专题06三角函数的定义与诱导公式（期末真题汇编，江苏专用）高一数学上学期苏教版

专题06 三角函数的定义与诱导公式 4大高频考点概览 考点01 任意角和弧度制 考点02 任意角的三角函数 考点03 同角三角函数基本关系 考点04 诱导公式 地 城 考点01 任意角和弧度制 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 故选：B. 2．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式，由题中条件，即可求解. 【详解】记圆心角为，因为扇形的半径为2，面积为4， 所以，则； 故选：C 3．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为， 则，解得或， 所以该扇形圆心角的弧度数或， 故选：C 4．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案. 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为，第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为， 所以“蚊香”的长度为. 故选：B. 5．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的面积公式可得，进而可求弧长. 【详解】设扇形的半径为， 由题意可得：，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D. 6．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 7．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】求出扇形的半径和弧长，即可求得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则， 则扇形的弧长为，故扇形周长为， 故选：B 8．(24-25高一上·江苏南通·期末)若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【详解】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C 9．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用象限角的定义判断即可. 【详解】因，则为第一象限角， 的终边与角的终边重合，故角的终边在第一象限. 故选：A. 10．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则周长为12得：， 所以扇形的面积为：. 故选：C. 11．(24-25高一上·江苏扬州·期末)在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可. 【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则 ，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 12．(24-25高一上·江苏镇江·期末)《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】C 【分析】利用扇形面积公式直接代入计算可得结果. 【详解】易知扇形所在圆的半径为8步， 因此这块扇形田的面积为平方步. 故选：C 13．(23-24高一上·山东德州·期末)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【详解】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故选：C 14．(22-23高一上·北京朝阳区·期末)若角满足，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据三角函数四个象限符号确定. 【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角； 又为第二，四象限角 所以为第二象限角. 故选：B 15．(22-23高一上·安徽芜湖·期末)折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中， ，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）． 【详解】由已知，， 扇面面积为 故选：B． 16．(21-22高一下·四川凉山州宁南中学·开学考)设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据所在象限，求出的范围，即可得到的取值范围，从而判断所在的象限，再根据，即可得到，从而得解； 【详解】解：因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角； 故选：B 二、非选择题 17．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度． 【答案】2 【分析】设扇形的圆心角和半径，由周长和面积建立方程组，解出圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则，则. 故答案为：2. 18．(23-24高一上·上海虹口区·)已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为某扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为. 故答案为：. 19．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 . 【答案】1 【分析】设扇形的半径为，然后根据题意列方程求出，再由扇形的面积公式可求得结果. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的周长为，圆心角为， 所以，得， 所以扇形的面积为. 故答案为：1 20．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知扇形的圆心角为2，半径为，则这个扇形的面积为 . 【答案】4 【分析】由扇形面积公式即可求解； 【详解】由面积公式：， 故答案为：4 21．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用扇形和三角形的面积的公式，即可求解. 【详解】如图，取中点，易知，因为，， 所以，，故， 又劣弧所在扇形的面积为， 所以图中面积较小的弓形区域的面积为， 故答案为：. 22．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由条件，根据圆心角的弧度数与弧长和半径的关系列方程求，结合扇形面积公式求结论. 【详解】设圆心角为，则， 所以， 解得，所以，， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为：. 地 城 考点02 任意角的三角函数 一、单选题 23．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线（）上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的定义可求得，利用两角和的正切公式可求得，利用二倍角公式化为齐次式可求值. 【详解】在角的终边所在的射线上任意取一点， 所以，所以，解得， 所以. 故选： 24．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：B 25．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 【详解】由题意得， 所以. 故选：B 26．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由任意角三角函数定义可得答案. 【详解】注意到，则在单位圆上，则. 故选：A 27．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以 . 故选：D 28．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意列方程求解即可. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且， 所以，化简得， 因为，所以. 故选：B 29．(24-25高一上·江苏常州·期末)若为角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合三角函数的定义列方程求,再结合三角函数定义求. 【详解】因为为角终边上一点， 所以，由已知， 所以，故点的坐标为， 所以点到原点的距离为， 所以. 故选：A. 30．(24-25高一上·江苏镇江·期末)求值：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式直接计算可得结果. 【详解】易知. 故选：A 31．(24-25高一上·江苏镇江·期末)单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数定义即可计算得出点的坐标. 【详解】由三角函数定义可知， 所以. 故选：A 32．(22-23高一上·江苏扬州宝应中学·期末)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】先看充分性：当时，比如当时, , 显然不满足，充分性不成立； 再看必要性：当时，比如, 此时，但不满足，必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选:. 33．(23-24高一上·江苏南通海安·期末)若的终边与的终边垂直，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可得答案. 【详解】因为的终边与的终边垂直，且， 所以， 则. 故选：B. 二、多选题 34．(24-25高一上·江苏扬州·期末)下列三角函数值的符号为负的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据角所在的象限，确定三角函数值的正负. 【详解】A.的角的终边在第四象限，所以，故A正确； B.的角的终边在第二象限，所以，故B错误； C.弧度的角的终边在第二象限，所以，故C正确； D.的角的终边在第三象限，所以，故D错误. 故选：AC 三、非选择题 35．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知角的终边经过点，若角与的终边关于 对称（请在“轴”，“轴”，“原点”中任选一个填写），则 . 【答案】 轴或轴或原点（选填其中一个）； （当空1填轴时）；（当空1填轴时）；（当空1填原点时）； 【分析】根据三角函数定义计算出的值，再利用诱导公式计算可得结果. 【详解】由角的终边经过点可得； 若选择“轴”， 则可得角的终边经过点，因此可得； 所以； 若选择“轴”， 则可得角的终边经过点，因此可得； 所以； 若选择“原点”， 则可得角的终边经过点，因此可得； 所以； 故答案为：轴，；（或轴，；或原点，） 36．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 地 城 考点03 同角三角函数基本关系 一、单选题 37．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 38．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】通过商的关系，由弦化切即可求解； 【详解】， 故选：A 39．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 40．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 41．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：A. 二、多选题 42．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】整理可得，换元令，解得，即可得判断AB；可知为方程的两根，进而可得，即可判断CD. 【详解】因为， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去） 所以，，故A错误，B正确； 可知为方程的两根， 由解得， 可知或， 可得，故C正确； 或，故D错误； 故选：BC. 43．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据同角三角关系可得，进而分析判断. 【详解】因为，解得或， 且，则，可得. 可得，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 44．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中条件及平方关系式，解得，结合角的范围判断A；进而求得，可判断B，C；继而利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算即可判断D. 【详解】由和， 解得，因为， 则，所以为锐角，A正确； 则，即，C正确； 可得， 由，可知点在的终边上，B错误； 由,， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、非选择题 45．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得 . 故答案为： 46．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)设tan10°＝m，则＝ （结果用含m的式子表示）. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式可求答案. 【详解】 . 故答案为： 47．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数（）的所有零点为，则 ，所有零点的正切值的乘积为 . 【答案】 2 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，由求出，再求出对应正切即可得解. 【详解】依题意，，由，得， 解得，而函数在上单调递减，又， 因此函数的零点有2个，即； ， ， 所以. 故答案为：2； 【点睛】关键点点睛：利用韦达定理求出是求得的关键. 48．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 49．(24-25高一上·江苏苏州·期末)如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【详解】（1）因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. （2）因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 50．(24-25高一上·江苏镇江·期末)已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系和商数关系计算即可求得结果； （2）利用诱导公式以及齐次式化简求值即可. 【详解】（1）易知，即， 又，可得， 因为是第三象限角，所以， 因此 （2）显然， 代入计算可得， 因此. 51．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知. (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果. （2）由，且，得出，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ， ， . （2）， ， ， ， ， . 52．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知均为锐角，且. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的角差公式，二倍角公式计算. 【详解】（1）因为为锐角且， 所以， 因为，且， 所以 所以. （2），是锐角，则， 于是， 所以， 所以. 53．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角的终边经过点， (1)求值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，，利用诱导公式和同角三角函数关系得到； （2）添加分母，齐次化，化弦为切，代入求值即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以，，， 故 ； （2） . 54．(23-24高一上·江苏天一中学·期末)（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 55．(24-25高一上·江苏扬州·期末)在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. (1)若，求的值； (2)若，求的值及点的坐标. 【答案】(1) (2)点P的坐标为. 【分析】（1）根据单位圆的性质，以及三角函数的定义，求角的三角函数值，方法1，根据诱导公式化解，再代入三角函数值，即可求解；方法2，构造齐次分式，代入正切值求解； （2）方法1，首先将正切化为正弦和余弦，再根据同角三角函数基本关系式，结合三角函数的定义，即可求解；方法2，直接由同角三角函数基本关系式，求解和，即可求解. 【详解】（1）因为角与单位圆交于第四象限内的点， 所以，，，，， 由，得 法1： 法2：， （2）法1：， 因为，① 所以两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以，② 由①②解得：，， 所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为，① 且，② 所以由①②解得：，， 所以 点P的坐标为. 地 城 考点04 诱导公式 一、单选题 56．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】结合诱导公式和特殊角的余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 57．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断，利用平方关系求出的值，再利用诱导公式化简求解即可. 【详解】因为，所以 又因为，所以， 所以， ， 故选：A. 58．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】若，则， 若，则可能等于， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 59．(24-25高一上·江苏徐州·期末)如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 60．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式进行求解. 【详解】. 故选：A. 二、多选题 61．(24-25高一上·江苏南通·期末)下列结论正确的是（    ） A．的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．的最小正周期是的2倍 C．与的单调性一致，且零点相同 D．正切函数是增函数，且是奇函数 【答案】AC 【分析】由平移规则以及诱导公式可得A正确，根据周期公式可得B错误，由余弦函数性质可判断C正确，利用正切函数定义域以及图象可判断D错误. 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可以得到，即A正确； 对于B，的最小正周期是，而的最小正周期是； 因此的最小正周期是的倍，即B错误； 对于C，根据余弦函数图象性质可知与的单调性一致，且零点相同，即C正确； 对于D，正切函数在区间上单调递增，不是增函数， 其图象关于原点对称，是奇函数，因此D错误. 故选：AC 三、非选择题 62．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)如图，在直角坐标系中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交的延长线于点Q，使得，记，，且． (1)若，求的值； (2)已知函数，，记的最小值为．若，求m的值及此时的最大值． 【答案】(1) (2)；此时的最大值为 【分析】（1）由同角的三角函数关系求出，再由三角函数定义确定点坐标，再由面积关系得到点，然后由三角函数定义求出，最后结合诱导公式化简； （2）由同角的三角函数关系结合正弦函数的值域和换元法，利用二次函数的性质讨论对称轴的范围得到，从而可得. 【详解】（1），，则， 由三角函数的定义可得， 又，即，得， 所以，即，所以， 所以， （2）， 设，，则， 所以原函数化为，对称轴为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上，， 因为， 所以，解得； 或，解得（舍）或（舍）， 或，解得（舍）， 所以， 此时，，对称轴为， 所以当时，， 即此时的最大值为. 63．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知角的终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由任意角的定义即可求解； （2）由诱导公式及弦化切即可求解； 【详解】（1）由，可知：， 由任意角余弦定义可得：， 解得：， 所以； （2） . 64．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. (1)求的值. (2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义可得的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，结合齐次式求解即可得到结果. （2）根据诱导公式求得，利用齐次式求解即可. 【详解】（1）根据三角函数的定义得，， ∵角终边在第二象限，∴，故， ∴. （2）由题意得，， ∴，， ∴， ∴ . 65．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义求出，再由齐次式化切得解； （2由同角三角函数的基本关系，弦化切得解. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以， 原式 . （2）原式 66．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解法一：分析可得，根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出的值； 解法二：利用平方关系求出的值，分析得出，利用平方关系可求出的值； （2）解法一：利用诱导公式化简得出，根据（1）中、的值代入计算可得出的值； 解法二：利用诱导公式化简得出，根据（1）中的结果求出的值，代值计算可得出的值. 【详解】（1）解法一：因为，则， 因为，联立，得， 解得，所以. 解法二：因为，，所以， 所以，即， 因为， 因为，则，所以，，所以. （2）解法一：因为 ， 由（1）得，所以； 解法二： . 由，解得，，所以， 所以. 67．(24-25高一上·江苏南通·期末)设函数与在区间上的图象交于点. (1)求、； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，由已知可得出，解出的值，可得出的值，进而可得出的值； （2）由已知可得出，利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值. 【详解】（1）由题意可得，则， 即，整理可得， 即， 因为，则，解得， 所以，，, （2）因为， 所以， . 68．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点. (1)若，求的值； (2)若且，设函数.求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据三角函数的定义即可求和的值，再根据化简即可求值； (2)利用三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可. 【详解】（1）当，，， （2）当，则，， . 所以函数的增区间为： ， 解得 . 故增区间为 . 69．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意. （2）由（1）得若，则， 所以. （3）由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 70．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)（1）计算； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可； （2）根据已知求出，再利用诱导公式化简所求即可得解. 【详解】（1）原式 ； （2）因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 则， 所以. 71．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期末)已知是关于的方程的两个根. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据韦达定理，结合同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式和立方和公式求解可得； （2）根据诱导公式和商数关系化简，结合（1）中结论可得. 【详解】（1）由已知原方程判别式，即，所以或. 因为，所以. 所以或（舍去）.所以. . （2） . 72．(22-23高一上·江苏宿迁·期末)在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据单位圆的定义，求，再根据三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，以及诱导公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，且，则， 所以，， ； （2），， 原式. 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数的定义与诱导公式 4大高频考点概览 考点01 任意角和弧度制 考点02 任意角的三角函数 考点03 同角三角函数基本关系 考点04 诱导公式 地 城 考点01 任意角和弧度制 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 4．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知扇形的圆心角为，面积为4，则扇形的周长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 8．(24-25高一上·江苏南通·期末)若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 9．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 11．(24-25高一上·江苏扬州·期末)在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 12．(24-25高一上·江苏镇江·期末)《九章算术》中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是说：现有一块扇形田，弧长30步，扇形所在圆的直径为16步，则这块扇形田的面积（单位：平方步）是（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 13．(23-24高一上·山东德州·期末)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 14．(22-23高一上·北京朝阳区·期末)若角满足，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 15．(22-23高一上·安徽芜湖·期末)折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中， ，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 16．(21-22高一下·四川凉山州宁南中学·开学考)设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、非选择题 17．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度． 18．(23-24高一上·上海虹口区·)已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 . 19．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 . 20．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知扇形的圆心角为2，半径为，则这个扇形的面积为 . 21．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为 . 22．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ． 地 城 考点02 任意角的三角函数 一、单选题 23．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线（）上，则的值是（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 26．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高一上·江苏常州·期末)若为角终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 30．(24-25高一上·江苏镇江·期末)求值：（   ） A． B． C． D． 31．(24-25高一上·江苏镇江·期末)单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．(22-23高一上·江苏扬州宝应中学·期末)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 33．(23-24高一上·江苏南通海安·期末)若的终边与的终边垂直，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 34．(24-25高一上·江苏扬州·期末)下列三角函数值的符号为负的有（   ） A． B． C． D． 三、非选择题 35．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知角的终边经过点，若角与的终边关于 对称（请在“轴”，“轴”，“原点”中任选一个填写），则 . 36．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 地 城 考点03 同角三角函数基本关系 一、单选题 37．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)设，则（   ） A． B． C． D．1 38．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)设，则（   ） A． B． C． D．1 39．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 40．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 41．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 42．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 44．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知，则下列说法正确的有（    ） A．为锐角 B．点在的终边上 C． D． 三、非选择题 45．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)已知，则 ． 46．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)设tan10°＝m，则＝ （结果用含m的式子表示）. 47．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数（）的所有零点为，则 ，所有零点的正切值的乘积为 . 48．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)若，且，则 . 49．(24-25高一上·江苏苏州·期末)如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. (1)若的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 50．(24-25高一上·江苏镇江·期末)已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 51．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知. (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 52．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知均为锐角，且. (1)求的值： (2)求的值. 53．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知角的终边经过点， (1)求值； (2)求的值. 54．(23-24高一上·江苏天一中学·期末)（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 55．(24-25高一上·江苏扬州·期末)在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点. (1)若，求的值； (2)若，求的值及点的坐标. 地 城 考点04 诱导公式 一、单选题 56．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．4 57．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 58．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 59．(24-25高一上·江苏徐州·期末)如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 60．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 61．(24-25高一上·江苏南通·期末)下列结论正确的是（    ） A．的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．的最小正周期是的2倍 C．与的单调性一致，且零点相同 D．正切函数是增函数，且是奇函数 三、非选择题 62．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)如图，在直角坐标系中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交的延长线于点Q，使得，记，，且． (1)若，求的值； (2)已知函数，，记的最小值为．若，求m的值及此时的最大值． 63．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知角的终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. 64．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. (1)求的值. (2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 65．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值 66．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 67．(24-25高一上·江苏南通·期末)设函数与在区间上的图象交于点. (1)求、； (2)若，求的值. 68．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点. (1)若，求的值； (2)若且，设函数.求的单调递增区间. 69．(24-25高一上·江苏无锡天一中学·期末)已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 70．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)（1）计算； （2）已知，，求的值. 71．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期末)已知是关于的方程的两个根. (1)求的值； (2)求的值. 72．(22-23高一上·江苏宿迁·期末)在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. (1)求； (2)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $