6.3 反比例函数的应用同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

6.3 反比例函数的应用 一．选择题（共7小题） 1．（2025秋•长沙期中）小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米．若小明同学眼睛的近视度数不超过250度，则下列说法正确的是（　　） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于0.4米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2.5米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于0.4米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于0.4米 2．（2025•高要区校级三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v（m/s）是载重后总质量M（kg）的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量M＝30kg时，它的最快移动速度v＝2m/s；当其载重后总质量M＝60kg时，它的最快移动速度v＝（　　）m/s． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025秋•南山区期中）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•登封市一模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 5．（2024秋•闽清县期末）下列所给的两个相关联的量，它们是反比例关系的是（　　） A．面积一定时，三角形的底a与高h之间的关系 B．周长一定时，长方形的长x与宽y之间的关系 C．工作时间一定时，工作总量w与工作效率v之间的关系 D．汽车的速度一定时，它的行驶路程S与行驶时间t之间的关系 6．（2025•揭阳一模）如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1＝2Ω，R2＝8Ω．当Rx＝4Ω时电流表读数为0，那么此时将Ry减小3Ω，则Rx需要如何变，电流表示数才能为0？（　　） A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω 7．（2025•连州市一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 二．填空题（共4小题） 8．（2025秋•南岗区校级期中）在直流电路中，电流I（A）、电阻R（Ω）、电压U（V）之间满足关系式U＝IR．我国标准供电电压为220V，此时电流与电阻成 　 　 比例关系． 9.（2025秋•北京期中）已知某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化，根据题意列函数表达式为 　 　 ． 10．（2025秋•兴隆台区期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB＝87m，BC＝20m，上口宽EF＝16m，则整个冷却塔高度为　 　 m． 11．（2025•雨花区校级三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（赫兹）与振动弦长l（米）近似成反比例关系，即（k为常数，k≠0）．若振动弦长l为0.6米时，测得振动频率f为200赫兹，则k的值为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•宁阳县期中） 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 13．（2025秋•瑶海区校级期中）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式； （2）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 14．（2025秋•青羊区校级期中）已知：在平面直角坐标系中，点A（8，a），B（b，﹣2）在反比例函数上． （1）求：a，b； （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在平面上，若四边形APBQ是菱形，求点P的坐标； （3）点C（2，2）在反比例函数的图象上，直线l与反比例函数相交于点M，N，且点M在第一象限，点N在第三象限．若CM⊥CN时，则直线MN是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由． 6.3 反比例函数的应用 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025秋•长沙期中）小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米．若小明同学眼睛的近视度数不超过250度，则下列说法正确的是（　　） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于0.4米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2.5米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于0.4米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于0.4米 【考点】反比例函数的应用． 【答案】A 【分析】依据题意，先用待定系数法求出函数解析式，再根据D≤250求出f的取值范围即可． 【解答】解：由题意，设近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）的函数解析式为， ∴把（0.2，500）代入解析式得：． ∴k＝100． ∴， ∴当D≤250时，即． ∴f≥0.4． 故选：A． 【点评】此题考查了反比例函数的应用，由两个量成反比例关系，可得两者乘积一定，因此再用待定系数法解答． 2．（2025•高要区校级三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v（m/s）是载重后总质量M（kg）的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量M＝30kg时，它的最快移动速度v＝2m/s；当其载重后总质量M＝60kg时，它的最快移动速度v＝（　　）m/s． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当M＝60时，求出对应v的值即可． 【解答】解：设v与M的函数关系式为v（k为常数，且k≠0）． 将M＝30，v＝2代入v， 得2， 解得k＝60， ∴v与M的函数关系式为v， 当M＝60时，v1， ∴当其载重后总质量M＝60kg时，它的最快移动速度v＝1m/s． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求出反比例函数的关系式是解题的关键． 3．（2025秋•南山区期中）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】D 【分析】根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【解答】解：由题意可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，且自变量是正数． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 4．（2025•登封市一模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将y＝200代入，结合函数图象即可求解． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，x0.5． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2024秋•闽清县期末）下列所给的两个相关联的量，它们是反比例关系的是（　　） A．面积一定时，三角形的底a与高h之间的关系 B．周长一定时，长方形的长x与宽y之间的关系 C．工作时间一定时，工作总量w与工作效率v之间的关系 D．汽车的速度一定时，它的行驶路程S与行驶时间t之间的关系 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据两个相关联的量对应的两个数值的比值一定时是正比例，乘积一定时是反比例判断即可． 【解答】A．∵ab＝2×三角形的面积（定值）， ∴三角形的底a与高h之间是反比例关系，故该选项符合题意； B．∵x+y矩形的周长（定值）， ∴长方形的长x与宽y不是反比例关系，故该选项不符合题意； C．∵工作时间（定值）， ∴工作总量w与工作效率v之间是正比例关系，故该选项不符合题意； D．∵汽车的速度（定值）， ∴汽车行驶路程S与行驶时间t之间是正比例关系，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握两个相关联的量对应的两个数值的乘积一定时是反比例关系是解决问题的关键． 6．（2025•揭阳一模）如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1＝2Ω，R2＝8Ω．当Rx＝4Ω时电流表读数为0，那么此时将Ry减小3Ω，则Rx需要如何变，电流表示数才能为0？（　　） A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω 【考点】反比例函数的应用． 【专题】跨学科；反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】A 【分析】根据，R1＝2Ω，R2＝8Ω，Rx＝4Ω，求出Ry＝4Ω，因为将Ry减小3Ω，故把Ry＝1Ω代入算出调整后的Rx＝16Ω，即可作答． 【解答】解：∵，R1＝2Ω，R2＝8Ω，Rx＝4Ω， ∴， ∴Ry＝4Ω， ∵将Ry减小3Ω， ∴调整后的Ry＝1Ω， ∵电流表示数才能为0， ∴， 则， 解得Rx＝16Ω， ∴16Ω﹣4Ω＝12Ω， 即Rx增大12Ω， 故选：A． 【点评】本题考查了比例式，读懂题意，求出Ry＝4Ω是关键． 7．（2025•连州市一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据图象和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 二．填空题（共4小题） 8．（2025秋•南岗区校级期中）在直流电路中，电流I（A）、电阻R（Ω）、电压U（V）之间满足关系式U＝IR．我国标准供电电压为220V，此时电流与电阻成 　反　 比例关系． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】反． 【分析】根据题意列出反比例函数的解析式即可． 【解答】解：∵电流I（A）、电阻R（Ω）、电压U（V）之间满足关系式U＝IR，U＝220V， ∴I， ∴电流与电阻成反比例关系． 故答案为：反． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地列出比例式是解题的关键． 9．（2025秋•北京期中）已知某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化，根据题意列函数表达式为 　　 ． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据矩形面积公式，长与宽的乘积等于面积，从而写出函数表达式． 【解答】解：设草坪的长为ym，宽为xm， x•y＝1000， 因此，y关于x的函数表达式为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了列反比例函数关系式，正确进行计算是解题关键． 10．（2025秋•兴隆台区期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB＝87m，BC＝20m，上口宽EF＝16m，则整个冷却塔高度为　　 m． 【考点】反比例函数的应用；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；轴对称图形． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】设CF的解析式为，根据y轴垂直平分AB，得到OB，结合BC的长度，得到C点坐标，利用待定系数法从而得到CF的解析式，再由EF的长度得到点F的横坐标为8，代入解析式得到点F的纵坐标，即可求得整个冷却塔高度． 【解答】解设CF的解析式为， 由条件可知BC⊥AB，AD⊥AB， ∵y轴垂直平分AB，AB＝87， ∴， ∵BC＝20， ∴， ∴， 解得：k＝870， ∴CF的解析式为， ∵EF＝16， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，矩形的性质，根据题意利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 11．（2025•雨花区校级三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（赫兹）与振动弦长l（米）近似成反比例关系，即（k为常数，k≠0）．若振动弦长l为0.6米时，测得振动频率f为200赫兹，则k的值为 　120　 ． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】120． 【分析】将l＝0.6，f＝200代入f，得到关于k的方程并求解即可． 【解答】解：将l＝0.6，f＝200代入f， 得200， 解得k＝120． 故答案为：120． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握用代入自变量与函数值的方法计算比例系数是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•宁阳县期中） 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，直接写出其两腿迈出的步长之差最多是多少． 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为y； （2）当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y，解方程即可得到结论； （2）把x＝0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y， 由图象可知，反比例函数过点（7，2）， ∴7， ∴k＝14， ∴y与x之间的函数表达式为y； （2）当x＝0.5时，y28， ∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）当y≥70时，即70， ∴x≤0.2， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.2厘米． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 13．（2025秋•瑶海区校级期中）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式； （2）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 【考点】反比例函数的应用． 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）水温下降过程中，y与x的函数关系式是y； （2）一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min． 【分析】（1）依题得开始加热时每分钟上升20℃，则水温从20℃加热到100℃所需时间用热量差÷每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点（4，100）在反比例函数y的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于40℃的时间+降温过程中水温不低于40℃的时间即为加热一次水温不低于40℃的时间，其中降温过程中水温不低于40℃的时间利用（1）中的函数解析式即可求得． 【解答】解：（1）∵开始加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为4（min）， 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y， 由题意得，点（4，100）在反比例函数y的图象上， ∴4， 解得：k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y； （2）在加热过程中，水温为40℃时，所需时间为即1﹣4min温度都高于40℃； 在降温过程中，水温为40℃时，40， 解得：x＝10， 即4﹣10min内温度都高于40℃， ∵10﹣1＝9（min）， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min． 【点评】本题考查反比例函数的应用、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 14.（2025秋•青羊区校级期中）已知：在平面直角坐标系中，点A（8，a），B（b，﹣2）在反比例函数上． （1）求：a，b； （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在平面上，若四边形APBQ是菱形，求点P的坐标； （3）点C（2，2）在反比例函数的图象上，直线l与反比例函数相交于点M，N，且点M在第一象限，点N在第三象限．若CM⊥CN时，则直线MN是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）a，b＝﹣2； （2）点P的坐标为（，） 或（，）； （3）（2，6）． 【分析】（1）反比例函数的表达式为y，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于k（这里k＝4），所以将点A（8，a）、B（b，﹣2）分别代入函数表达式即可求解； （2）四边形APBQ是菱形时，则AB为菱形的对角线，需要先求出直线AB的解析式，进而求得PQ的解析式，与反比例函数联立，即可求得P点的坐标； （3）设直线MN的解析式为y＝mx+n，与反比例函数y联立，得到关于x的一元二次方程．利用韦达定理得到根与系数的关系，再结合CM⊥CN（斜率之积为﹣1），推导出m与n 的关系，从而确定顶点． 【解答】解：（1）对于点A（8，a），代入y，得a， 对于点B（b，﹣2），代入y，得﹣2，解得b＝﹣2； （2）先求A（8，）、B（﹣2，﹣2）之间的距离AB： AB， 设直线AB的解析式为y＝kx+c，代入A、B坐标：， 解得k，c，即直线AB的解析式为yx， ∵四边形APBQ是菱形， ∴AB为菱形的对角线， ∴AB⊥PQ， ∵A（8，），B（﹣2，﹣2）， ∴AB的中点为（，），即（3，），该中点也是PQ的中点， ∵AB的斜率为， ∴PQ的斜率为﹣4（垂直时斜率之积为﹣1）， 设PQ的解析式为y＝﹣4x+t， 把点（3，）代入得4×3+t， ∴t， ∴y＝﹣4x， 解，得或， ∴点P的坐标为（，） 或（，）； （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的解析式为y＝mx+n，联立，得到mx2+nx﹣4＝0， 由韦达定理，x1+x2，x1x2， ∵C（2，2），CM⊥CN， ∴kCM•kCN＝﹣1， kCM，kCN， 代入斜率之积为﹣1的条件，经过化简（过程略），可得n＝﹣2m+6， ∴直线MN的解析式为y＝mx﹣2m+6＝m（x﹣2）+6， 当x＝2时，y＝6，与m无关， 因此，直线MN经过定点（2，6）． 【点评】本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、一次函数与反比例函数的交点以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $