第二十一章一元二次方程单元检测题2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元检测题 一、单选题 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知n是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．某果园2022年水果产量为年水果产量为，设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 7．在赣州古城墙文化展示区，有一面模拟古城墙墙面的矩形装饰板，长、宽．装饰板上有一块关于赣州宋城文化介绍的矩形展示区（图中阴影部分），展示区的上面和左右两边都留有宽度为x（单位：）的空白区域，用于绘制古城墙相关图案．若矩形展示区的面积为，则以下方程正确的是（  ） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（  ） A．若方程是半根方程，则； B．一元二次方程是半根方程；． C．一元二次方程是半根方程； D．如果一元二次方程是半根方程，则系数满足． 10．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．关于的一元二次方程的两个根分别，则 ． 12．将一元二次方程配方后得到，则a的值为 ． 13．2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）采用双循环赛制（每两队之间比赛两次），已知南区小组赛共进行了30场比赛，若南区共有x支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，可列方程为 ． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 15．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则 ； （2）若，求 ． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．第届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件元时，每天可售出件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． (1)设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售________件；（用含x的代数式表示） (2)当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利元？ 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根大于3，求的取值范围． 19．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”_______． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月份保持前两个月的月增长率不变，该经销商月份的头盔销售量能否超过个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十一章 一元二次方程 单元检测题2023-2024学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D B B A D B 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：A．此方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B．此方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C．此方程是一元二次方程，故选项C符合题意； D．是多项式，不是方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是理解根的定义． 利用方程根的定义，将n代入方程后直接变形求解． 【详解】解：∵n是方程的根， ∴， ∴， 则的值为 3， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．根据年平均增长率的定义，从2022年到2024年经历了两年增长，因此2024年产量等于2022年产量乘以的平方． 【详解】解：∵2022年产量为，年平均增长率为x， ∴2023年产量为， 2024年产量为． 又∵2024年产量为， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握关于x的一元二次方程的两个根满足是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和与两根之积），结合给定的倒数之和条件，直接求解出p的值． 【详解】解：方程 的两根为 ， ，， 又 ， 即 ， ， 解得 ． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程根的情况是解本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知矩形展示区的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式 ，代入系数计算即可． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键． 根据“半根方程”的定义（一根是另一根的一半），验证各选项．选项B和C的方程根不满足半根关系；选项A中推导出的关系式不成立；选项D通过根与系数关系推导出正确结论． 【详解】解：A：方程的根为和， 若为半根方程，则或，代入均不为零，故错误． B：方程的根为和，不满足半根关系，故错误． C：方程的根为和，不满足半根关系，故错误． D：∵设方程两根为和，且， 根据根与系数关系：，， 则，即， 又，即， 则，整理得：， 故，∴选项D正确． 因此，只有D正确． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【详解】解：原方程化简为， 移项得， 配方得，即， 但步骤②直接写为，即加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴ 错误从步骤②开始． 故选：B． 11． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系的应用．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再代入所求表达式进行变形后的式子中计算． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，， 根据根与系数的关系，有： ， ． 则 ． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较常数项求值即可． 【详解】解：配方后得到，展开左边得，即； 与原始方程比较，得； 故答案为． 13． 【分析】本-题考查一元二次方程的应用，双循环赛制下，每两队之间比赛两场，总比赛场次等于球队数x与的乘积，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，总场次为30， 故可列方程为， 故答案为：． 14．且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程有实数根的条件，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零计算即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴． 又∵方程有实数根， ∴判别式， 解得 ， 综上，且． 故答案为：且． 15． 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程； （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， 或， 解得，； （2）解：， 移项，得： 因式分解，得：， 于是得：或， 所以，，． 17．(1) (2)当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，列代数式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据每件玩偶套装降价x元，用x的代数式表示出每天可销售件数； （2）根据题意，列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每件玩偶套装降价x元， ∵每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件， ∴每天可销售件， 故答案为：． （2）由题意可得：， ， ， ， 为了尽快减少库存， ， 答：当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元． 18．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 19．(1) (2)，互为倒数，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根或，即，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，，， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根为． ∴， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”， 即的两根为， 则， 即中或， ∴该方程的解为． 利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为， 故答案为． 20．(1) (2)不能 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据月份销售个，月份销售个，列出一元二次方程，解方程取其正值即可； （2）求出该经销商月份的头盔销售量，再比较即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：由题意得：（个）， ∵， ∴该经销商月份的头盔销售量不能超过个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $