3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，重点讲解直线与抛物线的位置关系、弦长问题及轨迹问题。通过回顾抛物线的标准方程、焦点坐标、范围等几何性质表格，搭建新旧知识联系，为新知探究提供学习支架。 其特色在于分层探究与方法优化，如弦长问题从直接计算到韦达定理应用再到定义法求解，培养学生数学思维的逻辑性与运算能力。结合轨迹问题中的定义法判断，强化数学语言表达几何关系，帮助学生掌握解题方法，也为教师提供丰富教学案例，提升教学效率。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 直线与抛物线的位置关系 弦长问题 轨迹问题 1.了解抛物线的简单应用. 2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题(难点). 学习目标 刘雨萌 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 几何意义：焦点到准线的距离 焦点看一次项所对应的轴，一次项系数为正，则在正半轴；为负，则在负半轴. 回顾引新知 刘雨萌 标准方程 图形 范围 对称性 关于轴对称 顶点 离心率 关于轴对称 关于轴对称 关于轴对称 回顾引新知 刘雨萌 思考：类比直线与圆的位置关系，直线与抛物线有怎样的位置关系？ 此时直线与对称轴 平行或重合 ①相交； ②相切； ③相离. 1个公共点 2个公共点 1个公共点 0个公共点 本节课我们重点研究相交时的一种特殊情形：直线过焦点时产生的焦点弦. 新知探究 一、直线与抛物线的位置关系 刘雨萌 设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k=0，直线与抛物线有 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 知识梳理 Δ>0 Δ=0 Δ<0 一个 刘雨萌 例1：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解：，设直线：，设 由消去，得 思路1：解得，， 再利用两点间距离公式求解弦长 思考：上述方法思路自然，但运算量较大，引起复杂运算的原因是什么？ 由此能否给出一种简化运算的解法？ 《选必一》P135页例题 典例分析 二、弦长问题 刘雨萌 阅读以下材料，尝试给出简化运算的解法： 《选必一》P135页例题 由消去，得 思路2：，， 所以 思考：上述方法是否适用 于一般弦长的计算？ 设而不求、整体代换 典例分析 刘雨萌 《选必一》P135页例题 思考：考虑到本题求解的是焦点 弦长，还有其他求解方法吗？ 解：，设直线：，设 由消去，得 思路2：，， 所以 弦长公式： 典例分析 刘雨萌 例1：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 思路三： 由题意，准线为，设， 两点到准线的距离分别为，， 由抛物线的定义，可知， ， 于是， 《选必一》P135页例题 典例分析 刘雨萌 反思与感悟 求抛物线弦长的方法 (1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 刘雨萌 跟踪训练 （学习笔记107页跟踪训练2） (1)若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB|等于 A.2 B.12 C. D.13 √ (2)若直线y=k(x-2)与抛物线y2=8x交于A，B两点，|AB|=10，则k=　　　. ±2 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，则直线y=k(x-2)恒过焦点，若k=0，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，故k≠0， 联立消去y，整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0， Δ=(4k2+8)2-16k4=64k2+64>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，因为|AB|=x1+x2+4=10，故=6，解得k=±2. 刘雨萌 典例分析 （学习笔记106页例2）过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有=8x1，=8x2， 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2). ∵P是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2， 则直线AB的斜率k===4， ∴所求直线AB的方程为y-1=4(x-4)，即4x-y-15=0. 由消去x并整理得y2-2y-30=0， 则y1+y2=2，y1y2=-30. 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 刘雨萌 方法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0)， 由消去x并整理得ky2-8y-32k+8=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=， ∵P是AB的中点，∴=1，∴=2，∴k=4. ∴所求直线AB的方程为4x-y-15=0. 由消去x并整理得y2-2y-30=0，则y1+y2=2，y1y2=-30， 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 刘雨萌 典例分析 三、与抛物线有关的轨迹问题 (教材137页例6)　如图，已知定点B(a，-h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m). 由题意，直线OB的方程为y=-x. ① 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①， 得m=-x， ② 所以点P的横坐标x满足②. 直线OE的方程为y=x， ③ 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③. 将②代入③，消去m，得x2=-y(0≤x≤a)，即点P的轨迹方程. 刘雨萌 跟踪训练 （学习笔记107页例3）设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大. (1)求点P的轨迹方程； 过点P作x轴的垂线且垂足为点N(图略)，则|PN|=y，由题意知|PM|-|PN|=， ∴ =y+，化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y. (2)若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2，求实数k的值. 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并化简得x2-2kx-2=0， ∴x1+x2=2k，x1x2=-2. ∵|AB|=·=·=2， ∴k4+3k2-4=0，又k2≥0，∴k2=1，∴k=±1. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练3 若动点P(x，y)满足=，则点P的轨迹应为 A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆 √ 动点P=， 所以动点Px-y-1=0的距离相等，其中定点不在定直线上.因此点P的轨迹应为抛物线. 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)直线和抛物线的位置关系. (2)抛物线的弦长问题. (3)抛物线的轨迹问题. 2.方法归纳：直接法、定义法、代数法. 3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误. 刘雨萌 随堂演练 1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 √ 2.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 √ 3.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为 A.2 B.2 C.2 D.2 √ 4.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是　　　　.   (4，2) 刘雨萌 课后作业 练透205页作业44 1-10必写，11-14学有余力的写，15、16对数学有追求的写 刘雨萌 本节内容结束 $