5.2 二元一次方程组的解法讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学二元一次方程组的解法，系统梳理代入消元法和加减消元法两大核心知识点，通过概念解析、步骤分解表格示例、解题技巧归纳及多样化练习题，构建从原理到应用的学习支架。 该资料以步骤化教学为特色，用表格清晰呈现解法步骤、具体做法、目的及实例，培养学生抽象能力与运算推理意识，结合实际情境练习题发展模型应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺巩固知识。

5.2 二元一次方程组的解法 考点1: 用代入消元法解二元一次方程组 1. 代入消元法的概念：将方程组其中一个方程中的某个未知数用含有另个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程[消元：“二元”变“一元”].这种解方程组的方法称为代人消元法. 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 例：用代入法解方程组 变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b) (a，b是常数，a≠0)的形式 解：由①得y＝2x＋3…③ 代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程(若代入原变形方程，将会得到一个没有未知数的恒等式) 消去一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一次方程 把③代入②，得4x＋5(2x＋3)＝1. 求解 解消元后的一元一次方程 求出x(或y)的值 解这个方程，得x＝－1. 回代 把求得的未知数的值代入变形后的方程 求出另一个未知数的值 把x＝－1代入③，得y＝1. 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 得到方程组的解，表示为 所以这个方程组的解是 · 用代入法解二元一次方程组的小技巧： ①如果方程组中含有未知数系数为1或－1的方程，通常利用这个方程将系数为1或－1的未知数用含有另一个未知数的式子表示出来； ②如果未知数系数都不是1或－1，一般选择未知数系数的绝对值最小的方程变形. 练习1. 1. 用代入法解方程组代入后比较容易化简的变形是( D ). A.由①得x＝　　　　　　B.由①得y＝ C.由②得y＝　　　　　　D.由②得x＝2y－5 2. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得( D ). A.x＋3x－6＝7 B. x－3x－6＝7 C. x＋3x＋6＝7 D. x－3x＋6＝7 3. 若方程组的解中x与y相等，则m的值为( A ). A.10　　　 　B.－10　　 　　C.20　 　　　D.3 4. 由关于x，y的二元一次方程组 可得x与y的关系是( B ). A. 2x＝－3y B. 4x＝－3y C. 4y＝－3x D. －3x＝2y 5. 若二元一次方程组的解为则a＋b的值是( C ). A. －28 B. －14 C. －4 D.14 6. 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得y＝　3x－4　. 7. 二元一次方程组可化为一元一次方程 y＋1－5 ＝2y，解得y＝－4，将y＝－4代入②，解得x＝ －3 . 8. 已知＋(4x－y－6)2＝0，则x＋y的值为 －1 . 9. 若单项式3x2a+by6与单项式4x8y3b-3a可以合并同类项，则a－b的值是 －2 . 10. 用代入消元法解二元一次方程组： (1)　 (2) 答案：(1)(2) 11. 数学课上,同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解答思路，请你认真阅读并完成相应的任务. 小彬： 由①，得y＝　　，③将③代入②，得…  小颖： 由①，得2x＝　　，③将③代入②，得…  任务： (1)按照小彬的思路，第一步要用含x的代数式表示y，得到方程③，即y＝　2x－5　；  第二步将③代入②，可消去未知数y. (2)按照小颖的思路，第一步要用含y的代数式表示2x，得到方程③，即2x＝　5＋y　；  第二步将“2x”看作整体，将③代入②，可消去未知数x. (3)求此方程组的解. 答案：原方程组的解为 考点2: 用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过将两个方程相加(或相减)消去其中一个未知数将二元一次方程组转化为一元一次方程.这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法. 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 例：用加减消元法解方程组 变形 二元一次方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 解：①×2，得2x＋4y＝6…③ 加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 ②－③，得3x＝－3， 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 解得x＝－1， 回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中 求出另一个未知数的值 将x＝－1代入①，得y＝2 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 得到方程组的解，表示为 所以原方程组的解是 · ①选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单 ②两个方程相减时，要注意结果中其他项的符号 练习2. 1. 用加减消元法解方程组时，①－②得( A ). A.5y＝2 B.－11y＝8 C.－11y＝2 D.5y＝8 2. 在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①＋②×a消去y，则a的值是( D ). A.－2 B.2 C.－5 D.5 3. 解二元一次方程组时，通过下列步骤，能消去未知数x的是( D ). A. ①－②×3 B. ①＋②×3 C. ①＋②×2 D. ①－②×2 4. 由方程组可以得出关于x和y的关系式是( D ). A.7x－3y＝5　　　　　　B.3x＋3y＝5 C.3x－3y＝5　　　　　　D.3x－3y＝－5 5. 如果方程组的解与方程组的解相同，则a，b的值是( B ). A. B. C. D. 6. 用加减消元法解方程组时，由①×2－②得　7x＝－7　. 7. 如果方程组的解也是方程2x－3y＝3的一个解，则m的值为　5　.  8. 若直角三角形的两条直角边长x，y满足方程组，则这个直角三角形的周长是 12 . 9. 解方程组： (1)　 (2) 答案：(1)，(2) 巩固练习： 1. 用代入消元法解方程组代入消元正确的是( D ). A.由①得y＝3x＋2，代入②得3x＝11－2(3x＋2) B.由②得x＝，代入②得3×＝11－2y C.由①得x＝，代入②得2－y＝11－2y D.由②得3x＝11－2y，代入①得11－2y－y＝2 2. 已知方程组，①－②得( D ). A.－8y＝4　    B.－8y＝－4 C.2y＝4　    D.2y＝－4 3. 利用加减法解方程组时，利用①×a＋②×b消去y，则a，b的值可能是( A ). A.2，3　    B.2，5　    C.－2，3　    D.－2，－5 4. 关于x，y的方程组和有相同解，则2a＋b的值是( D ). A.1　    B.2　    C.3　    D.4 5. 小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是( B ). A．m＝1，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2 6. 已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为 2，1 . 7. 若实数m，n满足|m－n－5|＋＝0，则3m＋n＝ 7 . 8. 解下列方程组： (1) (2) 答案：(1) (2) 9. 二元一次方程组的解是一个等腰三角形两边的长，求这个等腰三角形的周长. 答案：解得∵等腰三角形的腰长不能为2.∴当腰长为4时, 这个等腰三角形的周长为10. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 二元一次方程组的解法 考点1: 用代入消元法解二元一次方程组 1. 代入消元法的概念：将方程组其中一个方程中的某个未知数用含有另个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程[消元：“二元”变“一元”].这种解方程组的方法称为代人消元法. 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 例：用代入法解方程组 变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b) (a，b是常数，a≠0)的形式 解：由①得y＝2x＋3…③ 代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程(若代入原变形方程，将会得到一个没有未知数的恒等式) 消去一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一次方程 把③代入②，得4x＋5(2x＋3)＝1. 求解 解消元后的一元一次方程 求出x(或y)的值 解这个方程，得x＝－1. 回代 把求得的未知数的值代入变形后的方程 求出另一个未知数的值 把x＝－1代入③，得y＝1. 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 得到方程组的解，表示为 所以这个方程组的解是 · 用代入法解二元一次方程组的小技巧： ①如果方程组中含有未知数系数为1或－1的方程，通常利用这个方程将系数为1或－1的未知数用含有另一个未知数的式子表示出来； ②如果未知数系数都不是1或－1，一般选择未知数系数的绝对值最小的方程变形. 练习1. 1. 用代入法解方程组代入后比较容易化简的变形是( ). A.由①得x＝　　　　　　B.由①得y＝ C.由②得y＝　　　　　　D.由②得x＝2y－5 2. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得( ). A.x＋3x－6＝7 B. x－3x－6＝7 C. x＋3x＋6＝7 D. x－3x＋6＝7 3. 若方程组的解中x与y相等，则m的值为( ). A.10　　　 　B.－10　　 　　C.20　 　　　D.3 4. 由关于x，y的二元一次方程组 可得x与y的关系是( ). A. 2x＝－3y B. 4x＝－3y C. 4y＝－3x D. －3x＝2y 5. 若二元一次方程组的解为则a＋b的值是( ). A. －28 B. －14 C. －4 D.14 6. 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得y＝　 　. 7. 二元一次方程组可化为一元一次方程　 　＝2y，解得y＝－4，将y＝－4代入②，解得x＝　 　. 8. 已知＋(4x－y－6)2＝0，则x＋y的值为　 　. 9. 若单项式3x2a+by6与单项式4x8y3b-3a可以合并同类项，则a－b的值是　 　. 10. 用代入消元法解二元一次方程组： (1)　 (2) 11. 数学课上,同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解答思路，请你认真阅读并完成相应的任务. 小彬： 由①，得y＝　　，③将③代入②，得…  小颖： 由①，得2x＝　　，③将③代入②，得…  任务： (1)按照小彬的思路，第一步要用含x的代数式表示y，得到方程③，即y＝　 　；  第二步将③代入②，可消去未知数y. (2)按照小颖的思路，第一步要用含y的代数式表示2x，得到方程③，即2x＝　 　；  第二步将“2x”看作整体，将③代入②，可消去未知数x. (3)求此方程组的解. 考点2: 用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过将两个方程相加(或相减)消去其中一个未知数将二元一次方程组转化为一元一次方程.这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法. 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 步骤 具体做法 目的 例：用加减消元法解方程组 变形 二元一次方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 解：①×2，得2x＋4y＝6…③ 加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 ②－③，得3x＝－3， 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 解得x＝－1， 回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中 求出另一个未知数的值 将x＝－1代入①，得y＝2 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 得到方程组的解，表示为 所以原方程组的解是 · ①选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单 ②两个方程相减时，要注意结果中其他项的符号 练习2. 1. 用加减消元法解方程组时，①－②得( ). A.5y＝2 B.－11y＝8 C.－11y＝2 D.5y＝8 2. 在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①＋②×a消去y，则a的值是( ). A.－2 B.2 C.－5 D.5 3. 解二元一次方程组时，通过下列步骤，能消去未知数x的是( ). A. ①－②×3 B. ①＋②×3 C. ①＋②×2 D. ①－②×2 4. 由方程组可以得出关于x和y的关系式是( ). A.7x－3y＝5　　　　　　B.3x＋3y＝5 C.3x－3y＝5　　　　　　D.3x－3y＝－5 5. 如果方程组的解与方程组的解相同，则a，b的值是( ). A. B. C. D. 6. 用加减消元法解方程组时，由①×2－②得　 　. 7. 如果方程组的解也是方程2x－3y＝3的一个解，则m的值为　 　.  8. 若直角三角形的两条直角边长x，y满足方程组，则这个直角三角形的周长是　 　. 9. 解方程组： (1)　 (2) 巩固练习： 1. 用代入消元法解方程组代入消元正确的是( ). A.由①得y＝3x＋2，代入②得3x＝11－2(3x＋2) B.由②得x＝，代入②得3×＝11－2y C.由①得x＝，代入②得2－y＝11－2y D.由②得3x＝11－2y，代入①得11－2y－y＝2 2. 已知方程组，①－②得( ). A.－8y＝4　    B.－8y＝－4 C.2y＝4　    D.2y＝－4 3. 利用加减法解方程组时，利用①×a＋②×b消去y，则a，b的值可能是( ). A.2，3　    B.2，5　    C.－2，3　    D.－2，－5 4. 关于x，y的方程组和有相同解，则2a＋b的值是( ). A.1　    B.2　    C.3　    D.4 5. 小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是( ). A．m＝1，n＝1 B．m＝2，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2 6. 已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为　 　. 7. 若实数m，n满足|m－n－5|＋＝0，则3m＋n＝　 　. 8. 解下列方程组： (1) (2) 9. 二元一次方程组的解是一个等腰三角形两边的长，求这个等腰三角形的周长. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $