以反比例函数为背景的面积问题、反比例函数的实际应用问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

以反比例函数为背景的面积问题、反比例函数的实际应用问题专项训练 以反比例函数为背景的面积问题、反比例函数的实际应用问题专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的面积问题 反比例函数的实际应用问题 考点一 以反比例函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知反比例函数的图像与直线交于点，，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，且与反比例函数的图像交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)若直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点（横、纵坐标都是整数，不包含边界），求b的取值范围； (3)若直线与x轴交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将点代入反比例函数可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：反比例函数的整数点有：等， ∵直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点， ∴扫过了反比例函数图像上的两个整数点是， ∴直线经过两个边界点， 当直线过点和， 则，解得：； 当直线过点和， 则，解得：. 综上，． （3）解：∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， ∵，，， ∴如图：的面积 ． 例3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)的面积为3 【详解】（1）解：点是直线与反比例函数交点， 点坐标满足一次函数解析式， ， ， ， ， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：轴，， ，轴， ， 一次函数的图象与轴相交于点， 令，则， ， ， ， 的面积为3． 例4．（24-25九年级上·山东枣庄·月考）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)直接写出不等式的解集_____． (2)求直线的解析式； (3)求三角形的面积 (4)若点是轴上的一点，使的面积是的面积的2倍，求点的坐标； 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：作轴，垂足为， 在中，，， 设，则，由勾股定理得： ， 解得：（舍去， ， 将代入得：，解得， ∴， ∵点B的纵坐标为， 当时，， 点， 根据函数图象可得：的解集为或； （2）点在一次函数图象上， 设直线解析式为：， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为：． （3）解：如图，连接 ∵，，， ∴， ∴ （4）解：如图， ∵，， ∴ 设，则， 又的面积是的面积的2倍， ∴ 解得：或 ∴或 变式1．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)设P是直线上一点，过P作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，连接，，若的面积是的面积的倍，求点P的坐标． (3)将的图象沿的方向平移，使点C与点B重合，得到的图象与x轴交于点H，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴ 反比例函数的图象过点C， ∴， 解得：， 即反比例函数解析式为：； （2）解：对于，令，则，令，则，解得， ∴，， 当点P在点C的右侧时，设，则，， ∴，， 的面积是的面积的倍，且和等高， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ， 当时，， ∴； 当点P在点C的左侧时，设，则，， 则，， 的面积是的面积的倍，且和等高， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去， ∴， 综上分析，点P的坐标为或； （3）解：如图，∵，， 反比例函数图象向右移动2个单位，再向下移动2个单位， 反比例函数图象向右移动2个单位，再向下移动2个单位得到， 令， 整理得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴，，， ∴． 变式2．（24-25九年级下·吉林四平·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． (1)求k的值； (2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围； (3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【详解】（1）解：点，点在反比例函数的图象上， ， ，， ； （2）解：， ， ∵， ∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件， ； （3）解：， ， ， ， ，设边上高的为h， ， 点在的下方时， 时， 当时，， 点的坐标为； 点在的上方时， 时， 当时，， 点的坐标为． 变式3．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝ (2) (3)存在，点E的横坐标或 【详解】（1）∵点C在y轴正半轴，，即， 把代入表达式， ∴， ∴一次函数解析式为． 将代入，得， ∴． 将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）将代入，得， ∴点D的坐标是， ∴． 将代入，得， 解得，． 当时，， ∴点A的坐标是， ∵点B的纵坐标为3， ∴． （3）在直线中，当时，， ∴ 根据题意可知， 设点， ， 解得或， ∴点E的横坐标或． 变式4．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 考点二 反比例函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·山西运城·月考）山西某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后接通电源自动加热，每分钟水温上升，加热至时停止加热，此后水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至降至的室温后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，y与x的函数表达式（需先推导m的值）． (2)计算图中b的数值． (3)景区开放时间为8：00，第一批游客预计9：10到达休息室，希望喝到～之间的温水，且工作人员需在游客到达前完成水温调控（8：00前可操作，8：00-9：00为游客入园高峰期，禁止操作设备），请直接写出工作人员应在______（填写时间段，结果取整）接通电源． 【答案】(1) (2) (3)7：55-7：59（答案不唯一） 【详解】（1）解：由题意可知，， 当时，y与x成一次函数关系， 设，将，；，，代入表达式得， ， 解得，， ∴； 当时，y与x成反比例关系， 设，将，，代入表达式得， ， 解得，， ∴； 综上所述，． （2）解：将，代入反比例函数的表达式，得， ， 解得，． （3）解：由题意可知，该饮水机的工作周期是20分钟， ∴9：10的水温与20分钟前的水温相同，即8：50，以此类推，水温相同的时刻有8：30，8：10，7：50，， 将代入反比例函数的表达式，得， ， 解得，； 将代入反比例函数的表达式，得， ， 解得，； 由图象可知，在第一象限，反比例函数随x的增大而减小， ∴当时，， 根据题意，在该范围内取整为， ∴为了让游客喝到温水，需提前11分钟到15分钟开始加热， ∵8：00-9：00禁止操作设备， ∴工作人员接通电源的时间段应为7：55-7：59（答案不唯一）． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 （4）则该品牌头盔每个应涨价5元 【详解】解：（1）根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． （4）设头盔每个涨价m元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 则该品牌头盔每个应涨价5元． 例3．（25-26九年级上·山东济宁·月考）“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： /（） … … (1)根据表中数据，求电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 【答案】(1) (2) 当测酒仪中核心部件电阻的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶 【详解】（1）解：根据表格数据，计算： ，，，， ，即， 电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式为． （2）解：：饮酒驾驶条件为血液酒精浓度不低于且小于， 血液浓度 呼出浓度， ，即， 观察表格可知，当时，， 当时，， 对于， 随增大而减小，且， ． 答：当测酒仪中核心部件电阻的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶． 例4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·月考）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例．如图，这是含药量y与时间x的函数图象．现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克． 请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是__________；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是_______． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)，，， (2)此次消毒有效，理由见详解 【详解】（1）解：药物燃烧时，设函数关系式为， 将原点和分别代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是， 药物燃烧后，设函数关系式为， 将代入得：，解得， ∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是， 故答案为：，，，． （2）解：此次消毒有效， 理由：药物燃烧时，y与x的函数关系式为， 当时，； 药物燃烧后，y与x的函数关系式为， 当时，， 而空气中每立方米的含药量不低于5毫克的持续时间为：， ∴此次消毒有效． 变式2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 (1)如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； (2)写出函数的一条性质：__________； (3)若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 【答案】(1) (2)y随着x的增大而减小，答案不唯一 (3)滑动变阻器上的电阻的变化范围为 【详解】（1）解：∵电流电压电阻， ∴在电压固定为时，电流与电阻成反比 ∴用反比例函数来描述这些点的变化规律， ∴设函数解析式为， 代入点得：，解得：， 验证其他点，符合这一关系式 ∴函数解析式为. （2）解：根据函数解析式和函数图象可得：y随着x的增大而减小， ∴写出函数的一条性质可以是：y随着x的增大而减小，答案不唯一. （3）解：∵y随着x的增大而减小， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴. 即滑动变阻器上的电阻的变化范围为. 变式3．（25-26九年级上·山西太原·月考）通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 【答案】(1) (2)近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议 【详解】（1）解：设，其中， 将代入，得：， 解得， 故度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式为． （2）解：当时，， 由图可知，D随f的增大而减小， 故近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议． 变式4．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，求本节课讲这道题的时长不能超过多少分钟？ 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为； (2)12分钟 【详解】（1）解：当时，设， 将，代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， 当时，设，将代入得，解得， ∴； ∴一次函数解析式为；反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 分钟， 答：本节课讲这道题的时长不能超过12分钟． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以反比例函数为背景的面积问题、反比例函数的实际应用问题专项训练 以反比例函数为背景的面积问题、反比例函数的实际应用问题专项训练 考点目录 以反比例函数为背景的面积问题 反比例函数的实际应用问题 考点一 以反比例函数为背景的面积问题 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知反比例函数的图像与直线交于点，，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，且与反比例函数的图像交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)若直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点（横、纵坐标都是整数，不包含边界），求b的取值范围； (3)若直线与x轴交于点D，且，求的面积． 例3．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 例4．（24-25九年级上·山东枣庄·月考）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)直接写出不等式的解集_____． (2)求直线的解析式； (3)求三角形的面积 (4)若点是轴上的一点，使的面积是的面积的2倍，求点的坐标； 变式1．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点 (1)求反比例函数的表达式； (2)设P是直线上一点，过P作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，连接，，若的面积是的面积的倍，求点P的坐标． (3)将的图象沿的方向平移，使点C与点B重合，得到的图象与x轴交于点H，求的面积． 变式2．（24-25九年级下·吉林四平·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． (1)求k的值； (2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围； (3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 变式3．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 变式4．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 考点二 反比例函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·山西运城·月考）山西某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后接通电源自动加热，每分钟水温上升，加热至时停止加热，此后水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系，直至降至的室温后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，y与x的函数表达式（需先推导m的值）． (2)计算图中b的数值． (3)景区开放时间为8：00，第一批游客预计9：10到达休息室，希望喝到～之间的温水，且工作人员需在游客到达前完成水温调控（8：00前可操作，8：00-9：00为游客入园高峰期，禁止操作设备），请直接写出工作人员应在______（填写时间段，结果取整）接通电源． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 例3．（25-26九年级上·山东济宁·月考）“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： /（） … … (1)根据表中数据，求电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 例4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·月考）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例．如图，这是含药量y与时间x的函数图象．现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克． 请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是__________；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为________；自变量x的取值范围是_______． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于5毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 变式2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）小明在物理综合实践课上，用一固定电压为18V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流表上读数的大小，如图1．滑动变阻器的电阻为通过多次试验，得到以下数据（如下表）： 电阻 1 3 5 7 9 电流 18 6 3.6 2.6 2 (1)如图2是根据表中数据在平面直角坐标系上描点，并用平滑的曲线把各点连接形成的图象，用你学过的函数描述这些点的变化规律，并求出函数解析式（写出自变量的取值范围）； (2)写出函数的一条性质：__________； (3)若电流表上读数在之间变化，求滑动变阻器上的电阻的变化范围． 变式3．（25-26九年级上·山西太原·月考）通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 变式4．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，求本节课讲这道题的时长不能超过多少分钟？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $