 D．若，则 23．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知定义在上的函数满足：，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D． 24．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知定义域为的函数满足：，，则（    ） A．是周期为2的函数 B．是偶函数 C． D． 三、非选择题 25．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 26．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 27．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是 . 地 城 考点03 指数运算 一、单选题 28．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 29．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)（   ） A． B．3 C． D． 31．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)（   ） A． B． C． D． 32．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 二、多选题 33．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·江苏徐州·期末)下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 地 城 考点04 指数函数的性质 一、单选题 35．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)设，则（   ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 38．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数和依次交于三点A，B，C，且满足，则a的值为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 39．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（    ） A．函数无最值 B．只有最大值为 C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 41．(24-25高一上·江苏常州·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 42．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)若，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 43．(23-24高一上·内蒙古赤峰赤峰四中·月考)设，，，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 44．(23-24高一上·北京海淀区·期末)已知，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 45．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 46．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 三、非选择题 47．(24-25高一上·江苏盐城·期末)函数的图象恒过的点 . 48．(24-25高一上·江苏连云港·期末)设，，若函数满足，且，则 . 49．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若的值域为，则的取值范围为 . 50．(23-24高一上·辽宁沈阳辽宁实验中学·月考)已知正实数满足方程，则的最小值为 ． 51．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)设函数，则满足的的取值范围是 . 52．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数，，令，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明： (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 53．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 54．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知且，函数满足，设. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 55．(24-25高一上·重庆礼嘉中学·)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性： (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 56．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 地 城 考点05 幂函数 一、单选题 57．(24-25高一上·江苏徐州·期末)若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D． 58．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 59．(17-18高二·2018年5月22日二次函数与幂函数-《每日一题》·)当时，幂函数的图象不可能经过的象限是 A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限 60．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 二、非选择题 61．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 62．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 63．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知幂函数经过点，则的值是 ． 64．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 65．(23-24高一上·山东聊城·期末)已知幂函数的图象通过点，则 ． 66．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知幂函数的图象经过点，则 67．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、幂函数与函数综合题目 5大高频考点概览 考点01 函数新定义 考点02 函数的最值与周期 考点03 指数运算 考点04 指数函数的性质 考点05 幂函数 地 城 考点01 函数新定义 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“同族函数”的定义，结合各选项函数的性质判断即可. 【详解】对于A，函数是定义域为R上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，A不是； 对于B，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，B不是； 对于C，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，C不是； 对于D，函数与函数的解析式相同，值域都为， 因此函数能被用来构造“同族函数”，D是. 故选：D 二、多选题 2．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（   ） A． B．， C．若，且m，n均不等于1，，则 D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 【详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 3．(24-25高一上·江苏常州·期末)若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】假设各选项中的函数具有性质，求对应的，若存在则判断该选项所给函数具有性质，反之则说明该函数不具有性质，由此确定正确选项. 【详解】A，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得，即， 该方程无解，即满足条件的不存在，矛盾，所以函数不具有性质，A错误； B，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得，即，解得， 所以函数具有性质，B正确； C，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得， 解得或， 所以函数具有性质，C正确； D，设函数具有性质，则存在，满足条件， 所以，化简可得， 因为函数在单调递增， 所以函数在单调递增， 而，，当时，， 所以方程在内有解， 所以函数具有性质，D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、非选择题 4．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． (1)判断函数的奇偶性并予以证明； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递增 (3) 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断即可； （2）整理可得，利用函数单调性的定义证明即可； （3）换元令，可得，求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意得，为奇函数． 任意，都有， ，即为奇函数； （2）， 对于任意的，且，则： 因为在上单调递增，， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3）在上单调递增，， ， 令，即， 有，当时，等号成立 综上，． 5．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. (1)已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； (2)设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； (3)设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 【答案】(1)2025 (2) (3)． 【分析】（1）根据“1－1－泊点”定义有，则，得，根据周期函数得，求得答案. （2）依题意，有解，法一：，求M的最大值；法二：利用齐次化，，利用基本不等式求M的最大值；法三：联立，即在上有解，换元，利用二次函数求出最大值； （3）依题意，转化为在定义域内恰有2个解，分类讨论求得答案. 【详解】（1）因为任意，， 所以，所以， 所以为周期为2 的周期函数， 所以． （2）因为是的“－M－泊点”， 所以在上有解， 因为，所以， 法一：因为， 当且仅当时，即时取得等号， 所以，所以M的最大值为． 法二：因为 令，，所以， 当且仅当，即时取得等号，此时， 所以M的最大值为． 法三：因为在上有解， 即在上有解， 设，所以在区间上有解， 因为函数在上关于对称， 所以解得，所以M的最大值为． （3）因为函数恰有2个“1－1－泊点”， 所以在定义域内恰有2个解， 因为， ①当时，则， 所以，即，所以，舍去； ②当时，所以， 即（*）， ③当时，， 所以，即（**）； 依据条件，（**）和（*）共有2个不同实数解； （i）对于（*）式，令，， 设，所以在上递增，，， 所以关于m的方程在上解的情况如下： （a）当，即时，（*）没有实数根； （b）当，即时，（*）没有实数根； （c）当即0＜t＜2，（*）只有一个实数根. （ii）对于（**）式，令，， 设， 因为 函数的对称轴为，由（i）得： （a）当时在内需2个零点，且， 所以即，无解； （b）当时，在内需2个零点， 但，至多一个零点，舍去； （c）当时，在内需1个零点，且， 所以在上递增， 所以即，解得 所以 综上所述，t的取值范围是． 6．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)若函数满足①且不恒等于1；②对定义域内的任意三个数总有成立，则称函数为“LM”函数． (1)判断，是否是“LM”函数，并说明理由； (2)若函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； (3)函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“LM”函数定义中的任意性，找到反例，即可判断，不是“LM”函数； （2）根据指数函数的单调性，结合条件①可得，条件②可得，即可解得的取值范围； （3）根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分类讨论，结合“LM”函数的定义列不等式，求解即可. 【详解】（1）对于函数，， 取，，，则，，， 显然，所以，不是“LM”函数. （2）因为在区间上是“LM”函数， 所以由条件①知，即， 由条件②知，，即， 解得或．又因为， 所以的取值范围是. （3）①若，则函数在区间上单调递增， 所以，又， 则，又恒成立， 则当时，是“LM”函数； ②若，则函数在区间上最小值是, 所以,即，解得， 因为，所以的范围是， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将条件②中的不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，结合函数的性质即可求解. 7．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)对于两个定义域相同的函数，，若存在实数，，使得，则称函数是由“基底函数”和生成的. (1)以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②，③.求函数的解析式； (2)以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②为偶函数，③. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）已知，记，试求的最大值. 【答案】(1)或 (2)（Ⅰ），（Ⅱ） 【分析】（1）利用给定的定义列式，借助，则，结合二次函数的性质即可求解最值得解， （2）（Ⅰ）利用偶函数的定义可得，再利用，联立即得解析式；（Ⅱ）利用对勾函数单调性以及复合函数的单调性可得函数的单调性，根据单调性化简求和表达式即可求出最大值. 【详解】（1）依题意，， 令，则， 故， 当时，此时，解得， 此时 当时，此时，解得， 此时 （2）（Ⅰ）设， 由为偶函数，得， 由于， 则， 整理得，对任意恒成立，则， 又，则，解得以， 所以函数的解析式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令则， 故对勾函数在单调递减，在单调递增， 由于单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减. 设， 由于 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 8．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】(1)是“伪奇函数”，理由见解析 (2) (3)答案和理由见解析 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【详解】（1）∵，∴，则是“伪奇函数”． （2）令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. （3）当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 9．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)对于定义在上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. (1)若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； (2)若函数为的伴随函数，且. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是值域为的偶函数，求函数的值域. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由函数解析式，分别代入式子的左、右两边，运算验证两等式成立； （2）（ⅰ）利用“伴随函数”定义，利用等式赋值探索性质可得；（ⅱ）将看作整体，表示所求函数，利用基本不等式求最值可得. 【详解】（1）为的“伴随函数”. 理由如下：若，，对任意， 则有； ； 所以； 且有； ； 所以. 故为的“伴随函数”. （2）（ⅰ）若函数为的伴随函数，对任意， 则， 由，可知，且. 令，， 两式相加得， 故； 同理，两式相减可得，故，且. 再令，可得， 可得 . 由， 则； （ⅱ）若是值域为的偶函数，对任意，则， 则式可化为， 由，故对任意，，即为奇函数； 则式可化为， 则与同号， 假设，则， 又由可知，，， 则有，这与矛盾， 故，即，且； 且当，由可知，； 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 联立，又，可解得， 此时满足条件，故等号能取到. 且当时，，即. 故函数的值域为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是利用“伴随函数”的定义，由的任意性可进行赋值构造探索性质并应用；二是所求函数用两个整体式表达，利用基本不等式求最值. 10．(24-25高一上·江苏徐州·期末)设函数的定义域为，若对任意的，，，恒有，则称为—函数. (1)证明：函数是—函数； (2)判断函数，（）是否为—函数，并说明理由； (3)设函数的定义域为，且不是常函数，若存在非零常数，使得对于任意的，都有，证明：不是—函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)是—函数，（）不是—函数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据—函数的定义即可求解， （2）根据—函数的定义即可求解是—函数，举反例即可求解（）不是—函数， （3）根据可判定为周期函数，进而根据的大小关系分两种情况讨论，结合—函数的定义可得在上是常数函数，这与已知矛盾，即可得解. 【详解】（1）证明如下：对任意实数及，， 有 故， 函数是—函数 （2）是—函数，（）不是—函数， 理由如下： 对任意实数及， ， 由于，，故， 因此，故， 即，故是—函数， 对于（） 取，，， 则不符合，故 （）不是函数； （3）（3）假设是—函数， 由可得， 所以为周期函数，且周期， 若存在且，使得 （i）若， 记，，，则，且， 那么 ， 这与矛盾； （ii）若， 记，，，同理也可得到矛盾； ∴在上是常数函数， 这与不是常函数矛盾， 所以不是上的函数. 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、对于函数问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 11．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 (1)若，求的“准不动点”： (2)若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： (3)设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0或1； (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【详解】（1）当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； （2）由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； （3）由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 12．(24-25高一上·江苏盐城·期末)定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称 为的生成函数. (1)设，，，判断并证明生成函数在的单调性； (2)设，，，函数的图象恒在轴的上方，的取值范围； (3)设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由. 【答案】(1)为上的增函数，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据单调性的定义可证明为上的增函数. （2）原不等式等价于，其中，利用参变分离可求参数的取值范围. （3）根据偶函数的性质和最大值可求参数的值，从而可求. 【详解】（1）为上的增函数 证明：，设， 则， 因为，则且， 故，即，所以为上的增函数. （2）， 由题设有在上恒成立，设，则， 又，故， 所以恒成立，而在上为增函数， 故，故. （3）设，则， 因为为偶函数，则， 故，故即， 所以， 令，， 因为的最大值为，故在上的最大值为， 而当且仅当时等号成立，故且， 故. 所以. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的最值问题，注意根据函数的形式选择合适的换元，从而把复杂函数的最值问题转化为二次函数的最值或利用基本不等式求解. 13．(24-25高一上·江苏南通·期末)对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 【答案】(1)不具有解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意的，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 14．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； （2）由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. （3）由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 15．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. (1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； (3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)，的最大值为1. 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【详解】（1），不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2）由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； （3）当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 16．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)，证明见解析 (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）类比得到，并计算证明； （2）计算得到，解方程得到，即，求出零点； （3）求出，，不等式等价于，即，分，和三种情况，得到不等式解集. 【详解】（1）由条件类比得到，证明如下： 因为， ， 所以； （2）因为， 令，则，即， 显然，解得(舍)， 于是， 整理得，或， 解得， 所以函数的零点为，； （3）因为， ， 所以原不等式可化为， 也即， 当时，，故只需，解得， 原不等式的解集为； 当时，，只需，解得， 原不等式的解集为； 当时，令可得或， 原不等式的解集为； 当时，， 原不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时， 原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 17．(24-25高一上·江苏常州·期末)苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型. 如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为，将表示成的函数. (1)直接写出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性：（不用证明） (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的值： (3)当函数在区间上连续，对任意，， 若恒有，则称函数是区间上的上凸函数， 若恒有，则称函数是区间上的下凸函数， 当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.试判断函数 在上的凹凸性，并证明你的结论. 【答案】(1)，，在（0，1）上单调递减，在上单调递减，既不是奇函数也不是偶函数 (2) (3)下凸函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，再化为对数形式求解；       （2）根据，分和求解； （3）根据凹凸函数的定义求解. 【详解】（1）解：，         定义域：，         值域：，         单调性：在（0，1）上单调递减，在上单调递减，     奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数； （2）由题意，当，即时，恒成立，所以； 当，即时，恒成立，所以， 所以； （3）在上是下凸函数， 证明如下：对任意任意，，，， ， ， 当且仅当时等号成立，所以在上是下凸函数. 地 城 考点02 函数的最值与周期 一、单选题 18．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（    ） A． B． C． D．在区间内单调递增 【答案】C 【分析】根据正方形的运动轨迹，分别求出当时对应的函数值，进而，结合图形判断单调性，依次判断选项即可. 【详解】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图， 由正方形的滚动轨迹知， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， 当时，位于点，即， …… 所以，即函数是以4为周期的周期函数. 所以，AB正确； , , ∴， 与单调性一致，函数在内单调递增，则函数在上单调递增，D正确. 故ABD正确，∴说法错误的为C. 故选：C. 19．(24-25高三上·河南部分名校·)已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 二、多选题 20．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据导数即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于令，，找出和的关系. 21．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（   ） A．是以2为周期的函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由题及周期函数定义可完成判断；对于B，由题可得4是的一个周期，为图象一条对称轴，据此可完成判断；对于C，由及可得为图象的一个对称中心，然后由B中所得周期可判断选线正误；对于D，利用赋值法结合，可得，然后由题可得，据此可完成判断. 【详解】对于A，若是以2为周期的函数， 则，但由题目条件不能得到只有满足题意，故A不一定正确； 对于B，， 则4是的一个周期，又为奇函数， 则， 则，故为偶函数，为图象一条对称轴， 又，则的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，由为奇函数，可得为图象的一个对称中心， 又由B分析，，则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，因，令，则， 得，则 . 又由为奇函数，则，令可得 结合为偶函数，可得，故，故D正确. 故选：BCD 22．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知定义域为的函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．的周期为2 C．为奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】推导出，从而得到的周期性，即可判断B，再由为奇函数，得到，即可得到的对称性，即可判断A，结合周期性与对称性判断C、D. 【详解】因为的定义域为， 又因为，则， 所以，所以的周期为，故B错误； 又为奇函数，所以，所以， 所以，所以关于对称，故A正确； 因为关于对称，所以，又， 所以，即，所以为奇函数，故C正确； 若，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 23．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知定义在上的函数满足：，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法和换元思想逐项判断即可. 【详解】令，得A正确； 令，得B正确 令，得.再令得，所以C错误； 令得 ，即D正确. 故选：ABD 24．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知定义域为的函数满足：，，则（    ） A．是周期为2的函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】由可得，进而判断A；根据题设赋值结合周期性即可判断CD；取特例即可判断B. 【详解】由， 则， 所以函数是周期为2的函数，故A正确； 由，取，得， 而，所以，故C正确； 由，取，得， 则，故D正确； 取， 则， ，满足题意， 而函数不为偶函数，故B错误. 故选：ACD 三、非选择题 25．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先可得的单调性，再由，即可得到对任意的，恒成立，从而得到对任意的，恒成立，再分、、三种情况讨论，分别解出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为当时，，所以在上单调递增且， 又函数是定义域为的偶函数， 则当时，，所以在上单调递减且， 所以，， 因为对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 显然，即； 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 当时，不等式，解得，显然不成立； 当时，不等式，解得，则，解得； 当时，不等式，解得，则，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为对任意的，恒成立. 26．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围. 【详解】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质及图象，结合不等式恒成立得到，时有为关键. 27．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，所以， 所以， 所以为奇函数，所以. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故答案为：. 地 城 考点03 指数运算 一、单选题 28．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【详解】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A 29．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】, ， ， ， 故③④正确，①②错误， 故选：B 30．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】， 故选：C 31．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数运算和指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 32．近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 【答案】C 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 故选：C 二、多选题 33．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 34．(24-25高一上·江苏徐州·期末)下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题 ，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 地 城 考点04 指数函数的性质 一、单选题 35．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 36．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因函数是减函数，故，即A错误； 对于B，因函数在上为减函数，故，即B错误； 对于C，D，由上分析，可得，故有，即C正确，D错误. 故选：C. 37．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 38．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数和依次交于三点A，B，C，且满足，则a的值为（    ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】求出函数的对称中心，由给定条件可得点是它们相同的对称中心，由此求出值. 【详解】函数定义域为R，， 因此函数的图象关于点对称；函数的定义域为R， ， 因此函数的图象关于点对称，而函数的图象依次交于三点， 因为，所以点关于点对称，因此函数的图象对称中心相同，且为点，所以. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 39．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数的定义域为，，对于任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目条件可变形为，构造函数，分析可知在上为增函数，把不等式等价变形为，根据函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， 令，则任意的，有， ∴函数在上为增函数. ∵不等式可变形为，即， ∴， ∴，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把条件等价变形为，通过构造函数、分析函数的单调性可解不等式. 40．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（    ） A．函数无最值 B．只有最大值为 C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 【答案】B 【分析】令，，利用奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再利用基本不等式计算可得. 【详解】令，， 则为奇函数，为偶函数， 所以，， 解得， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以只有最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的奇偶性得到关于、的方程组，从而求出的解析式. 41．(24-25高一上·江苏常州·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 42．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)若，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小. 【详解】， ，， 则. 故选：A 43．(23-24高一上·内蒙古赤峰赤峰四中·月考)设，，，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以，，的大小关系是. 故选：B 44．(23-24高一上·北京海淀区·期末)已知，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合指、对数函数单调性运算求解. 【详解】因为， 由在上单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 由在内单调递增，可得，即； 综上所述：. 故选：D. 二、多选题 45．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 【答案】ABD 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则 ，故D正确. 故选：ABD 46．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 三、非选择题 47．(24-25高一上·江苏盐城·期末)函数的图象恒过的点 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，解得，此时， 所以函数的图象恒过的点为. 故答案为： 48．(24-25高一上·江苏连云港·期末)设，，若函数满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】结合指数函数的性质得出，利用对数的换底公式求出即可. 【详解】因为满足，且，， 所以在上是减函数，所以. 因为，两边同时取对数可得， 即，解得（舍去），或. 故答案为：. 49．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合指数函数单调性可知在内值域为，进而可知在内的值域包含，结合一次函数性质分析判断. 【详解】因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可知在内值域为， 又因为的值域为， 可知在内的值域包含， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 50．(23-24高一上·辽宁沈阳辽宁实验中学·月考)已知正实数满足方程，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】令， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又由得， 即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过构造函数，通过判断其单调性得到，是解决本题的关键. 51．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)设函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当时，，则在时无解； 当时，，在单调递增，时，则的解集为； 当时，，则在时恒成立； 综上，的解集为. 故答案为：． 52．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数，，令，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明： (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)是上的增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意求得，然后任取，且，再化简变形进行判断符号，从而可判断其单调性； （2）先判断为奇函数，然后将不等式转化为，再根据是上的增函数，得，令，换元后将问题转化为，再构造函数可求得结果. 【详解】（1）是上的增函数. 证明：由题意得，，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，又，， 所以，即， 所以是上的增函数； （2）因为，所以是上的奇函数， 由，得， 所以， 又因为是上的增函数，所以， 即， 化简得，， 令，则， 因为与在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 所以存在，使. 因为和在上单调递减， 所以当时，单调递减， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性和函数奇偶性的综合问题，考查利用函数奇偶性和单调性解决不等式能成立问题，第（2）问解题的关键是根据奇函数的性质及单调性将问题转化为，再通过换元进一步将问题转化为存在，使，再构造函数，利用函数的单调性可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 53．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，求出的值，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数， 则，解得， 经检验，当时，， 则，则为奇函数， 所以的值为2. （2）由（1）可知，，设， 则，因为， 所以，， 故，即， 所以是上的增函数. 54．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知且，函数满足，设. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对和进行分类讨论，再利用题目所给的函数解析式与等式关系可求出的值，则所求函数利用换元法可得到二次函数，利用配方法及二次函数性质即可求出值域. （2）先得到两个函数解析式和，对上两函数同时单调递增和同时单调递减进行分类讨论，得到关于的不等式组，进而求出的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，. ∵，且， ，即，解得. 当时，，. ∵，且， ，即，无解. 综上，，. . 令，，，. 当时，；当时，. 综上，函数在区间上的值域为. （2）由题意，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由题可知：和在区间上同增或者同减. 若两函数在区间上均单调递增， 则在区间上恒成立， 故，解得. 若两函数在区间上均单调递减， 则在区间上恒成立， 故，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 55．(24-25高一上·重庆礼嘉中学·)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性： (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，再解一元二次不等式即可． 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=， 因为所以，则，因为，所以， 所以在R上单调递增. （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，因为在[2，3]上单调递减， 所以，所以. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质得，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 56．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可； （2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性； （3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围. 【详解】（1）因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，检验如下， 此时，所以， 故是奇函数，满足要求. 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 任取且，则， 因为，所以，又，， 所以，所以在上单调递减. （3）法1：因为，所以可化为 因为在上单调递减，所以， 即，所以，解得. 法2：在中，令，则， 即，即，所以， 即，所以，解得. 地 城 考点05 幂函数 一、单选题 57．(24-25高一上·江苏徐州·期末)若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念可求得，利用函数图象过点可得，由此可计算的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，即，所以， 因为函数的图象经过点， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A. 58．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为（   ） A．2 B． C．0或 D．0或2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质得解. 【详解】由题意可知，，解得或， 故选：C 59．(17-18高二·2018年5月22日二次函数与幂函数-《每日一题》·)当时，幂函数的图象不可能经过的象限是 A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】的图象经过第一、三象限，的图象经过第一象限，的图象经过第一、三象限，的图象经过第一、三象限．故选D． 60．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 二、非选择题 61．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为 . 【答案】 【分析】直接代入即可求出，则得到其增区间. 【详解】由题意得，则，则， 则其增区间为. 故答案为：. 62．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 63．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 64．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 65．(23-24高一上·山东聊城·期末)已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 66．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知幂函数的图象经过点，则 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，将点坐标代入求解即可. 【详解】设. 故答案为： 67．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $