第16讲 抛物线的简单几何性质（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第16讲 抛物线的简单几何性质 学习目标： 1．了解抛物线的简单几何性质; 2．能运用抛物线的几何性质解决相关问题; 3．掌握直线与抛物线的位置关系，并会用方程思想解决此类问题. 重点难点： 重点：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质; 难点：物线几何性质的应用 知识点一、抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点二、通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 知识点三、直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线的斜率存在时 设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程. ①若, 当时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当时,直线与抛物线相离,无交点． ②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)直线的斜率不存在时 设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点． 2．直线与抛物线相交弦的弦长公式 设直线与抛物线的两个交点为,则或 考点01抛物线的几何性质 1．已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 2．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 3．（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 4．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 5．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 考点02直线与抛物线的位置关系 6．已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与抛物线无交点，则k的取值范围为 . 9．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 10．已知直线过点，抛物线． (1)若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； (2)若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程． 11．在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程. 考点03焦半径问题 12．直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 13．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于在第一象限）两点，为坐标原点，若，则的面积是（    ） A． B．6 C． D．12 16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ． 17．已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ． 18．过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 考点04中点弦问题 19．已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 20．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 21．抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于不同的两点、，若，则线段的中点与原点连线的斜率为 . 22．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 23．已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 24．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 25．已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1. (1)抛物线的方程； (2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标. 考点05弦长、面积问题 26．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 27．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 28．已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 29．抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 30．直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ． 31．已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 32．过抛物线的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若，则 ． 考点06定点定值问题 33．已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 35．已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 36．设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. (1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. (2)证明：线段的垂直平分线过定点. 37．已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 38．已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点. (1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程； (2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由. 39．已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 考点07最值问题 40．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 42．直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为 . 43．已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 44．已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. (1)求的方程； (2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 45．已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 基础试炼 一、单选题 1．若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 2．已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，，则（    ）    A． B． C． D．2 4．过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 6．设平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点.若是上的一点，下列说法正确的是（    ） A．和不存在交点 B．若，则直线与相切 C．若是等腰三角形，的坐标是 D．若，则的横坐标为 三、填空题 7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 8．已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 ． 9．已知抛物线的焦点是点，准线为，过的直线交于（点在第一象限），交于点，且，则点的纵坐标是 ． 四、解答题 10．过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 11．设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 12．已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值． 高阶突破 1．已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值. 2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 4．（多选）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切 5．已知椭圆的短轴长为，右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围. 6．直线与抛物线交于两点，为的焦点，在两点处的切线交于点． (1)证明：； (2)证明：． 7．在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第16讲 抛物线的简单几何性质 学习目标： 1．了解抛物线的简单几何性质; 2．能运用抛物线的几何性质解决相关问题; 3．掌握直线与抛物线的位置关系，并会用方程思想解决此类问题. 重点难点： 重点：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率简单几何性质; 难点：物线几何性质的应用 知识点一、抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点二、通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 知识点三、直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线的斜率存在时 设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程. ①若, 当时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当时,直线与抛物线相离,无交点． ②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)直线的斜率不存在时 设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点． 2．直线与抛物线相交弦的弦长公式 设直线与抛物线的两个交点为,则或 考点01抛物线的几何性质 1．已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 2．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 3．（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 4．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 5．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，对称轴为x轴，，； (2)，对称轴为y轴，， ； (3)，对称轴为y轴，， (4)，对称轴为x轴，，； 【详解】（1）的焦点在x轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； （2）的焦点在y轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （3）即，焦点在y轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （4）即，焦点在x轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； 考点02直线与抛物线的位置关系 6．已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 7．直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A 8．若直线与抛物线无交点，则k的取值范围为 . 【答案】 【详解】由得， 代入中得， 因为直线与抛物线无交点， 故， 解得. 故答案为：. 9．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 10．已知直线过点，抛物线． (1)若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； (2)若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程． 【答案】(1)或； (2)或或. 【详解】（1）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去y得，， 解得，， 由中点的横坐标为3，得，解得或， 所以直线的方程为或，即或. （2）当直线的斜率不存在或为0时，直线与曲线有唯一公共点，此时直线的方程为或； 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由（1）知，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或或. 11．在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设，因为点到定点与定直线的距离相等，故点轨迹为抛物线，且，开口向右， 所以点轨迹方程为：， 即的方程为. （2）如图： 设，带入的方程，解得， 设直线为， 联立，得 由直线与相切，可得 ， 解得， 直线的方程为. 考点03焦半径问题 12．直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 13．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 则．根据抛物线定义知，， 又若，且， 因为，设， 则，，又，解得，， 所以， 因为， 所以，，解得． 故选:C 14．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 15．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于在第一象限）两点，为坐标原点，若，则的面积是（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【详解】设直线，，，其中. 联立整理得0， 其中恒成立， 则①． 因为，即，所以， 即代入①式得， 解得，所以，且， 因为，则，所以， 所以由抛物线定义得，解得， 则的面积 ． 故选：C. 16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为， 联立，得． 不妨设在第一象限，,，,， 则， 又，，即， 联立，解得或（舍， 则，即，进而可得 所以 解得， 故答案为：    17．已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ． 【答案】 12 18 【详解】根据题意可得图形， 由已知得ON是的中位线，可知． 过M，N向准线做垂线，垂足分别为，， 同理是的中位线，． 由抛物线的定义知，，因此，N点的横坐标是， 所以，得． 因为，所以． 故答案为：12；18. 18．过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，延长交准线于点，分别过点，作于，于， 设直线的倾斜角为，设，， 则，，可得， 所以， 因为上式是关于的减函数，又， 所以，所以， 又，所以的取值范围是， 故答案为：. 考点04中点弦问题 19．已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设的中点，抛物线的准线为， 如图，作，垂足分别为. 由直角梯形的性质可得， 取抛物线焦点为，由抛物线定义可得， 当且仅当直线经过点时取等号， 所以线段中点的横坐标的最小值为． 故选：B. 20．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 21．抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于不同的两点、，若，则线段的中点与原点连线的斜率为 . 【答案】 【详解】依题意的斜率存在，设直线方程为， 代入得， 因为，所以， 所以，所以， 则，， 所以的中点坐标为， 所以线段的中点与原点连线的斜率为. 故答案为： 22．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 23．已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 24．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程. 【答案】 【详解】设直线为，设， 由，得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以，解得或（舍去）， 由，得， 由，得， 则，得， 所以直线恒过定点， 设，则， 因为点在抛物线上， 所以， 两式相减得， 当时，，即， 因为直线恒过定点，所以， 所以，所以， 当，亦满足上式 所以所求为. 25．已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1. (1)抛物线的方程； (2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 设，则，当且仅当时，等号成立， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0）， 设，线段的中点， 且直线过点和， 则直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 则，可知， 将代入可得， 所以线段的中点的坐标为. 考点05弦长、面积问题 26．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 27．设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 28．已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以， 解得，所以直线的斜率为． 故选：B. 29．抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】由题可知，，直线斜率必存在，且， 由对称性不妨设，则A和B在第一象限， 因为，所以，过作轴交于点， 则，即， 又点在上，所以即， 代入得， 整理得，即， 所以或，此时或， 因为A和B在第一象限，所以，故，    所以 ， 所以即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：由图的结构特征可知，所以解决本题的方向是求出点A和B，先由题得直线斜率必存在，且，故由对称性不妨设得A和B在第一象限，过作轴交于点，则由得，再结合点在上计算整理得或，进而由A和B在第一象限求出点A和B. 30．直线与抛物线交于两点，若轴上存在点使得，则的面积为 ． 【答案】 【详解】设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，且， 可知线段的中点，则线段的中垂线方程为， 令，则，可得， 所以的面积为． 故答案为：. 31．已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 【答案】50 【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为． 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得，所以． 设，则，， 故． 因为，所以， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得．所以． 设，则，， 故． 所以四边形的面积为． 故答案为：50. 32．过抛物线的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若，则 ． 【答案】 【详解】的焦点为， 根据题意可知直线有斜率，且斜率不为0， 根据对称性不设直线方程为， 联立直线与可得， 设，故， 故，解得， 直线，令，则，同理可得， 如下图，故， 故答案为： 考点06定点定值问题 33．已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C 34．已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 35．已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点. 【详解】（1）设动圆圆心， 当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足， 所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，， 由消去x并整理得，恒成立， 则，令圆心为，则，，， 直径， 则圆的方程为， 当时，， 因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点.    36．设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. (1)若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. (2)证明：线段的垂直平分线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，， 联立，化为：， ， ，， 解得， ，解得， 直线的方程为：，即. （2）设线段的中点为， ，， 则线段的垂直平分线的方程为：， 化为：， 可得直线经过定点. 37．已知抛物线上的两点的横坐标分别为. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为原点 【详解】（1）因为点的横坐标分别为，所以， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为. 当时，， 因为，所以以为直径的圆过原点. 以下证明当时，以为直径的圆过原点. 由，消去，得， 由根与系数的关系，得， ， 所以，所以以为直径的圆过原点. 综上，以为直径的圆过原点. 38．已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点. (1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程； (2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由. 【答案】(1)或或 (2)斜率之和为定值､斜率之积不是定值 【详解】（1）曲线上的点到点的距离比到直线的距离小， 故曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 故曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线， 即有， 过点的直线与抛物线仅有一个公共点， 若直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：， 若直线与抛物线相切时，易知：是其中一条直线， 另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，设为， 联立可得：， 则有：，解得：， 故此时的直线的方程为：， 综上，直线的方程为：或或； （2）若与交于两点，分别设其坐标为，且， 由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为0， 不妨设直线的斜率为，则有：， 联立直线与抛物线可得：，可得：， 即有， 根据韦达定理可得：， 则有：， 则，故为定值；故不为定值； 综上：为定值不为定值. 39．已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线方程的准线方程为， 因为，所以点A在线段OF的中垂线上， 所以，，此时， 即，解得. 因为三角形OFB的面积为， 所以，解得， 则抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，，因为M为线段PQ的中点， 所以 ， 则当时，为定值，与k的取值无关， 故在轴上存在点，使得为定值，定值为.    考点07最值问题 40．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 41．已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 42．直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为 . 【答案】 【详解】联立方程得， 令，而由题意，所以. 设，由韦达定理得. 设，则， ， 即，显然，否则，但这是不可能的， 即， 因为，所以（否则时，有，但这与已知矛盾）， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 43．已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立抛物线的方程得：， 恒成立， 设，，所以，． 又， 即，所以，即， 所以抛物线C的方程为． （2）由（1）知：，，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为10． 44．已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. (1)求的方程； (2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由抛物线的定义可知. 因为，所以. 因为，所以，解得，故的方程为. （2）由题意知AB斜率不为0，设， 联立方程得，， 则 因为以为直径的圆过点，所以，则， 即， 解得，所以. 又，所以 当时，， 当时，. 故直线斜率的最大值为. 45．已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 基础试炼 一、单选题 1．若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 2．已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】题述直线斜率为，所以切点不可能是原点（否则切线斜率不存在，与题意矛盾）， 也不可能是斜率为0的直线与抛物线的交点（因为题述直线斜率为，它不等于0）， 或， 当时，， 当时，， 综上所述，若切点的坐标为，则有，解得. 故选：B. 3．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可知直线AB的斜率存在， 设，，直线方程为，    联立方程，消去后整理为， 有， 又由，，可得，， 则， 解得． 故选：C． 4．过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，，则,在中，， 故， 即点的纵坐标为，代入中，解得， 则， 因，则直线的斜率为， 于是，代入，整理得：， 解得或，即. 故. 故选：C. 二、多选题 5．已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．直线AQ与抛物线相切 D． 【答案】AC 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 6．设平面直角坐标系中，双曲线的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点.若是上的一点，下列说法正确的是（    ） A．和不存在交点 B．若，则直线与相切 C．若是等腰三角形，的坐标是 D．若，则的横坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，联立：，消去得， 由，解得，双曲线与抛物线有交点，A错误； 对于B，由，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，判别式，则直线与抛物线相切，B正确； 对于C，不在抛物线上，故C错误； 对于D，是抛物线上的一点，设，则有，，， 若，有，因此，即，解得，D正确. 故选：BD 三、填空题 7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 【答案】 【详解】 因为在x轴正方向上的投影为，则，且，则， 所以， 则. 故答案为： 8．已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 ． 【答案】 【详解】圆的标准方程为：，圆心为，半径为3， 点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． ，，，易得， 所以， 设，，则 故，（当时取等号）， ， ， 可知四边形面积的最小值为． 故答案为：    9．已知抛物线的焦点是点，准线为，过的直线交于（点在第一象限），交于点，且，则点的纵坐标是 ． 【答案】/ 【详解】抛物线，焦点，，则有 过点作准线的垂线，垂足为，则有 中，，则， 轴，则有直线的斜率为，直线的方程为，即， 由，消去得，解得或， 点在第一象限，则点在第四象限，所以点的纵坐标为. 故答案为：. 四、解答题 10．过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 11．设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【详解】（1）过点，且直线的斜率为2的直线为， 设，， 联立，得，， ； （2）设过点的直线，    联立，得，， 则， . 12．已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴． ∵点F关于点M的对称点为P， ∴，（中点坐标公式）． ∴，得， ∴抛物线E的标准方程为． （2）由（1）知， 易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，， ， 设，则． ∵， ∴， 当时，取得最大值，为． 高阶突破 1．已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，因为为的中点，所以点的坐标为， 又点是抛物线上任一点，所以， 整理得，即的方程为； （2）设，，，则，，， 由抛物线的方程为，即，则， 所以的方程为，即， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 则点到直线的距离 ， 当且仅当，即时取等号， 所以点到直线的距离的最小值为. 2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，所以， 四边形是平行四边形， ，即， ，， 解得， ， ，. 故选：B. 3．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【详解】 由抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 4．（多选）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切 【答案】ACD 【详解】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，    则由抛物线的定义可知:, 解得 . 抛物线的方程为:,故正确; 对于，抛物线的准线方程为，故错误； 对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,    易知抛物线的焦点，设，则,, 所以, 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在， 假设,设,AB的中点为,则 ， 如图所示，作垂直于准线于点，则,    联立，消去并整理可得， 所以， 所以所以, , , , 以 为直经的圆与准线相切，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：如图所示，    已知抛物线,过其焦点且与抛物线交于两点的直线，则有如下常用结论： （1） （2）若直线的倾斜角为，则; （3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切； （4）; 5．已知椭圆的短轴长为，右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，过点且与垂直的直线与抛物线交于两点，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得：椭圆右焦点，且，即. 又因为，所以， 故椭圆的标准方程为：. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，. 联立，消去，整理得，， 所以， 所以. 由垂直关系可设直线的方程为，设，， 联立，消去，整理得，， 则根据根与系数的关系，得， 所以， 所以， 设，则， 因为在上单调递增， 所以， 所以四边形的面积S的取值范围为. 6．直线与抛物线交于两点，为的焦点，在两点处的切线交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）联立，得， 由交点有两个，则，即． （2）设，则过A的切线方程不妨设为， 与抛物线方程联立，整理得， 令，解得，且， 所以在点A处的切线方程为，即， 同理可得在点处的切线方程为，即， 联立两条切线方程可得，由（1）得，则， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为，所以， 所以，即． 7．在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）因为， 所以点M到定点的距离等于到定直线的距离， 所以M的轨迹为抛物线，方程为； （2）设，如图： 设直线AB的方程为， 直线PQ的方程为且 ，， 由 ,得，， ， 同理， 因为， 所以， 因为，所以由得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$