专题01 走进几何世界重难点题型专训（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学单元复习讲义通过框架图、分类表格及立体图示系统梳理几何知识体系，涵盖立体图形分类、棱柱概念，三视图的表格对比及展开图的11种分类与相对面判断方法，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于13大题型分层设计，结合经典例题与即时训练，如“补一个面使图形围成正方体”培养空间观念，“由展开图计算体积”提升几何直观，拓展训练与自我检测支持分层提升，助力教师实施精准教学。

专题01 走进几何世界重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 组合几何体的构成 题型二 几何体中的点、棱、面 题型三 从不同方向看几何体 题型四 平面图形形状的识别 题型五 几何体展开图的认识 题型六 正方体几种展开图的识别 题型七 由展开图计算几何体的表面积 题型八 由展开图计算几何体的体积 题型九 补一个面使图形围成正方体 题型十 用七巧板拼图形 题型十一 点、线、面、体四者之间的关系 题型十二 平面图形旋转后所得的立体图形 题型十三 截一个几何体 拓展训练一 几何体中的点、棱、面综合 拓展训练二 几何体展开图计算表面积、体积 拓展训练三 平面旋转后所得的立体图形相关计算 知识点一：立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）下列图形中不是柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·单元测试）柱体包括 和 ，锥体包括 和 ． 知识点二：三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是由5个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）请你写出一个左视图与俯视图相同的立体图形，这个立体图形是 ． 知识点三：图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　） A．长方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，在方格图中已经有五个方格涂成阴影，请从①②③④个方格中选一个涂成阴影，使得涂成阴影的部分组成正方体的展开图，则应该涂成阴影的方格是 ．    【经典例题一 组合几何体的构成】 【例1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（24-25七年级上·江苏连云港·单元测试）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【经典例题二 几何体中的点、棱、面】 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是． (1)这个棱柱共有________顶点； (2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________； (3)这个棱柱的侧面积是________． 【经典例题三 从不同方向看几何体】 【例3】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若干桶方便面摆放在桌子上，从不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（    ） A．9桶 B．8桶 C．7桶 D．6桶 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，下图是从正面看和从上面看的图形，则组成这个图形最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）根据下列从三个方向看到的几何体的形状图（如图），填上对应几何体的名称： 图（1）所对应的几何体是 ；图（2）所对应的几何体是 ． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【经典例题四 平面图形形状的识别】 【例4】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）构成如图所示图案的平面图形是（    ） A．三角形和扇形 B．四边形和圆 C．圆和三角形 D．圆和扇形 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为 ．    4．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图所示的四个图形①，②，③，④是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4（顶点为A，B，C，D），边数为5（象，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠），区域数为2（它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域）． (1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表（图形①已填好）． 图形标号 顶点数V 边数E 区域数F ① 4 5 2 ② 5 ___________        3 ③ ___________        9 4 ④ 7 ___________        6 (2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数V，边数E，区域数F之间有什么关系？ (3)现已知某一个平面图形的顶点数V是2024，区域数F比顶点数V多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数E是多少？ 【经典例题五 几何体展开图的认识】 【例5】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 1．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）图1是边长为的正方形纸片，四个角都切去边长为的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒如图2，下列说法错误的是（   ） A． B．该无盖的长方体纸盒的表面积是 C．当时，图2为无盖的正方体纸盒 D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 2．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）根据下列表面展开图写出这些立体图形的名称： （1）                 （2）             （3） 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 【经典例题六 正方体几种展开图的识别】 【例6】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下面图形能折成一个正方体的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，一个无盖的正方体盒子，图1是它的一种展开图，请在图2，图3中分别画出另外两种不同的展开图． 【经典例题七 由展开图计算几何体的表面积】 【例7】（24-25七年级·江苏南京·单元测试）一个六棱柱，底面边长都是厘米，侧棱长为厘米，这个六棱柱的所有侧面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 3．（2025七年级上·江苏常州·专题练习）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片 块． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图是一个几何体的侧面展开图． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 【经典例题八 由展开图计算几何体的体积】 【例8】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 升．（接头处忽略不计）（取） 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 ． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）同学们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)如图1，把它折成无盖正方体纸盒后，与点重合的是点___________，与边重合的是边___________； (2)如图2，有一张长为40cm，宽为25cm的长方形废弃宣传单，将其四角各剪去一个小正方形（用实线表示剪切线，虚线表示折痕），折成无盖的长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积为多少？ 【经典例题九 补一个面使图形围成正方体】 【例9】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有 种添法． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 4．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（填出两种答案） 【经典例题十 用七巧板拼图形】 【例10】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，用如图1所示的七巧板拼图2所示的平行四边形和长方形，下列说法正确的是（    ） A．能拼成平行四边形，不能拼成长方形 B．能拼成长方形，不能拼成平行四边形 C．既能拼成长方形，也能拼成平行四边形 D．既不能拼成长方形，也不能拼成平行四边形 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图，若七巧板中标有5的小正方形的面积，则图中标有3的平行四边形的面积的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    4．（2025·江苏盐城·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【经典例题十一 点、线、面、体四者之间的关系】 【例11】（24-25七年级上·江苏常州·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）生活中有下列两个现象，对于这两个现象的解释正确的是（    ） 现象1：打靶瞄准 现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线 A．均用“两点之间线段最短”来解释 B．均用“两点确定一条直线”来解释 C．现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释 D．现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）固定圆规的针，轻轻转动可在白纸上画圆，用数学知识解释为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，①面数较多的立体图形就是多面体；②长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；④棱锥底面边数与侧棱数相等；⑤直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑥棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑦圆锥和圆柱的底面都是圆；⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的序号是 ． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【经典例题十二 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例12】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）将如图所示的长方形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空． 对应 ，对应 ，对应 ． 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 【经典例题十三 截一个几何体】 【例13】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）用一个平面去截如图的三棱柱，其截面的边数最多是（    ）． A．四 B．五 C．六 D．七 1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，一个密闭圆柱形玻璃容器中持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，则水平面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，用一个平面截长方体，截面的形状是 ． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像能精准看到内部细节．已知一个物体外形是圆柱体，如图1所示．为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图2），则这个物体的内部构造可能为一个 体． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的正方体被竖直截取了一部分： (1)画出被截取几何体图形，并写出名称． (2)求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积底面积高） 【拓展训练一 几何体中的点、棱、面综合】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【拓展训练二 几何体展开图计算表面积、体积】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）用若干大小相同棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体； (2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可） (3)如图几何体的表面积为： ． 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？ (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案） 3．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 【拓展训练三 平面旋转后所得的立体图形相关计算】 1．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）在直角三角形中，两条直角边（较短的边）分别为，斜边长（最长的那条边）为，若绕其一边所在的直线旋转一周．（①结果保留，②你可能用到的公式：，） (1)如果绕着它的直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是 ． (2)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周，求出所形成的几何体的体积． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗? 如果不相等，哪个体积大?（π取3） 3．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形． (1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）； (2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）用一个平面去截下列几何体，则截面形状不可能是三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按如图的方式截一个圆柱，截面图形是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图，这是一个由7个相同的正方体组成的立体图形，从正面、左面、上面看该立体图形得到的平面图形的面积分别为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状，这个几何体最多的个数有 个． 7．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“4”对面的数字是 ． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知柱体的体积，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．如图，现将长方形绕边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积为 ．（结果保留π） 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为 ． 11．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体．请在如图所示的网格中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 12．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    13．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图①所示的三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． (1)该三棱柱的表面展开图的一部分如图②所示，请将它补全； (2)要将该三棱柱沿某些棱剪开展开成一个平面图形，至少需要剪开几条棱？需剪开棱的棱长的和最大为多少厘米？ 14．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 15．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 走进几何世界重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 组合几何体的构成 题型二 几何体中的点、棱、面 题型三 从不同方向看几何体 题型四 平面图形形状的识别 题型五 几何体展开图的认识 题型六 正方体几种展开图的识别 题型七 由展开图计算几何体的表面积 题型八 由展开图计算几何体的体积 题型九 补一个面使图形围成正方体 题型十 用七巧板拼图形 题型十一 点、线、面、体四者之间的关系 题型十二 平面图形旋转后所得的立体图形 题型十三 截一个几何体 拓展训练一 几何体中的点、棱、面综合 拓展训练二 几何体展开图计算表面积、体积 拓展训练三 平面旋转后所得的立体图形相关计算 知识点一：立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）下列图形中不是柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的分类，根据柱体可分为圆柱和棱柱，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、图形是圆柱，是柱体，不符合题意； B、图形是正方体，是柱体，不符合题意； C、图形是圆锥，不是柱体，符合题意； D、图形是三棱柱，是柱体，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·单元测试）柱体包括 和 ，锥体包括 和 ． 【答案】 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 【分析】根据柱体，锥体的概念和定义解答即可． 【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，锥体包括圆锥和棱锥， 故答案为：圆柱和棱柱；圆锥和棱锥． 【点睛】本题考查了几何体的分类，几何体一般分为柱体、锥体和球，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形． 知识点二：三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是由5个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】 解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共3列，下面一层共有3个小正方形，上面一层中间一列和右边一列各有1个小正方形，即看到的图形为， 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）请你写出一个左视图与俯视图相同的立体图形，这个立体图形是 ． 【答案】球（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合常见几何体，写出一种符合题意的立体图形即可求解． 【详解】解：球的主视图与俯视图都是一个圆， ∴一个主视图与俯视图相同的立体图形可以是球， 故答案为：球（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 知识点三：图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　） A．长方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查立体图形的展开图，根据展开图还原立方体即可，熟练掌握常见立体图形的展开图是解题的关键． 【详解】解：由展开图可知：几何体的上下两个底面为三角形，三个侧面为长方形， 故立体图形为三棱柱； 故选B． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，在方格图中已经有五个方格涂成阴影，请从①②③④个方格中选一个涂成阴影，使得涂成阴影的部分组成正方体的展开图，则应该涂成阴影的方格是 ．    【答案】① 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的展开图的特点．根据正方体的展开图特点进行求解即可． 【详解】解：若涂成阴影的方格是①，可以折叠成正方体，符合正方体表面展开图的“型”的特征，因此涂方格①可以； 若涂成阴影的方格是②，不能折叠成正方体，正方体表面展开图的“田凹应弃之”，因此涂方格②不可以； 若涂成阴影的方格是③，不能折叠成正方体，正方体表面展开图的“田凹应弃之”，因此涂方格③不可以； 若涂成阴影的方格是④，不能折叠成正方体，正方体表面展开图中不可能出现“型”，因此涂方格④不可以． 故答案为：①． 【经典例题一 组合几何体的构成】 【例1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下面四个立体图形中，只由一个面就能围成的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据各立体图形的构成逐项判断即可. 【详解】解：A、六棱柱是由8个面构成的，此项不符合题意； B、四面体是由4个面构成的，此项不符合题意； C、球是由一个曲面组成，此项符题意 D、圆柱体是由两个底面和一个侧面组成， 故选：C． 【点睛】本题考查了立体图形的特点，掌握常见几何体的形状以及构成是解题关键. 1．（24-25七年级上·江苏连云港·单元测试）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 【经典例题二 几何体中的点、棱、面】 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 【答案】 7 15 【分析】本题主要考查了立体图形的特点，认识立体图形的特点是解题的关键．根据图形可知此图形它有7个面，15条棱． 【详解】解：由图可知：如图所示的五棱柱，它有7个面，15条棱． 故答案为：7，15． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为 ； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是． (1)这个棱柱共有________顶点； (2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________； (3)这个棱柱的侧面积是________． 【答案】(1)12 (2)18，96 (3)144 【分析】本题考查了认识立体图形．n棱柱的面是个，侧面是n个，棱是条，顶点是个，熟练掌握是解决问题的关键． （1）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点； （2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和； （3）运用底面周长乘以高即可得到侧面积． 【详解】（1）∵上下两个底面各有6个顶点， ∴（个）， ∴这个棱柱共有12个顶点， 故答案为：12个； （2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱， ∴（条）， ∴（）， ∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96， 故答案为：18，96； （3）∵侧面积等于底面周长乘高 ∴（）， ∴这个棱柱的侧面积是144． 故答案为：144． 【经典例题三 从不同方向看几何体】 【例3】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，四个选项中的图形分别可以看作圆锥、长方体、圆柱、球，根据从不同方向观察到的平面图形，逐项判断即可． 【详解】解：A．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形分别为三角形、圆形、三角形，不完全相同； B．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形分别为长方形、长方形、长方形，形状相同，但大小不同，所以不完全相同； C．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形分别为长方形、圆形、长方形，不完全相同； D．从正面、上面、左面观察，得到的平面图形均是圆形，完全相同； 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若干桶方便面摆放在桌子上，从不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有（    ） A．9桶 B．8桶 C．7桶 D．6桶 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向看几何体的视图，根据从不同面看到图形的特征求出每一部分方便面的桶数，最后求和即可． 【详解】解：从上面看，方便面一共分为三堆，如图中①②③： 结合“从正面看”和“从上面看”可知③有2桶， 结合“从左面看”和“从上面看”可知①有1桶， 结合“从正面看”和“从左面看”可知②有3桶， 故这一堆方便面总共有（桶）， 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）把若干个相同的小正方体在水平桌面上堆成一个大的立体图形，下图是从正面看和从上面看的图形，则组成这个图形最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体． 【答案】 9 13 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据不同方向看的图形确定小正方体的个数是解题的关键．结合从正面看和从上面看的图形，分析并画出组成这个图形需要小正方体最少和最多的情况，即可得出答案． 【详解】解：当组成这个图形需要小正方体最少时，从上面看的图形如下（正方形内的数字表示小正方体实际的层数）： 此时小正方体个数为（个）； 当组成这个图形需要小正方体最多时，从上面看的图形如下（正方形内的数字表示小正方体实际的层数）： 此时小正方体个数为（个）； ∴综上所述，组成这个图形最少需要9个小正方体，最多需要13个小正方体． 故答案为：9；13． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）根据下列从三个方向看到的几何体的形状图（如图），填上对应几何体的名称： 图（1）所对应的几何体是 ；图（2）所对应的几何体是 ． 【答案】 六棱柱 三棱柱 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，掌握不同方向看到的几何图形判断几何体的形状的方法是解题的关键． 根据不同方向看到的几何图形判断几何体的形状判断即可． 【详解】解：（1）从正面和左面看到的图形可知改几何体为柱体，根据上面看到的图形是六边形，即可判断出该几何体为六棱柱； （2）从正面和上面看到的图形可知该几何体为柱体，再结合从左面看到的图形是三角形，即可判定该几何体为三棱柱． 故答案为：六棱柱、三棱柱． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了从不同方向看物体，解题的关键是发挥空间想象能力，数形结合． （1）根据从这个几何体的三个不同方向看到的形状图即可； （2）在上面看的相应位置上，添加小正方体，使从左面和正面看不变，画图解决问题即可 【详解】（1）解：如图，从不同方向看， （2）解：如图， ∴最多加个小正方体， 故答案为：． 【经典例题四 平面图形形状的识别】 【例4】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义． 【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）构成如图所示图案的平面图形是（    ） A．三角形和扇形 B．四边形和圆 C．圆和三角形 D．圆和扇形 【答案】A 【分析】本题考查了基本平面图形的认识，根据基本平面图形的定义直接判断即可． 【详解】解：由图可知，构成该图案的平面图形是三角形和扇形（半圆）， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、三角形、正方形、长方形、梯形． 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为40和32，且四个阴影部分的周长为44，则长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，列代数式，代数式求值，长方形的性质，求出的长是解答此题的关键． 根据小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长可求出的长，再根据两正方形的周长可得和的长即可得出结论． 【详解】解：由图形可得：小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长，即4个的长，    即：， ， 长方形的长为，宽为， ， ∵， ， 长方形的周长为， 故答案为： 4．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图所示的四个图形①，②，③，④是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4（顶点为A，B，C，D），边数为5（象，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠），区域数为2（它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域）． (1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表（图形①已填好）． 图形标号 顶点数V 边数E 区域数F ① 4 5 2 ② 5 ___________        3 ③ ___________        9 4 ④ 7 ___________        6 (2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数V，边数E，区域数F之间有什么关系？ (3)现已知某一个平面图形的顶点数V是2024，区域数F比顶点数V多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数E是多少？ 【答案】(1)7，6，12 (2) (3)4048 【分析】（1）根据各个图形的特征以及“顶点数”，“边数”，“区域”的意义进行解答即可； （2）根据表格中“顶点数”，“边数”，“区域”之间的关系进行解答即可； （3）根据（2）的结论进行计算即可． 本题考查了新定义问题，正确理解定义的顶点，边数，区域的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为：7，6，12． （2）解：由（1）得，，， 故顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为：． （3）解：∵，区域数F比顶点数V多1， ∴， ∵， ∴． 【经典例题五 几何体展开图的认识】 【例5】（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知三棱柱的特征是解题的关键．根据侧面为三个长方形，底面为两个三角形，即可得到该几何体为三棱柱． 【详解】解：∵该几何体展开图侧面为三个长方形，底面为两个三角形， ∴该几何体为三棱柱， 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）图1是边长为的正方形纸片，四个角都切去边长为的小正方形后，翻折成一个无盖的长方体纸盒如图2，下列说法错误的是（   ） A． B．该无盖的长方体纸盒的表面积是 C．当时，图2为无盖的正方体纸盒 D．该无盖的长方体纸盒的所有棱长之和是个定值 【答案】D 【分析】本题考查棱柱有关的运算，根据图形的形状以及边长进行判断即可． 【详解】解：A.原正方形纸片的边长为，四个角都切去边长为的小正方形，所以，本选项正确，不符合题意； B.根据题意得出该无盖的长方体纸盒的表面积是，本选项正确，不符合题意； C.当时，，所以图为正方体，本选项正确，不符合题意； D.长方体的所有棱长之和为，不是定值，本选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）根据下列表面展开图写出这些立体图形的名称： （1）                 （2）             （3） 【答案】 圆锥 长方体 圆柱 【分析】本题考查几何体的展开图，根据常见几何体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）为圆锥，（2）为长方体，（3）为圆柱． 故答案为：圆锥，长方体，圆柱． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图1为一个长方体，，，M为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中三角形的面积为 ； 【答案】3 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点求出展开图的对应边长，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，在展开图中标出对应的点， 则，， 那么，三角形的面积为， 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)修正后所折叠而成的长方体中，写出所有与点A重合的点： ； (3)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积： 【答案】(1)见解析 (2)F、N (3)12 【分析】本题考查了平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算． （1）根据长方体展开图判断； （2）将展开图折叠成长方体，看与A重合的点即可； （3）由题意可知，此长方体的长、宽、高可分别看作、和，将数据代入长方体的体积公式即可求解． 【详解】（1）解：拼图存在问题，多了，如图： （2）解：修正后所折叠而成的长方体中，所有与点A重合的点：F、N； 故答案为：F、N； （3）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为、、 ， ∴体积为：． 故答案为：12． 【经典例题六 正方体几种展开图的识别】 【例6】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下面图形能折成一个正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，判断每个选项中的图形能否折叠成正方体．本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的各种形式是解题的关键． 【详解】 解： 不符合正方体展开图的任何一种形式，故A项错误． 属于正方体展开图的“”型，能折成正方体，故B项正确． 不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体，故C项错误． 不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体，故D项错误． 故选：B． 1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，具备空间想象能力是解决问题的关键．根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置解答即可． 【详解】解：根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置，B选项符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：“收”字分别放在“垃”、“圾”、“分”、“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键． 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，有一个正方体纸盒，其棱长为．小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形．将正方体纸盒剩余部分沿棱展开，得到的展开图周长最大是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，根据小明沿着同一顶点处的三条棱在三个面上分别剪掉了，和的三个长方形，分别画出图形，然后比较即可得到的展开图周长最大是，然后求解即可，掌握正方体侧面展开图是解题的关键． 【详解】解：如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， 如图， ∴得到的展开图周长是， ∵， ∴得到的展开图最大周长是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，一个无盖的正方体盒子，图1是它的一种展开图，请在图2，图3中分别画出另外两种不同的展开图． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图解题． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 【经典例题七 由展开图计算几何体的表面积】 【例7】（24-25七年级·江苏南京·单元测试）一个六棱柱，底面边长都是厘米，侧棱长为厘米，这个六棱柱的所有侧面的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据六棱柱侧面积的公式等于6个矩形面积之和，代入数据即可解出答案． 【详解】 底面边长都是，侧棱长为， 六棱柱侧面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的表（侧）面积，熟练掌握几何体侧面积的求法是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【详解】解：塑料膜的面积． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 3．（2025七年级上·江苏常州·专题练习）仓库里有如图四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）；从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或立方体）铁盒（不浪费材料）．甲型盒是由3种规格铁片焊接而成的表面积最大的铁盒，乙型盒是由2种规格铁片焊接而成的容积最小的铁盒．现在要分别做上述两种铁盒各100个，则至少需要②号铁片 块． 【答案】400 【分析】根据题意得出甲型盒是由两个①两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成，然后得出结论即可． 【详解】解：根据题意得，甲型盒是由两个①两个③和1个②焊接而成，乙型盒是由两个④和3个②焊接而成， （块）， 故答案为：400． 【点睛】本题主要考查简单几何体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图是一个几何体的侧面展开图． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)六棱柱 (2)18 【分析】本题考查了几何体的展开图以及几何体的表面积，六棱柱的侧面积等于六个矩形的面积． （1）根据几何体的表面展开图，可得出几何体是六棱柱； （2）由图可得侧面积等于六个矩形的面积． 【详解】（1）解：这个几何体的名称是六棱柱； （2）解：侧面积为：． 【经典例题八 由展开图计算几何体的体积】 【例8】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 升．（接头处忽略不计）（取） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的体积，掌握圆的周长及圆柱的体积公式是解题的关键． 设个水桶的底面直径为，则水桶的高为，根据“底面周长十直径=长方形的长”列方程并求解，再由圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解∶设个水桶的底面直径为，则水桶的高．根据题意，得 解得， 升 故答案为： 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图所示的是一个长方体的表面展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握长方体的表面展开图的特点是解题关键．先根据长方体的表面展开图求出原长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，原长方体的宽为，长为，高为， 则原长方体的体积是， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）同学们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)如图1，把它折成无盖正方体纸盒后，与点重合的是点___________，与边重合的是边___________； (2)如图2，有一张长为40cm，宽为25cm的长方形废弃宣传单，将其四角各剪去一个小正方形（用实线表示剪切线，虚线表示折痕），折成无盖的长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)，； (2)这个纸盒的体积为． 【分析】本题主要考查了正方体展开图的折叠以及长方体体积的计算，熟练掌握正方体展开图的特征和长方体体积公式是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒展开图的折叠特征，分析点和边的重合情况． （2）先确定折成的无盖长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体体积公式计算体积． 【详解】（1）解：观察展开图折叠情况，可得与点重合的是点，与边重合的是边, 故答案为：，； （2）解：因为纸盒的长：， 纸盒的宽：， 纸盒的高：， 所以体积：， 答：这个纸盒的体积为． 【经典例题九 补一个面使图形围成正方体】 【例9】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，根据正方体的展开图得出结论是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有 种添法． 【答案】4/四 【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可. 【详解】解：一共有以下4种添法： 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图. 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（填出两种答案） 【答案】见详解 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握正方体侧面展开图的形状是解题关键．直接利用正方体侧面展开图的形状分析得出答案． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 【经典例题十 用七巧板拼图形】 【例10】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，用如图1所示的七巧板拼图2所示的平行四边形和长方形，下列说法正确的是（    ） A．能拼成平行四边形，不能拼成长方形 B．能拼成长方形，不能拼成平行四边形 C．既能拼成长方形，也能拼成平行四边形 D．既不能拼成长方形，也不能拼成平行四边形 【答案】C 【分析】根据七巧板的拼法进行判断即可． 【详解】解：如下图所示， 由图可得，用如图1所示的七巧板既能拼成长方形，也能拼成平行四边形， 故选C． 【点睛】本题考查了七巧板的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图，若七巧板中标有5的小正方形的面积，则图中标有3的平行四边形的面积的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，又 ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解． 【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积， 由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8． 【经典例题十一 点、线、面、体四者之间的关系】 【例11】（24-25七年级上·江苏常州·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）生活中有下列两个现象，对于这两个现象的解释正确的是（    ） 现象1：打靶瞄准 现象2：燃放的烟花在天空形成美丽的弧线 A．均用“两点之间线段最短”来解释 B．均用“两点确定一条直线”来解释 C．现象1用“两点之间线段最短”来解释，现象2用“线动成面”来解释 D．现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的性质、直线的性质及点、线、面、体，熟知两点确定一条直线；点动成线是解题的关键．根据线段的性质、直线的性质及点、线、面、体解答即可． 【详解】解：现象1用“两点确定一条直线”来解释，现象2用“点动成线”来解释． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）固定圆规的针，轻轻转动可在白纸上画圆，用数学知识解释为 ． 【答案】点动成线 【分析】本题考查点、线、面、体及其相互关系，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是关键． 根据点、线、面、体之间的关系进行判断即可． 【详解】解：固定圆规的针，轻轻转动可在白纸上画圆，用数学知识解释为点动成线． 故答案为：点动成线． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，①面数较多的立体图形就是多面体；②长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；④棱锥底面边数与侧棱数相等；⑤直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑥棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑦圆锥和圆柱的底面都是圆；⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的序号是 ． 【答案】③④⑥⑦⑧⑨ 【分析】根据多面体的特征、棱柱的特征、圆锥的特征、面动成体等知识逐一判断即得答案． 【详解】解：①面数较多的立体图形不一定是多面体，如圆柱，故①说法错误； ②长方体是四棱柱，但四棱柱不一定是长方体，故②说法错误； ③长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，故③说法正确； ④棱锥底面边数与侧棱数相等，故④说法正确； ⑤直角三角形绕一直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，绕斜边旋转一周得到的立体图形是两个圆锥的组合体，故⑤说法错误； ⑥直棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，故⑥说法正确； ⑦圆锥和圆柱的底面都是圆，故⑦说法正确； ⑧由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体，故⑧说法正确； ⑨将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，故⑨说法正确； 综上，正确的结论是：③④⑦⑧⑨； 故答案为：③④⑥⑦⑧⑨． 【点睛】本题考查了多面体、棱柱、圆锥和面动成体等知识，熟知常见立体图形的特点是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【答案】647厘米 【分析】所需包装绳的长度等于4条高，4条直径，再加上接头处用的cm即可． 【详解】解： 底面直径：（厘米） （厘米） 答：至少需要647厘米的包装绳． 【点睛】本题考查圆柱体知识的实际应用．弄清楚所需包装绳长度的组成是解题关键． 【经典例题十二 平面图形旋转后所得的立体图形】 【例12】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）将如图所示的长方形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确判断的关键，根据“面动成体”结合旋转面的形状进行判断即可． 【详解】解：将长方形以一条边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱， 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 【答案】B 【分析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式；通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边（3厘米）为轴旋转一周，得到圆锥的体积最大；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答； 【详解】解： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积最大是50.24立方厘米； 故选：B 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）． 小圆柱的侧面积（平方厘米）． 待求几何体的表面积（平方厘米）． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空． 对应 ，对应 ，对应 ． 【答案】 a d e 【分析】根据面动成体的特点解答． 【详解】解：a旋转得到的图形为圆锥，b旋转得到的图形为圆台，c旋转得到的图形为上下两个圆锥组成的组合图形，d旋转得到的图形是上面是一个圆台，下面是一个圆柱组成的组合图形，e旋转得到的图形是上面是一个圆锥，下面是一个圆柱组成的组合图形， ∴A对应a，B对应d，c对应e， 故答案为：a，d，e． 【点睛】本题主要考查了面动成体的知识，具有良好的空间想象能力是解题的关键． 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 【答案】(1)圆柱 (2)旋转之后的立体图形体积为． 【分析】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． （1）根据面动成体解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：由题意可知，如图旋转的圆柱底面半径为，高为， ∴圆柱的体积为， 所以旋转之后的立体图形体积为． 【经典例题十三 截一个几何体】 【例13】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）用一个平面去截如图的三棱柱，其截面的边数最多是（    ）． A．四 B．五 C．六 D．七 【答案】B 【分析】本题考查了用平面截几何体． 一个平面去截几何体，其截面的边数最多是几何体的面数，据此作答即可． 【详解】解：三棱柱有五个面， 则用一个平面去截如图的三棱柱，其截面的边数最多是五． 故选：B． 1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，一个密闭圆柱形玻璃容器中持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，则水平面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了截一个几何体，掌握圆柱的截面形状是解题的关键．用一个平面去截圆柱，截面形状可以是长方形，椭圆，圆，即可得出答案． 【详解】解：用一个平面去截圆柱，截面形状可以是长方形，椭圆，圆，因此所得水平面形状可能是长方形，椭圆，圆，不可能出现平行四边形． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，用一个平面截长方体，截面的形状是 ． 【答案】三角形 【分析】本题考查用平面截长方体，观察图中的截面，即可得到截面的形状是三角形． 【详解】解：观察图形可知，用一个平面截长方体，截面的形状是三角形． 故答案为：三角形． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像能精准看到内部细节．已知一个物体外形是圆柱体，如图1所示．为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图2），则这个物体的内部构造可能为一个 体． 【答案】圆锥 【分析】本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．观察图形，除第四个图形外都是一条曲线，可以判断几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大；再由第四个图形内部是一个三角形，可推断这个几何体是圆锥，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，这个物体的内部构造可能为一个圆锥体， 故答案为：圆锥． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的正方体被竖直截取了一部分： (1)画出被截取几何体图形，并写出名称． (2)求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积底面积高） 【答案】(1)见解析，三棱柱； (2) 【分析】本题考查了截几何体，以及棱柱的面积公式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据图形画出被截取几何体图形，再写出名称即可； （2）由图形可知，被截取部分的形状为三棱柱，且底面为直角边为和的直角三角形，高为，再根据棱柱的体积计算即可． 【详解】（1）解：如下图为被截取几何体图形，是三棱柱； （2）解：由图形可知，被截取部分的形状为三棱柱，且底面为直角边为和的直角三角形，高为， 即被截取的那一部分的体积． 【拓展训练一 几何体中的点、棱、面综合】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)七棱柱 (2)有9个面，14个顶点 (3) 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有 条棱求解可得； （2）由棱柱有个顶点，有个面求解可得； （3）将侧面长方形的底面周长乘以长方形的宽可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以这个直棱柱是七棱柱． （2）解：因为这个直棱柱是七棱柱，所以它有9个面，14个顶点． （3）解：所有侧面的面积之和为． 答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 【答案】见解析 【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                  顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 【点睛】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 【拓展训练二 几何体展开图计算表面积、体积】 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）用若干大小相同棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题： (1)搭成满足如图所示的几何体最多需要 个小正方体，最少需要 个小正方体； (2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可） (3)如图几何体的表面积为： ． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据主视图和俯视图解答即可求解； （）根据主视图和俯视图解答即可求解； （）求出几何体的表面正方形个数，进而即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示的几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体， 故答案为：，； （2）解：画图如下： （3）解：从前后看各有个正方形，从左右看各有个正方形，从上下看各有个正方形， ∴几何体的表面共有个正方形， ∴几何体的表面积为， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为8厘米，宽为5厘米，高为2厘米，请计算制作一个该长方体纸箱需要多少平方厘米纸板？ (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图2-1所示，现有三种摆放方式（图2-2，2-3，2-4所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图3-2是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是________．（请直接写出答案） 【答案】(1)172 (2)面积分别为178平方分米，194平方分米，173平方分米；按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少； (3)50厘米，示意图见解析，62厘米． 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要172平方厘米纸板， 故答案为：172； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方分米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：62厘米． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）（1） 如图为一张边长为的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ① 画出纸盒展开示意图； ② 若四角各剪去一个边长为的小正方形，求纸盒的体积为 ______． （2） 如图为一块长、宽的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为 ______． （3） 小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ① 小明总共剪开了 ______ 条棱． ② 他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为，则纸盒的体积为 ______． 【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3） ① 8条棱，② 【分析】本题主要考查了几何展开图，一元一次方程的应用； （1）①画出示意图即可；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可； （2）根据长方形的面积减去4个边长为的正方形的面积即可得出盒子的表面积； （3）①根据平面图形得出剪开棱的条数； ②设最短的棱长高为，则长与宽相等为，根据棱长的和是，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积． 【详解】解：①在边长为的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 纸盒的体积为 （2） 盒子的表面积为 （3）①小明共剪了8条棱， 故答案为：8． ②∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴设最短的棱长高为，则长与宽相等为， ∵长方体纸盒所有棱长的和是， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为（）． 【拓展训练三 平面旋转后所得的立体图形相关计算】 1．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）在直角三角形中，两条直角边（较短的边）分别为，斜边长（最长的那条边）为，若绕其一边所在的直线旋转一周．（①结果保留，②你可能用到的公式：，） (1)如果绕着它的直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是 ． (2)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周，求出所形成的几何体的体积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了几何体的旋转，主要培养学生空间想象能力． （1）确定圆锥的高与半径即可求出体积； （2）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转，设斜边上的高为，利用三角形的面积法求出，确定圆锥的高与半径即可求出体积． 【详解】（1）解：绕着直角三角形的直角边旋转一周得到的几何体是圆锥， 故答案为：圆锥； （2）解：如图，设斜边上的高为， 由三角形面积可得， 解得， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体是上下两个圆锥组合在一起的图形，设上下圆锥的高分别为，则 ∴组合体的体积为． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将长和宽分别为和的长方形分别绕它的长和宽旋转一周，算一算，得到的两个几何体的体积相等吗? 如果不相等，哪个体积大?（π取3） 【答案】得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大 【分析】本题考查旋转平面图形形成几何体，长方形旋转一周得到圆柱，再根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：将长方形分别绕它的长和宽旋转一周，得到都是圆柱体， 将长和宽分别为和的长方形绕它的长旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为， 将长和宽分别为和的长方形绕它的宽旋转一周，得到圆柱底面半径，高，则体积为， 所以得到的两个几何体的体积不相等，绕它的宽旋转一周得到几何体的体积更大． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形． (1)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）； (2)当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念和体积计算公式是关键． （1）三角形绕着直角边所在直线旋转一周得到圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； （2）直角三角形绕着斜边所在直线旋转一周，得到两个扣在一起的圆锥． 【详解】（1）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到的几何体是底面半径，高为的圆柱体，如图1， 所以体积为； （2）当该三角形绕着长为的边所在的直线旋转一周，得到两个等底面的圆锥体的组合体，如图2，设边上的高为r， 因为 所以． 所以体积为 1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）用一个平面去截下列几何体，则截面形状不可能是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查截一个几何体，掌握截面的形状是正确判断的前提．利用截一个几何体的截面形状进行判断即可． 【详解】解：用一个平面去截一个圆柱体，无论怎样，其截面都不可能是三角形， 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按如图的方式截一个圆柱，截面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了截一个几何体，用竖直的平面截圆柱所得的截面为长方形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，截面的图形是一个长方形， 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图，这是一个由7个相同的正方体组成的立体图形，从正面、左面、上面看该立体图形得到的平面图形的面积分别为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从各个角度看几何体，分别得出面积是解题关键． 根据从正面看得到的图形，从上面看得到的图形，从左面看得到的图形计算面积的大小，可得答案． 【详解】解：几何体从正面看有个小正方形，故， 几何体从左面看有个小正方形，故， 几何体从上面看有个小正方形，故， 所以， 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的体积，几何体的展开图；根据几何体的展开图分两种情况：①圆柱体底面，，②圆柱体底面，，分别进行计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状，这个几何体最多的个数有 个． 【答案】 【分析】本题考查从不同方向看几何体的知识． 根据从正面看与从上面看，得到这个组合体中小正方体的个数最多时的形状即可． 【详解】解： 从上面看可知最左边有两排，右边有两个一排， 从正面看可知最左边有两排，右边有两个一排， 可知最多的个数如图： 即这个几何体最多的个数有（个）． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面图形的旋转体和圆柱的体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的体积，即可得出结果． 【详解】解：如图甲，圆柱的体积为， 如图乙，圆柱的体积为， 则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为． 故答案为： 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“4”对面的数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，准确分析判断是解题的关键． 通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系，来确定相对面的数字即可． 【详解】解：由题意可知： 的邻面有，，，， 的对面是， 对面的数字是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知柱体的体积，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．如图，现将长方形绕边所在直线旋转一周，则形成的几何体的体积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆柱体体积公式，根据已知得出柱体的底面面积是解题的关键． 利用圆柱体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：形成的几何体是高为h，底面圆的半径为的圆柱， ∴形成的几何体的体积为：， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】乙甲丙 【分析】本题考查了几何题的展开图，根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为， 乙所折成的无盖长方体的容积为， 丙所折成的无盖长方体的容积为， 所以从小到大排列顺序为乙甲丙， 故答案为：乙甲丙． 11．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体．请在如图所示的网格中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给的几何体的形状，画出从三个方向看到的图形即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 12．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，把一长方形在直线上翻滚，请在图中画出点所经过的路径．    【答案】     【分析】本题考查了点动成线以及利用圆规画图等知识，画图时找准两段弧的半径是解答本题的关键． 根据点动成线，找到两段弧的半径画弧即可解答． 【详解】解：如图所示：    13．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图①所示的三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形． (1)该三棱柱的表面展开图的一部分如图②所示，请将它补全； (2)要将该三棱柱沿某些棱剪开展开成一个平面图形，至少需要剪开几条棱？需剪开棱的棱长的和最大为多少厘米？ 【答案】(1)见解析 (2)至少需要剪开5条棱，需剪开棱的棱长的和最大为 【分析】本题主要考查的是认识立体图形． （1）利用三棱柱及其表面展开图的特点解题； （2）三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是4条，相减即可求出需要剪开的棱的条数． 【详解】（1）解：答案不唯一，如：如图所示； （2）解：由图形可知没有剪开的棱有4条，则至少需要剪开（条）棱，需剪开棱的棱长的和最大为． 14．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何体的体积和表面积公式，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据纸盒的表面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积，计算即可； （2）根据长方体的公式解答即可； （3）如图由题意，，可推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意知：该纸盒的表面积为； （2）解：由题意知：该纸盒的体积为， 当时，， 该纸盒的体积为； （3）解：如图， 由题意得：， ， ， ． 15．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 学科网（北京）股份有限公司 $