精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

六安一中2025年秋学期高一年级期中考试 数学试卷 命题人：王跃审 题人：张锋王颖 满分：150分 时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 45 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数具有下列性质（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在定义域内是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数值域为 6. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（ ）. A. 且 B. C. 且 D. 8. 全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数一定为偶数； ④若，则 其中正确命题的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 式子可表示自变量为，因变量为的函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 若，则 D. 与是同一函数 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 11. 已知函数，若方程有四个不同的解，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 函数有3个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若 (且)，则等于_________ 13. 已知是奇函数，且.若，则__________. 14. 已知，则最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15 已知集合. （1）记，若是的充分必要条件，求的值； （2）若，求. 16. 已知函数为一次函数，且 （1）求出的解析式； （2）在同一坐标系内画出两函数的图像； （3），用表示中的较大者，记为，请用分段函数表示的解析式并求的最小值. 17. 已知函数. （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）当时，解关于的方程：； （3）若,求时，的值域. 18. 已知的定义域为.且当时，. （1）求的值； （2）判断在上单调性并给出证明； （3）若，且，求的取值范围. 19 已知函数. （1）当时，求的单调递增区间； （2）若的图象关于点中心对称，求的值； （3）设，若，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025年秋学期高一年级期中考试 数学试卷 命题人：王跃审 题人：张锋王颖 满分：150分 时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解. 【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 5. 已知函数，则函数具有下列性质（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在定义域内是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用函数的对称性可判断AC；利用单调区间的特征可判断B；利用分离常数法可判断D. 【详解】因为， 所以， ， 故的图像关于对称，不关于对称，从而AC错误； 由题意，的定义域为，而单调区间不能用“”连接，故B错误； 因为，， 所以值域为，故D正确. 故选：D. 6. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，即可判断选项. 【详解】A.，因为，所以，即，故A正确， B.，所以，故B正确， C. ，当，时，，此时，故C不一定成立， D. ，因为，所以，即，故D正确. 故选：C 7. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（ ）. A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定的值，研究幂函数的定义域，奇偶性及在上的单调性，利用单调性解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，即，解得. 因为，所以的可能取值为1，2. 因为幂函数为偶函数，须满足指数为偶数. 当时，，是偶数，符合条件； 当时，，是奇数，不符合条件， 所以，所以不等式为①. 因为幂函数的定义域为， 且对于定义域内的任意，都有， 所以幂函数是偶函数，且在上单调递减. 所以①式可化为②， 将两边平方可得， 即，即，解得， 所以②式为，解得且， 故选：C 8. 全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由条件分析出当时，还有另外的7个元素，，也在S中，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称， 所以当时，则有， 进而有，. 对于①，若，则，故①正确； 对于②，若，则，，则S中能确定4个元素， 故②不正确； 对于③，若，当时，S中能确定4个元素； 当时，S中也能确定4个元素；当时，S中能确定8个元素； 所以当，则S中元素的个数一定为偶数，故③正确； 对于④，若， 由S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴､轴和直线均对称可知， ， ，即， 故④正确.综上，①③④正确. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 式子可表示自变量为，因变量为的函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 若，则 D. 与是同一函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】求解函数的定义域即可判断A；考虑函数在处是否有定义，即可判断B；求出，进而求出，即可判断C；根据同一函数的概念即可判断D. 【详解】对于A选项，对于函数，要使函数有意义， 须满足，此不等式组无解，故A错误； 对于B选项， 当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点； 当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有1个交点， 所以，函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C选项，因为，则，故， 故C正确； 对于D选项，函数与的定义域均为，且对应关系相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为6 D. 的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，即可判断A；利用条件及，求出的最大值，即可判断B；利用“1”的变形及基本不等式求出的最小值，即可判断C；利用条件及基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 因为，所以， 即，当且仅当时等号成立，故B正确； 由得，所以， 因为， 所以，当且仅当， 即时等号成立，故C正确； 因为，当且仅当， 即等号成立，所以的最小值为4，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，若方程有四个不同的解，则下列说法正确的有（ ） A. B. C D. 函数有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过研究函数的性质，做出函数和的图象.求出，再结合函数图象得到，即可判断A；当时，求出使成立的值，即可得到的范围，即可判断B；先证明当时，的图像关于对称，进而得到，将转化成关于的二次函数求出其最值，即可判断C；令，求出当时，即，再求出方程的根，即可判断D. 【详解】当时，设，则 函数， 当且仅当，即，即时，函数取最小值0. 又由对勾函数的性质可知，函数在单调递减，在单调递增； 当时，函数的图象是开口向上的抛物线， 其对称轴为，顶点坐标，与轴交点. 综上，作出和的图象，如图所示： 当时，. 因为存在使得， 所以，故A正确； 由图示可知关于对称，所以，所以. 令，即，解得或. 所以由图可知，故B正确； 因为当时，， 所以，， 所以时，的图像关于对称， 所以关于对称，所以，即，所以， 所以， 因，所以，故C错误； 令，由图可知当时，即， 解得，共3解，所以函数有3个零点， 故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 若 (且)，则等于_________ 【答案】##0.2 【解析】 【分析】将题中所给的指数式换成对数式，根据对数运算法则可得. 【详解】由得 所以，所以，所以loga. 故答案为：. 13. 已知是奇函数，且.若，则__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】设，由是奇函数得到，令求出，即可求出. 【详解】设. 因为是奇函数，所以， 即，所以. 将代入上式可得，因为，所以， 所以. 故答案为：-2 14. 已知，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件将变形为，令（），则原式可化为，利用对勾函数在上的单调性求出最小值，即可得解. 【详解】①． 由得，则②， 将②代入①可得③． 令，则. 因为（当且仅当时等号成立），所以. 所以③可化， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递增， 所以函数在时取到最小值， 所以 所以的最大值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 已知集合. （1）记，若是的充分必要条件，求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由是的充分必要条件，分析出，再根据韦达定理列出方程，求出的值，即可得解； （2）将原不等式转化为，再根据和1的大小关系讨论，即可求出不等式的解集. 【小问1详解】 由是的充分必要条件，可得， 所以1和5是方程的两根，且， 所以由韦达定理可得，解得， 所以； 【小问2详解】 当时，原不等式为， 即，即. 当时，，不等式的解为； 当时，，原不等式化为，不等式无解； 当时，，不等式的解为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为. 16. 已知函数为一次函数，且 （1）求出的解析式； （2）在同一坐标系内画出两函数的图像； （3），用表示中的较大者，记为，请用分段函数表示的解析式并求的最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）配凑法求函数解析式即可； （2）利用一次函数图象画法和一元二次函数图象画法画出两个函数图象即可； （3）根据新函数定义结合图象即可得出结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 由图可知，两函数图象的交点坐标分别为， 又， 所以， 且. 17. 已知函数. （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）当时，解关于的方程：； （3）若,求时，的值域. 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系来判断的奇偶性； （2）可利用换元法，令简化计算； （3）可利用换元法，令，再结合的范围与函数单调性求解； 【小问1详解】 为偶函数. 【小问2详解】 由,令,则有, 得或（舍） 即解得. 【小问3详解】 ,令,则有： , 得,即的值域为. 18. 已知的定义域为.且当时，. （1）求的值； （2）判断在上单调性并给出证明； （3）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）通过赋值得到； （2）利用单调性的定义判断和证明即可； （3）根据将不等式变形为，然后利用赋值的思路得到，即可将不等式变形为，最后利用单调性解不等式即可. 【小问1详解】 令，得，解得. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 不妨设，所以 ， 又，所以，所以，所以，即， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 因为，所以， 即， 取，得，解得， 所以，， 又因为在上单调递减.所以，即得，所以或. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调递增区间； （2）若的图象关于点中心对称，求的值； （3）设，若，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间是和； （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式列出分段函数转化解析式，根据分段函数确定单调性即可； （2）由对称性得，分，确定的值； （3）将不等式转化为在上满足，方法一：讨论，，，，时，确定函数的单调性得最值；方法二：因为时，且，可得，故，满足缩小的范围，再讨论时，函数的单调性得最值即可得结论. 【小问1详解】 时，， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，单调递增， 综上，的增区间是和； 【小问2详解】 由，对任意实数恒成立， 得， 当时，， 当时，有，得，； 【小问3详解】 ， 方法一：对任意实数恒成立， 因此需在上满足， ①当时，在上单调递增， ，因此，解得，舍去； ②当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 因此，解得，因此； ③当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 因此，解得，因此； ④当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， 因此， 因此，解得，因此； ⑤当时，在上单调递增， ，， 因此，解得，舍去.综上，. 方法二：对任意实数恒成立， 因此需在上满足， 即， 因为时，且， 因此，所以在上恒成立， 因此，即，解得. 图象如图所示： ①若在上单调递增，在上单调递减， ，解得，因此； ②若在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而，所以符合题意. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $