解题策略06：椭圆的标准方程12个题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的标准方程这一核心知识点，系统梳理从方程判定、参数范围求解、基本量计算，到焦点三角形问题、距离和差最值、轨迹方程求法的完整脉络，构建从基础定义到综合应用的学习支架，衔接圆与椭圆的关系，为圆锥曲线后续学习奠基。 资料亮点在于采用“四步”解题法（题意拆解、考点定位、思路构建、解法优化），通过分类讨论（如等腰焦点三角形面积）和几何转化（如距离最值用椭圆定义转化），培养数学思维的严谨性与推理能力。课中助力教师分层教学，课后例题变式与综合题帮助学生查漏补缺，强化数学语言表达规律。

解题策略06：椭圆的标准方程 题型01 判断方程是否表示椭圆 题型07 椭圆中距离和差最值问题 题型02 方程表示椭圆求参数范围 题型08 椭圆中焦点三角形周长问题 题型03 椭圆方程求基本量 题型09 椭圆中焦点三角形面积问题 题型04 由基本量求椭圆方程 题型10 椭圆中焦点三角形内切圆问题 题型05 由几何关系求椭圆方程 题型11 椭圆中参数方程的应用 题型06 椭圆上的点到焦点的距离问题 题型12 椭圆的轨迹方程求法 本节导航 题型01 判断方程是否表示椭圆 （24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知曲线，则（    ）经典例题例题 A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 四步 内容 题意 拆解 本题给出曲线方程（即），需根据、的不同取值，分析曲线是圆、椭圆还是其他图形，对四个选项逐一判断. 考点 定位 本题考查圆的方程、椭圆的定义与标准方程，涉及圆锥曲线类型的判定，属于圆锥曲线基础概念应用题型. 思路 构建 对每个选项，结合、的条件将方程转化为圆或椭圆的标准形式，利用定义判断；对于过点的选项，代入点坐标求解、后再分析. 解法 优化 若，曲线可化为，其表示半径为的圆，A正确； 当时，曲线可化为，表示椭圆，因为，所以其焦点在轴上，B错误； 对于C，依题意得解得则曲线为椭圆，C正确； 取，此时曲线，其表示两条直线，D错误. 故选：AC. 知识 总结 圆的标准方程：（），需与系数相等且为正. 椭圆标准方程：焦点在轴时（），焦点在轴时（），焦点在分母大的轴上. 判定曲线类型需分类讨论系数的符号、是否相等，注意系数为零的特殊情况. 考点1：圆的方程判定（、系数相等且正）. 考点2：椭圆标准方程与焦点位置判定（分母为正且不等，焦点在分母大的轴上）. 考点3：曲线过点的应用（代入点坐标求系数）. 考点4：系数为零（）时的曲线类型分析（直线情况）. （23-24高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于的方程表示的曲线为，以下说法正确的有（    ）小试牛刀2 A．若，，，则恒过定点 B．若，，，则表示圆 C．若，，，，则表示椭圆 D．若，，，，，则表示两条直线 （21-22高二·全国·课后作业）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ．小试牛刀3 题型02 方程表示椭圆求参数范围 （25-26高二上·重庆·阶段练习）方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B．或 C． D． 四步 内容 题意 拆解 题目给出椭圆方程，要求根据椭圆的定义，确定参数的取值范围. 考点 定位 本题考查椭圆的标准方程，核心考点是椭圆定义中“分母为正且不相等”的条件，属于圆锥曲线基础概念的应用题型. 思路 构建 椭圆的标准方程（）要求： 两个分母均为正数； 两个分母不相等（否则为圆）. 因此需列出关于的不等式组，求解其取值范围. 解法 优化 由于方程表示椭圆，所以， 解得或． 故选：B． 知识 总结 椭圆的标准方程有两种形式： 焦点在轴上：（）； 焦点在轴上：（）. 两者的共同核心条件是分母均为正数且不相等（若相等则为圆，不属于椭圆）. 考点1：椭圆标准方程的形式（含、的分式和为1）. 考点2：椭圆的判定条件（分母为正且不相等）. 考点3：根据椭圆方程求参数范围的不等式组构建方法. （25-26高二上·安徽·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．小试牛刀1 （25-26高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B．且 C． D． 题型03 椭圆方程求基本量 （24-25高二下·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左、右焦点分别为，点在的第二象限内，且满足，需求直线的斜率. 考点 定位 本题考查椭圆的定义、椭圆的基本性质（的关系及焦点坐标）、直线斜率的计算，属于椭圆定义与直线斜率的综合应用题型. 思路 构建 先根据椭圆方程求出，确定焦点的坐标； 利用椭圆定义，结合已知条件，联立求解和； 分析点的位置，结合焦点坐标，通过几何关系（如勾股定理）确定点的坐标，进而计算直线的斜率. 解法 优化 由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 知识 总结 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离和为常数（）的点的轨迹，满足. 椭圆的参数关系：，焦点在轴上时，焦点坐标为. 直线斜率公式：若两点为、（），则斜率. 解题技巧：可结合椭圆定义与三角形几何性质（如勾股定理），快速确定点的坐标，简化斜率计算. 考点1：椭圆基本参数（）及焦点坐标的求解. 考点2：椭圆定义（）的应用. 考点3：直线斜率的计算（两点间斜率公式）. 考点4：椭圆中三角形的几何性质（勾股定理判断直角三角形）. （24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·山东临沂·期中）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 题型04 由基本量求椭圆方程 （25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 题目要求求过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆标准方程，需结合“相同焦点”和“过定点”两个条件求解. 考点 定位 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的焦点性质（的计算）及待定系数法求椭圆方程，属于椭圆性质与方程求解的综合题型. 思路 构建 先求已知椭圆的焦点，确定新椭圆的和焦点位置； 设新椭圆的标准方程，利用“过点”的条件代入方程； 联立和代点后的方程，求解和. 解法 优化 设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 知识 总结 椭圆焦点性质：对于椭圆（），，焦点为；若焦点在轴上，方程为，焦点为. 待定系数法求椭圆方程：当已知焦点位置和焦点相关条件时，设出对应标准方程，结合过点等条件列方程求解和. 考点1：椭圆焦点的计算（及焦点坐标）. 考点2：椭圆标准方程的待定系数法求解（结合过点条件）. 考点3：椭圆方程中参数的取值范围（，）. （25-26高二上·湖南长沙·月考）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．小试牛刀1 （25-26高二上·黑龙江·期中）若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 小试牛刀3 题型05 由几何关系求椭圆方程 （25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足且，求椭圆方程. 考点 定位 本题考查椭圆的定义、向量垂直的性质（数量积为0）、椭圆的基本参数关系（）及方程求解，属于椭圆定义与向量、线段长度的综合题型. 思路 构建 利用线段比例关系确定，结合椭圆定义得到； 由向量垂直（）知为直角三角形，结合勾股定理； 联立椭圆定义和勾股定理的方程，求解，再由得，确定椭圆方程. 解法 优化 连接，由椭圆的定义有， ， 因为，所以， 在中，，即，解得， 在中，，即， 所以，解得，所以， 所以椭圆的方程为即. 故选：B    知识 总结 椭圆定义：（为椭圆上一点）. 向量垂直性质：若，则，可结合勾股定理. 椭圆参数关系：，已知可求进而确定方程. 考点1：椭圆定义的应用（）. 考点2：向量垂直的数量积性质（表示直角）. 考点3：椭圆基本参数的关系及方程求解. （25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·湖南湘西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ．小试牛刀2 （24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l与x轴的交点为，过点F1作于点N，，且的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为 .小试牛刀3 题型06 椭圆上的点到焦点的距离问题 （25-26高二上·河北衡水·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，为左右焦点，点在椭圆上运动，求的最小值. 考点 定位 本题考查椭圆的定义（）、均值不等式（基本不等式）的应用，属于椭圆与不等式的综合题型. 思路 构建 先根据椭圆方程求出，利用椭圆定义得到； 设，则，将所求式子转化为关于的函数； 结合均值不等式求该函数的最小值，注意验证等号成立条件及的取值范围. 解法 优化 因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 知识 总结 椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，即. 均值不等式（基本不等式）：若，则，当且仅当时取等号；对于分式型最值，常通过“乘1法”构造均值不等式的应用条件. 椭圆上点到焦点的距离范围：，需注意变量的取值范围对最值的限制. 考点1：椭圆的定义（）. 考点2：均值不等式（基本不等式）的应用（“乘1法”构造不等式）. 考点3：椭圆上点到焦点距离的取值范围（）. （25-26高二上·湖北·期中）设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（    ）小试牛刀1 A．14 B．16 C．18 D．20 （2025·云南昆明·模拟预测）已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是 ．小试牛刀3 题型07 椭圆中距离和差最值问题 （25-26高二上·重庆·阶段练习）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ）经典例题例题 A． B． C． D．3 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左焦点，椭圆上动点，直线上动点，求的最小值. 考点 定位 本题考查椭圆的定义（焦点距离和为）、点到直线的距离公式，属于椭圆定义与最值问题的综合应用题型. 思路 构建 利用椭圆定义将转化为与右焦点相关的距离； 将转化为含的式子； 结合几何性质，的最小值为右焦点到直线的距离，进而求解原式的最小值. 解法 优化 由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 知识 总结 椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，即（为椭圆的两个焦点）. 点到直线的距离公式：若点到直线的距离为，则. 最值转化技巧：对于形如的最值问题，可利用椭圆定义将其转化为含的形式，再结合点到直线的距离求解最小值. 考点1：椭圆的定义（的应用）. 考点2：点到直线的距离公式的应用. 考点3：最值问题的转化策略（利用椭圆定义将距离差转化为距离和）. （25-26高二上·陕西榆林·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为 ．小试牛刀1 （25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 .小试牛刀3 题型08 椭圆中焦点三角形周长问题 （25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左右焦点，上顶点，过且垂直于的直线交于B、C两点，求的周长. 考点 定位 本题考查椭圆的定义（椭圆上点到两焦点距离和为）、椭圆的基本性质（的计算、顶点与焦点坐标），属于椭圆定义与几何性质的综合应用题型. 思路 构建 先求椭圆基本参数，确定的坐标； 利用椭圆定义，将的周长转化为与相关的量； 结合椭圆上点的距离性质，推导周长的定值. 解法 优化 由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：.    知识 总结 椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，即（为椭圆上一点）. 椭圆顶点性质：上（下）顶点到两焦点的距离相等，当时，可结合椭圆定义简化周长计算. 考点1：椭圆的定义（的应用）. 考点2：椭圆基本参数的计算及顶点、焦点坐标的确定. 考点3：利用椭圆定义解决三角形周长问题的转化策略. （25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为 ．小试牛刀1 （24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ）小试牛刀2 A．20 B．10 C． D． （24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ）小试牛刀3 A．26 B．28 C．30 D．32 题型09 椭圆中焦点三角形面积问题 （25-26高二上·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ）经典例题例题 A． B． C．7 D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左右焦点，点在椭圆上，为等腰三角形，需分情况讨论等腰的边，求其可能的面积. 考点 定位 本题考查椭圆的基本性质（的计算、焦点坐标）、椭圆定义（）、等腰三角形的分类讨论、三角形面积公式,属于椭圆焦点三角形与等腰三角形的综合应用题型. 思路 构建 先计算椭圆的，确定； 分三种等腰情况讨论：、、； 结合椭圆定义求边长，再用勾股定理求高，进而计算面积. 解法 优化 设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 知识 总结 椭圆基本性质：，焦点距离，椭圆上点到两焦点距离和为. 等腰三角形分类：需分“两腰为焦点与椭圆上点的距离”“两腰为两焦点距离与椭圆上点的距离”三类讨论，结合椭圆定义和几何性质求解. 三角形面积公式：等腰三角形面积可通过“底×高÷2”计算，高可由勾股定理结合边长求得. 考点1：椭圆基本参数的计算及焦点坐标确定. 考点2：椭圆定义（）的应用. 考点3：等腰三角形的分类讨论及面积计算. （25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，且的面积为6，则（　　）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C．1 D．2 （2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 .小试牛刀3 题型10 椭圆中焦点三角形内切圆问题 （2024高三下·全国·专题练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为第一象限内椭圆上一点，的内心为点，则直线与的斜率之积为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左、右焦点、，第一象限内椭圆上点，的内心为，求直线与的斜率之积. 考点 定位 本题考查椭圆的基本性质（计算、焦点坐标）、内心的坐标性质（角平分线交点的坐标公式）、斜率公式、代数运算与有理化，属于椭圆与几何性质的综合应用题型. 思路 构建 先求椭圆的，确定的坐标； 利用内心的坐标公式（加权平均，权重为对边长度），结合椭圆定义表示出内心的坐标； 计算直线和的斜率，求其乘积，通过代数变形（有理化、椭圆方程代换）得出结果. 解法 优化 设，， 则，易知， 故， 则由椭圆的定义可得． 设A，，分别为的内切圆与边，，的切点， 则，根据内切圆的性质知，，， 因此， 得，解得． 在中，，解得， 因此， 故. 故选：D． 知识 总结 椭圆基本性质：，焦点坐标，椭圆上点到两焦点距离和为. 内心坐标公式：对于三角形，内心的坐标为（其中）. 斜率运算与有理化：处理分式型斜率积时，需结合代数变形（如有理化分母）和椭圆方程代换，化简得出定值. 考点1：椭圆基本参数的计算及焦点坐标确定. 考点2：内心的坐标公式及应用. 考点3：斜率公式与代数运算（有理化、方程代换）在椭圆综合题中的应用. （25-26高二上·全国·单元测试）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）．小试牛刀1 A．2 B． C． D． （2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 小试牛刀2 （22-23高二下·山东济南·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 .小试牛刀3 题型11 椭圆参数方程的应用 （23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）经典例题例题 A．2 B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，上顶点，点是椭圆上任意一点，用参数方程求的最大值. 考点 定位 本题考查椭圆的参数方程、两点间距离公式、二次函数的最值求解，属于椭圆参数方程与函数最值的综合应用题型. 思路 构建 写出椭圆的参数方程，设点的参数坐标； 利用两点间距离公式表示的平方，转化为关于参数的函数； 结合三角函数的取值范围，通过二次函数性质求最大值. 解法 优化 步骤1：确定椭圆参数方程 椭圆的参数方程为（为参数），上顶点. 步骤2：设点的参数坐标 设，根据两点间距离公式，. 步骤3：化简距离平方的表达式 步骤4：求二次函数的最值 令（），则. 二次函数开口向下，对称轴，代入得. 步骤5：确定的最大值 的最大值为，故正确选项为. 知识 总结 椭圆的参数方程：对于椭圆，参数方程为（为参数），可将椭圆上点的坐标转化为三角函数形式，简化最值问题. 两点间距离公式：结合参数方程，将距离表示为关于三角函数的函数，再通过换元转化为二次函数求最值. 二次函数最值：注意换元后变量的取值范围（如），确保对称轴在定义域内. 考点1：椭圆的参数方程形式及应用. 考点2：两点间距离公式在参数方程中的应用. 考点3：二次函数在三角函数定义域内的最值求解. （23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆：，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为，，且，则 ．小试牛刀1 （22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为 小试牛刀2 （20-21高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C．2 D． 题型12 椭圆的轨迹方程的求法 （25-26高二上·湖南常德·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 考点 定位 本题考查两圆的位置关系（外切、内切的圆心距公式）、椭圆的定义及椭圆标准方程的推导，属于圆锥曲线轨迹问题的典型题型. 思路 构建 确定定圆E、F的圆心和半径； 设动圆的半径为，根据“外切时圆心距=半径和，内切时圆心距=大圆半径-小圆半径”，列出|PE|、|PF|的表达式； 结合椭圆定义（到两定点距离和为常数且大于两定点间距），判断轨迹为椭圆，进而求其标准方程. 解法 优化 由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 知识 总结 两圆位置关系的圆心距公式： 外切：圆心距两圆半径和； 内切：圆心距大圆半径小圆半径. 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（）的点的轨迹，常数为，两定点间距为，满足. 考点1：两圆外切、内切的圆心距公式应用. 考点2：椭圆的定义及标准方程的推导. （山西省卓越大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ．小试牛刀3 一、单选题 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（   ） A． B．5 C． D．7 2．（21-22高三上·湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 5．（广西玉林市八校2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·月考）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 三、填空题 11．（2024·上海普陀·模拟预测）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 12．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 13．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为 ． 四、解答题 14．（25-26高二上·福建莆田·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 15．（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题策略06：椭圆的标准方程 题型01 判断方程是否表示椭圆 题型07 椭圆中距离和差最值问题 题型02 方程表示椭圆求参数范围 题型08 椭圆中焦点三角形周长问题 题型03 椭圆方程求基本量 题型09 椭圆中焦点三角形面积问题 题型04 由基本量求椭圆方程 题型10 椭圆中焦点三角形内切圆问题 题型05 由几何关系求椭圆方程 题型11 椭圆中参数方程的应用 题型06 椭圆上的点到焦点的距离问题 题型12 椭圆的轨迹方程求法 本节导航 题型01 判断方程是否表示椭圆 （24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知曲线，则（    ）经典例题例题 A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 四步 内容 题意 拆解 本题给出曲线方程（即），需根据、的不同取值，分析曲线是圆、椭圆还是其他图形，对四个选项逐一判断. 考点 定位 本题考查圆的方程、椭圆的定义与标准方程，涉及圆锥曲线类型的判定，属于圆锥曲线基础概念应用题型. 思路 构建 对每个选项，结合、的条件将方程转化为圆或椭圆的标准形式，利用定义判断；对于过点的选项，代入点坐标求解、后再分析. 解法 优化 若，曲线可化为，其表示半径为的圆，A正确； 当时，曲线可化为，表示椭圆，因为，所以其焦点在轴上，B错误； 对于C，依题意得解得则曲线为椭圆，C正确； 取，此时曲线，其表示两条直线，D错误. 故选：AC. 知识 总结 圆的标准方程：（），需与系数相等且为正. 椭圆标准方程：焦点在轴时（），焦点在轴时（），焦点在分母大的轴上. 判定曲线类型需分类讨论系数的符号、是否相等，注意系数为零的特殊情况. 考点1：圆的方程判定（、系数相等且正）. 考点2：椭圆标准方程与焦点位置判定（分母为正且不等，焦点在分母大的轴上）. 考点3：曲线过点的应用（代入点坐标求系数）. 考点4：系数为零（）时的曲线类型分析（直线情况）. （23-24高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 【多选题】（22-23高二上·安徽芜湖·期中）已知关于的方程表示的曲线为，以下说法正确的有（    ）小试牛刀2 A．若，，，则恒过定点 B．若，，，则表示圆 C．若，，，，则表示椭圆 D．若，，，，，则表示两条直线 【答案】AD 【分析】根据题意，结合圆，椭圆，直线方程依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当，，时，曲线为：，即为， 显然满足方程，所以恒过定点，故A正确； 对于B选项，当，，时，方程为，其表示点，故B错误； 对于C选项，当，，，，方程为， 所以，当时，表示圆；当时，表示椭圆；故C错误； 对于D，当，，，，，方程为， 即为，化简得，即表示两条直线，故D正确. 故选：AD （21-22高二·全国·课后作业）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ．小试牛刀3 【答案】① 【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【详解】对于①，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且， 所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程， 对于②，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2， 所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程， 故答案为：① 题型02 方程表示椭圆求参数范围 （25-26高二上·重庆·阶段练习）方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ）经典例题例题 A． B．或 C． D． 四步 内容 题意 拆解 题目给出椭圆方程，要求根据椭圆的定义，确定参数的取值范围. 考点 定位 本题考查椭圆的标准方程，核心考点是椭圆定义中“分母为正且不相等”的条件，属于圆锥曲线基础概念的应用题型. 思路 构建 椭圆的标准方程（）要求： 两个分母均为正数； 两个分母不相等（否则为圆）. 因此需列出关于的不等式组，求解其取值范围. 解法 优化 由于方程表示椭圆，所以， 解得或． 故选：B． 知识 总结 椭圆的标准方程有两种形式： 焦点在轴上：（）； 焦点在轴上：（）. 两者的共同核心条件是分母均为正数且不相等（若相等则为圆，不属于椭圆）. 考点1：椭圆标准方程的形式（含、的分式和为1）. 考点2：椭圆的判定条件（分母为正且不相等）. 考点3：根据椭圆方程求参数范围的不等式组构建方法. （25-26高二上·安徽·期中）若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程直接可得. 【详解】由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. （25-26高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果. 【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. （25-26高二上·重庆·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围. 【详解】由题意. 故选：C 题型03 椭圆方程求基本量 （24-25高二下·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左、右焦点分别为，点在的第二象限内，且满足，需求直线的斜率. 考点 定位 本题考查椭圆的定义、椭圆的基本性质（的关系及焦点坐标）、直线斜率的计算，属于椭圆定义与直线斜率的综合应用题型. 思路 构建 先根据椭圆方程求出，确定焦点的坐标； 利用椭圆定义，结合已知条件，联立求解和； 分析点的位置，结合焦点坐标，通过几何关系（如勾股定理）确定点的坐标，进而计算直线的斜率. 解法 优化 由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 知识 总结 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离和为常数（）的点的轨迹，满足. 椭圆的参数关系：，焦点在轴上时，焦点坐标为. 直线斜率公式：若两点为、（），则斜率. 解题技巧：可结合椭圆定义与三角形几何性质（如勾股定理），快速确定点的坐标，简化斜率计算. 考点1：椭圆基本参数（）及焦点坐标的求解. 考点2：椭圆定义（）的应用. 考点3：直线斜率的计算（两点间斜率公式）. 考点4：椭圆中三角形的几何性质（勾股定理判断直角三角形）. （24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距． 【详解】因为是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为，所以周长是， 即，得， 又，所以，． 故选：B． （24-25高二上·山东临沂·期中）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出与的关系，然后通过向量关系求出. 【详解】对于椭圆，可得，. 可求出，所以焦点，. 设，，在中，根据余弦定理. 已知，，则. 又因为点在椭圆上，根据椭圆的定义， 将展开得. 用减去可得： 即则. 代入中，可得. 因为，所以. . 则， 所以. 故选：A. （2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，由基本不等式可得，则由，代入即可得到答案. 【详解】由题知，，，即，，则， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以 （当且仅当时，等号成立）． 故选：D. 题型04 由基本量求椭圆方程 （25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 题目要求求过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆标准方程，需结合“相同焦点”和“过定点”两个条件求解. 考点 定位 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的焦点性质（的计算）及待定系数法求椭圆方程，属于椭圆性质与方程求解的综合题型. 思路 构建 先求已知椭圆的焦点，确定新椭圆的和焦点位置； 设新椭圆的标准方程，利用“过点”的条件代入方程； 联立和代点后的方程，求解和. 解法 优化 设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 知识 总结 椭圆焦点性质：对于椭圆（），，焦点为；若焦点在轴上，方程为，焦点为. 待定系数法求椭圆方程：当已知焦点位置和焦点相关条件时，设出对应标准方程，结合过点等条件列方程求解和. 考点1：椭圆焦点的计算（及焦点坐标）. 考点2：椭圆标准方程的待定系数法求解（结合过点条件）. 考点3：椭圆方程中参数的取值范围（，）. （25-26高二上·湖南长沙·月考）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】先根据已知椭圆方程求出，设所求椭圆标准方程为，利用焦点相同且过点，列方程组求解． 【详解】椭圆方程为， ， 椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为， 由两椭圆焦点相同，则， ，解得， 所求椭圆标准方程为：． 故答案为：． （25-26高二上·黑龙江·期中）若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义求出，利用即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：A. （25-26高二上·上海·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，且该椭圆经过点，则椭圆的标准方程为 小试牛刀3 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求标准方程或者用待定系数法求标准方程. 【详解】解法一：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为． 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，且点在椭圆上， 所以由椭圆的定义知， 所以，又因为，所以. 因此所求椭圆的标准方程为． 解法二：因为椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是，，所以， 从而——①， 又因为点在椭圆上，所以——②， 由①②解得或（舍去）， 因此，所求椭圆的标准方程为． 故答案为： 题型05 由几何关系求椭圆方程 （25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的方程为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足且，求椭圆方程. 考点 定位 本题考查椭圆的定义、向量垂直的性质（数量积为0）、椭圆的基本参数关系（）及方程求解，属于椭圆定义与向量、线段长度的综合题型. 思路 构建 利用线段比例关系确定，结合椭圆定义得到； 由向量垂直（）知为直角三角形，结合勾股定理； 联立椭圆定义和勾股定理的方程，求解，再由得，确定椭圆方程. 解法 优化 连接，由椭圆的定义有， ， 因为，所以， 在中，，即，解得， 在中，，即， 所以，解得，所以， 所以椭圆的方程为即. 故选：B    知识 总结 椭圆定义：（为椭圆上一点）. 向量垂直性质：若，则，可结合勾股定理. 椭圆参数关系：，已知可求进而确定方程. 考点1：椭圆定义的应用（）. 考点2：向量垂直的数量积性质（表示直角）. 考点3：椭圆基本参数的关系及方程求解. （25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则 ，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. （24-25高二下·湖南湘西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： （24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l与x轴的交点为，过点F1作于点N，，且的中点P在椭圆C上，则椭圆C的方程为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由是线段的中点，P是线段的中点，可得，进而得到，结合椭圆定义求得，，即可得解. 【详解】 依题意是线段的中点，又P是线段的中点，所以， 因为，所以. 由P是线段的中点，所以. 因为点P在椭圆C上，结合椭圆定义，可得，解得(舍去)， 所以，所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 题型06 椭圆上的点到焦点的距离问题 （25-26高二上·河北衡水·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，为左右焦点，点在椭圆上运动，求的最小值. 考点 定位 本题考查椭圆的定义（）、均值不等式（基本不等式）的应用，属于椭圆与不等式的综合题型. 思路 构建 先根据椭圆方程求出，利用椭圆定义得到； 设，则，将所求式子转化为关于的函数； 结合均值不等式求该函数的最小值，注意验证等号成立条件及的取值范围. 解法 优化 因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 知识 总结 椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，即. 均值不等式（基本不等式）：若，则，当且仅当时取等号；对于分式型最值，常通过“乘1法”构造均值不等式的应用条件. 椭圆上点到焦点的距离范围：，需注意变量的取值范围对最值的限制. 考点1：椭圆的定义（）. 考点2：均值不等式（基本不等式）的应用（“乘1法”构造不等式）. 考点3：椭圆上点到焦点距离的取值范围（）. （25-26高二上·湖北·期中）设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（    ）小试牛刀1 A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义转化求解即可. 【详解】由椭圆方程知：，左焦点， 设椭圆的右焦点为 由椭圆的定义知：， 所以周长为 因为，当且仅当三点共线时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即周长的最大值为. 故选：D  （2025·云南昆明·模拟预测）已知为椭圆上一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据椭圆的定义，求得的范围. 【详解】由椭圆方程可知，长半轴长，短半轴长，则半焦距， 的取值范围为，即. 故选：C. （25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】由椭圆方程得，由椭圆的定义得，再根据，计算即可求解. 【详解】由题意可得椭圆， 所以， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 题型07 椭圆中距离和差最值问题 （25-26高二上·重庆·阶段练习）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ）经典例题例题 A． B． C． D．3 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左焦点，椭圆上动点，直线上动点，求的最小值. 考点 定位 本题考查椭圆的定义（焦点距离和为）、点到直线的距离公式，属于椭圆定义与最值问题的综合应用题型. 思路 构建 利用椭圆定义将转化为与右焦点相关的距离； 将转化为含的式子； 结合几何性质，的最小值为右焦点到直线的距离，进而求解原式的最小值. 解法 优化 由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 知识 总结 椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，即（为椭圆的两个焦点）. 点到直线的距离公式：若点到直线的距离为，则. 最值转化技巧：对于形如的最值问题，可利用椭圆定义将其转化为含的形式，再结合点到直线的距离求解最小值. 考点1：椭圆的定义（的应用）. 考点2：点到直线的距离公式的应用. 考点3：最值问题的转化策略（利用椭圆定义将距离差转化为距离和）. （25-26高二上·陕西榆林·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为 ．小试牛刀1 【答案】2 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，由题知， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立， ， ， 则的最小值为2． 故答案为：．    （25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值. 【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 而，，则， 所以的最小值为. 故选：A （25-26高二上·湖北襄阳·期中）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】易知点在椭圆外，根据椭圆的定义可知，即可得解. 【详解】    如图所示，设椭圆的右焦点为， 由椭圆， 得，，，则， ， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 且， 即的最大值为. 故答案为：13 题型08 椭圆中焦点三角形周长问题 （25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为 ．经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左右焦点，上顶点，过且垂直于的直线交于B、C两点，求的周长. 考点 定位 本题考查椭圆的定义（椭圆上点到两焦点距离和为）、椭圆的基本性质（的计算、顶点与焦点坐标），属于椭圆定义与几何性质的综合应用题型. 思路 构建 先求椭圆基本参数，确定的坐标； 利用椭圆定义，将的周长转化为与相关的量； 结合椭圆上点的距离性质，推导周长的定值. 解法 优化 由椭圆，得， 则，所以， 过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以为线段的垂直平分线， 所以， 则的周长为 . 故答案为：.    知识 总结 椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点的距离和为，即（为椭圆上一点）. 椭圆顶点性质：上（下）顶点到两焦点的距离相等，当时，可结合椭圆定义简化周长计算. 考点1：椭圆的定义（的应用）. 考点2：椭圆基本参数的计算及顶点、焦点坐标的确定. 考点3：利用椭圆定义解决三角形周长问题的转化策略. （25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点P满足轴，，则的周长为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理求出即可分析计算求出周长. 【详解】设则，由椭圆的定义可知， 故，所以， 因为轴，所以为直角三角形， 由勾股定理得， 即，解得，， 所以的周长. 故答案为：. （24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ）小试牛刀2 A．20 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点结合三角形中位线定理、中点坐标公式，运用代入法、椭圆的定义进行求解即可. 【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c， 由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是 的中点， 则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则， 由为线段的中点，得，因此， 解得，而，于是， 所以的周长为. 故选：D （24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ）小试牛刀3 A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【分析】不妨设，则，在和中，分别利用勾股定理列方程求出，再根据椭圆定义求得的周长. 【详解】不妨设，则， 由椭圆定义可得， 由于，所以， 在和中， 由勾股定理得和， 即和， 解得， 故的周长为. 故选：C 题型09 椭圆中焦点三角形面积问题 （25-26高二上·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ）经典例题例题 A． B． C．7 D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左右焦点，点在椭圆上，为等腰三角形，需分情况讨论等腰的边，求其可能的面积. 考点 定位 本题考查椭圆的基本性质（的计算、焦点坐标）、椭圆定义（）、等腰三角形的分类讨论、三角形面积公式,属于椭圆焦点三角形与等腰三角形的综合应用题型. 思路 构建 先计算椭圆的，确定； 分三种等腰情况讨论：、、； 结合椭圆定义求边长，再用勾股定理求高，进而计算面积. 解法 优化 设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 知识 总结 椭圆基本性质：，焦点距离，椭圆上点到两焦点距离和为. 等腰三角形分类：需分“两腰为焦点与椭圆上点的距离”“两腰为两焦点距离与椭圆上点的距离”三类讨论，结合椭圆定义和几何性质求解. 三角形面积公式：等腰三角形面积可通过“底×高÷2”计算，高可由勾股定理结合边长求得. 考点1：椭圆基本参数的计算及焦点坐标确定. 考点2：椭圆定义（）的应用. 考点3：等腰三角形的分类讨论及面积计算. （25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，且的面积为6，则（　　）小试牛刀1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设点，再应用面积公式及点在椭圆上列式计算，最后应用两点间距离公式求解. 【详解】由椭圆的对称性不妨设点在第一象限，则． 由题意可得，则． 因为的面积为6，所以，解得． 因为点在椭圆上，所以，解得， 则， 故． 故选：B. （25-26高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. （2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 题型10 椭圆中焦点三角形内切圆问题 （2024高三下·全国·专题练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为第一象限内椭圆上一点，的内心为点，则直线与的斜率之积为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，左、右焦点、，第一象限内椭圆上点，的内心为，求直线与的斜率之积. 考点 定位 本题考查椭圆的基本性质（计算、焦点坐标）、内心的坐标性质（角平分线交点的坐标公式）、斜率公式、代数运算与有理化，属于椭圆与几何性质的综合应用题型. 思路 构建 先求椭圆的，确定的坐标； 利用内心的坐标公式（加权平均，权重为对边长度），结合椭圆定义表示出内心的坐标； 计算直线和的斜率，求其乘积，通过代数变形（有理化、椭圆方程代换）得出结果. 解法 优化 设，， 则，易知， 故， 则由椭圆的定义可得． 设A，，分别为的内切圆与边，，的切点， 则，根据内切圆的性质知，，， 因此， 得，解得． 在中，，解得， 因此， 故. 故选：D． 知识 总结 椭圆基本性质：，焦点坐标，椭圆上点到两焦点距离和为. 内心坐标公式：对于三角形，内心的坐标为（其中）. 斜率运算与有理化：处理分式型斜率积时，需结合代数变形（如有理化分母）和椭圆方程代换，化简得出定值. 考点1：椭圆基本参数的计算及焦点坐标确定. 考点2：内心的坐标公式及应用. 考点3：斜率公式与代数运算（有理化、方程代换）在椭圆综合题中的应用. （25-26高二上·全国·单元测试）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）．小试牛刀1 A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. （2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 小试牛刀2 【答案】 【分析】在焦点三角形中，先利用椭圆的定义、与内切圆半径有关的三角形的面积公式，求出的面积，然后借助余弦定理和三角形的面积公式建立关于和的方程组，求得的值，从而可求得的值． 【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得， 所以的面积． 设，则， 在中，由余弦定理得， 得， 即． 由，解得， 所以， 所以． 故答案为： （22-23高二下·山东济南·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】化标准，得到，，然后根据正弦定理求出.进而根据余弦定理推出的面积.根据等面积法，可知，即可求出，即可得解. 【详解】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：. 题型11 椭圆参数方程的应用 （23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）经典例题例题 A．2 B． C． D． 四步 内容 题意 拆解 已知椭圆，上顶点，点是椭圆上任意一点，用参数方程求的最大值. 考点 定位 本题考查椭圆的参数方程、两点间距离公式、二次函数的最值求解，属于椭圆参数方程与函数最值的综合应用题型. 思路 构建 写出椭圆的参数方程，设点的参数坐标； 利用两点间距离公式表示的平方，转化为关于参数的函数； 结合三角函数的取值范围，通过二次函数性质求最大值. 解法 优化 步骤1：确定椭圆参数方程 椭圆的参数方程为（为参数），上顶点. 步骤2：设点的参数坐标 设，根据两点间距离公式，. 步骤3：化简距离平方的表达式 步骤4：求二次函数的最值 令（），则. 二次函数开口向下，对称轴，代入得. 步骤5：确定的最大值 的最大值为，故正确选项为. 知识 总结 椭圆的参数方程：对于椭圆，参数方程为（为参数），可将椭圆上点的坐标转化为三角函数形式，简化最值问题. 两点间距离公式：结合参数方程，将距离表示为关于三角函数的函数，再通过换元转化为二次函数求最值. 二次函数最值：注意换元后变量的取值范围（如），确保对称轴在定义域内. 考点1：椭圆的参数方程形式及应用. 考点2：两点间距离公式在参数方程中的应用. 考点3：二次函数在三角函数定义域内的最值求解. （23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆：，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为，，且，则 ．小试牛刀1 【答案】36 【分析】设，，，，应用斜率两点式、差角余弦公式得，进而有，，最后由两点距离公式求目标式的值. 【详解】设，，，， 由，整理得， 即，则或，所以，， ． 故答案为： （22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为 小试牛刀2 【答案】/ 【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值. 【详解】令且，则， 而，故， 所以，当时，. 故答案为： （20-21高二上·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 题型12 椭圆的轨迹方程的求法 （25-26高二上·湖南常德·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 .经典例题例题 四步 内容 题意 拆解 已知动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 考点 定位 本题考查两圆的位置关系（外切、内切的圆心距公式）、椭圆的定义及椭圆标准方程的推导，属于圆锥曲线轨迹问题的典型题型. 思路 构建 确定定圆E、F的圆心和半径； 设动圆的半径为，根据“外切时圆心距=半径和，内切时圆心距=大圆半径-小圆半径”，列出|PE|、|PF|的表达式； 结合椭圆定义（到两定点距离和为常数且大于两定点间距），判断轨迹为椭圆，进而求其标准方程. 解法 优化 由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 知识 总结 两圆位置关系的圆心距公式： 外切：圆心距两圆半径和； 内切：圆心距大圆半径小圆半径. 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（）的点的轨迹，常数为，两定点间距为，满足. 考点1：两圆外切、内切的圆心距公式应用. 考点2：椭圆的定义及标准方程的推导. （山西省卓越大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. （25-26高二上·重庆·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【详解】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A （25-26高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 一、单选题 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】根据关系即可得到答案. 【详解】由题意得，则，则. 故选：C 2．（21-22高三上·湖北十堰·期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 3．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为5，最小值为1，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念和基本性质，列出方程组，求出参数值，写出标准方程即可. 【详解】设椭圆焦距为2c,由题意得，解得，则， 所以椭圆方程为. 故选：A. 4．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 5．（广西玉林市八校2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 6．（25-26高二上·重庆·月考）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A.    7．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 8．（25-26高二上·江苏常州·期中）方程表示的曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程 【详解】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 9．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 二、多选题 10．（25-26高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【答案】BC 【分析】利用余弦定理判断A；利用三角形的面积公式判断B；利用椭圆的定义判断C；利用平面向量的数量积判断D. 【详解】在椭圆中，，，，且， 对于A，当时，则， 由余弦定理得， 而，则，A错误； 对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大， 因此面积的最大值为，B正确； 对于C，由，即， 得，C正确； 对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个， 当为直角顶点时，设点，则，， ，，解得， 此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误. 故选：BC 三、填空题 11．（2024·上海普陀·模拟预测）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 【答案】 【分析】设，根据题意，得到，从而联立椭圆方程求得，由此得解. 【详解】由椭圆，可得，，所以， 设，因为，则， 所以，则， 又因为点在椭圆上，可得， 联立方程组，解得，即， 所以点到轴的距离为. 故答案为：． 12．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质和椭圆的定义，利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的边长关系，求出只，即得椭圆标准方程. 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为 ． 【答案】2 【分析】设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解. 【详解】    由题意有：， 设，与圆分别切于点， 所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以 ， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故答案为：2. 四、解答题 14．（25-26高二上·福建莆田·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出焦点坐标，根据椭圆的定义求出，即可求解； （2）根据已知椭圆方程写出所求椭圆的焦点坐标，再由椭圆的定义求得解； （3）设所求的椭圆方程为，代入点的坐标求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得， 可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为， 所求椭圆过点， ， ，， 椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为. 把，两点代入， 得：，解得，， 椭圆方程为. 15．（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可. （2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）设点的坐标为（其中，）， 由，，，可得，.     由，有，可得，     又由点在椭圆上，有.     联立方程解得，， 故点的坐标为. （2）由椭圆的性质，有，     又由，可得.     又由，在中，有.     可得.     可得的面积为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $