4.6 利用相似三角形测高同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.6 利用相似三角形测高 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•邯郸期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为AB＝1m，又测得镜子与旗杆底部的距离BC＝6m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.70m，则旗杆的高度大约是（　　） A．3.53m B．7.70m C．8.25m D．10.20m 2．（2025•道外区二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为（　　）cm． A．10 B．20 C．30 D．40 3．（2025•郯城县模拟）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 4．（2024秋•温州期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 5．（2024秋•长春校级期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•海州区期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，爸爸拿的光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（　　） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少0.5米 7．（2025秋•长春期中）如图所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂的端点下降0.5m时，长臂端点应升高（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 8．（2024秋•余姚市期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 9．（2025秋•邓州市期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB于E，FH⊥AD于F．EG＝15里，HG经过点A，则FH为　 　 里． 10．（2025秋•甘井子区期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高AB＝1.6m，他的影长BC＝2.7m，再测出旗杆落到地面上的影长EF＝13.5m，则旗杆的高度DE为　 　 m． 11．（2025秋•闵行区期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长是 　 　 m． 12．（2025•长岭县三模）如图，小明同学用木棍制成的Rt△DEF测量旗杆的高度AB．他调整自己的位置，使斜边DE保持与地面AC平行，直角边DF与点B在同一直线上，已知DF＝2米，EF＝1.5米，斜边DE离地面的高度DC＝1.5米，AC＝14米，则旗杆的高度AB＝　 　 米． 13．（2025秋•泰州期中）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 　 　 m． 三．解答题（共2小题） 14．（2025秋•兰州校级期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小明利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小明的眼睛到地面的距离DM为1.5m，测得AM＝18m，求树高AB． 15．（2025秋•昌平区期中）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16m，落在斜坡上的影长CD为8m，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1m的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2m，求旗杆的高度． 4.6 利用相似三角形测高 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•邯郸期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为AB＝1m，又测得镜子与旗杆底部的距离BC＝6m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.70m，则旗杆的高度大约是（　　） A．3.53m B．7.70m C．8.25m D．10.20m 【考点】相似三角形的应用． 【专题】三角形；图形的相似；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】根据题意可得∠DBA＝∠CBE，可证得△DAB∽△ECB，再由，代入即可求解． 【解答】解：如图： 根据光的反射定律得：∠DBA＝∠CBE， 又∵∠DAB＝∠ECB＝90°， ∴△DAB∽△ECB， ∴， ∴BC＝6m，AB＝1m，AD＝1.7m， ∴， ∴CE＝1.7×6＝10.2， ∴CE＝10.2m． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2025•道外区二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为（　　）cm． A．10 B．20 C．30 D．40 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】B 【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为xcm， 由题意可得：△ABO∽△A′B′O， 则， 解得：x＝20． 答：小孔O到A′B′的距离为20cm， 故选：B． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 3．（2025•郯城县模拟）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；运算能力；应用意识． 【答案】A 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：． 解得x＝6． 即蜡烛火焰的高度是6cm． 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比． 4．（2024秋•温州期末）如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】B 【分析】根据题意，画出示意图，易得：△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案． 【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16， 解得CD＝4m． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 5．（2024秋•长春校级期末）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的应用；由实际问题抽象出分式方程． 【答案】D 【分析】根据题意可证明△EFD∽△EBC得到，然后代入数值即可得到答案． 【解答】解：如图， ∵DF∥BC， ∴△EFD∽△EBC， ∴， ∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明△EFD∽△EBC是解题的关键． 6．（2024秋•海州区期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，爸爸拿的光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（　　） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少0.5米 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】B 【分析】根据题意，作出图形，利用相似三角形的性质，构造方程，进行解答，即可．令点O为光源，AB为小明的手，CD为小狗手影，根据相似三角形的判定和性质，则△OAB∽△OCD，得到，设AB＝x，则CD＝3x，根据题意，，则，计算得到答案，即可． 【解答】解：∵点O为光源，CD为小狗手影，AB为小明的手， ∴AB∥CD， 作OE⊥AB交AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵OF＝3，OE＝1， ∴， 设AB＝x， ∴CD＝3x， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半， ∴， ∵△OAB∽△OC′D′， ∴， ∴OE′＝2， ∴小明的手与光源的距离为：2﹣1＝1（米）． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 7．（2025秋•长春期中）如图所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂的端点下降0.5m时，长臂端点应升高（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】B 【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【解答】解：如图，AC⊥CD，BD⊥CD， 即OA＝1m，OB＝16m，AC＝0.5m，求BD的长度， ∵∠ACD＝∠BDC＝90°，∠COA＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴，即，解得BD＝8， ∴长臂端点升高8m， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 8．（2024秋•余姚市期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】先证出四边形OBCG为矩形，得到OB＝CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l， ∴四边形OBCG为矩形， ∴OB＝CG， ∵AH⊥HO，BO⊥HO， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴， ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2025秋•邓州市期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB于E，FH⊥AD于F．EG＝15里，HG经过点A，则FH为　1.05　 里． 【考点】相似三角形的应用；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识． 【答案】1.05． 【分析】证明△HFA∽△AEG，得，即可求出FH的长． 【解答】解：由题意可知，AEAB＝4.5里，AFAD＝3.5里， ∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD， ∴∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°， ∴FA∥EG， ∴∠HAF＝∠G， ∴△HFA∽△AEG， ∴， 即， 解得：FH＝1.05， 即FH为1.05里， 故答案为：1.05． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2025秋•甘井子区期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高AB＝1.6m，他的影长BC＝2.7m，再测出旗杆落到地面上的影长EF＝13.5m，则旗杆的高度DE为　8　 m． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；运算能力；应用意识． 【答案】8m． 【分析】同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即△ABC∽△DEF，据此列出比例式求解即可 【解答】解：由题意得△ABC∽△DEF， ∴， 即， ∴DE＝8米， 答：旗杆的高度DE为8m． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025秋•闵行区期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长是 　4.8　 m． 【考点】相似三角形的应用；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】4.8． 【分析】设PN与AD的交点为E，设PN＝xm，由题意可得，PN∥BC，则△APN∽△ABC，则，求解即可． 【解答】解：设PN与AD的交点为E，如图： 设PN＝xm，则DE＝MN＝PN＝xm，AE＝AD﹣DE＝（8﹣x）m， 由题意可得，PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴，即， 解得x＝4.8， 即PN＝4.8m， 故答案为：4.8． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 12．（2025•长岭县三模）如图，小明同学用木棍制成的Rt△DEF测量旗杆的高度AB．他调整自己的位置，使斜边DE保持与地面AC平行，直角边DF与点B在同一直线上，已知DF＝2米，EF＝1.5米，斜边DE离地面的高度DC＝1.5米，AC＝14米，则旗杆的高度AB＝　12　 米． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】12． 【分析】延长DE交AB于H，根据矩形的性质得到AH＝CD＝1.5米，DH＝AC＝14米，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：延长DE交AB于H， ∵DE∥AC，AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ACDH是矩形， ∴AH＝CD＝1.5米，DH＝AC＝14米， ∵∠DFE＝∠DHB＝90°，∠EDF＝∠BDH， ∴△DFE∽△DHB， ∴， ∴， ∴BH＝10.5， ∴AB＝BH+AH＝10.5+1.5＝12（米）， 即旗杆的高度AB＝12米． 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，掌握以上性质是解题的关键． 13．（2025秋•泰州期中）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 　6　 m． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；推理能力；应用意识． 【答案】6． 【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高． 【解答】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M， ∵BC∥EF， ∴AM⊥BC于M， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12， ∴EF6（m）． 答：电线杆的高度是6m． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解答时利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比解题． 三．解答题（共2小题） 14．（2025秋•兰州校级期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小明利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF＝0.2m，DE＝0.3m，小明的眼睛到地面的距离DM为1.5m，测得AM＝18m，求树高AB． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】13.5m． 【分析】据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m，可证明△DEF∽△DCB，再利用相似三角形的性质列出比例式求出BC的长，进而求出AB的长即可得到答案． 【解答】解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m， 又∵∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴． ∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝18m， ∴， ∴BC＝12m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+12＝13.5（m）． 答：树高AB为13.5m． 【点评】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 15．（2025秋•昌平区期中）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16m，落在斜坡上的影长CD为8m，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1m的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2m，求旗杆的高度． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】20m． 【分析】过点C作PC⊥BC，交AD于点P，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，如图，先证明△PCD∽△EFG，则利用相似比可求出PC＝4m，易得四边形PQBC为矩形，所以PQ＝BC＝16m，BQ＝PC＝4m．接着利用∠APQ＝45°得到AQ＝16m，然后计算AQ+BQ即可． 【解答】解：过点C作PC⊥BC，交AD于点P，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，如图， ∵PC∥EF，PD∥EG， ∴∠DCP＝∠GFE，∠PDC＝∠EGF， ∵△PCD∽△EFG， ∴， 即， 解得PC＝4m， ∵∠PQB＝∠QBC＝∠BCP＝90°， ∴四边形PQBC为矩形， ∴PQ＝BC＝16m，BQ＝PC＝4m． 在Rt△APQ中，∵∠APQ＝45°， ∴AQ＝PQ＝16m， ∴AB＝AQ+BQ＝16+4＝20（m）． 答：旗杆的高度为20m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 学科网（北京）股份有限公司 $