4.2《平行线分线段成比例》教学设计 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦平行线分线段成比例定理及推论，以梯子实物情境导入，结合生活常识引导学生观察线段关系，前承图形变换与三角形全等知识，后为相似三角形学习奠基，构建知识支架。 特色在于从生活情境到方格纸探究，培养几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维），例题与分层练习强化应用，用符号语言表达（数学语言），学生自主探究提升积极性，教师易操作，高效落实重难点。

4.2 平行线分线段成比例 协和学校 余亮 设计说明 北师大版数学九年级上册第四章《图形的相似》主要研究相似三角形，在前面的数学学习中，学生已具有一定的学习几何的能力，已经掌握图形的平移、旋转、轴对称等，同时学生已具有探索两个三角形全等的经历，掌握了探究两个三角形全等的过程和方法，这为探究两个三角形相似奠定了基础. 本课时是《图形的相似》第2节，主要探究平行线分线段成比例定理及其推论，本节课主要是在相似图形前面的一课时内容，它是研究相似三角形的最重要和最基本的理论，一方面可以直接判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明. 教学目标： 知识与能力 了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理内容.能应用定理证明线段成比例，并会进行有关的计算. 过程与方法 通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 情感、态度与价值观 通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 教学重点 平行线分线段成比例定理及其理解. 教学难点 平行线分线段成比例定理及其应用. 教学准备 教师准备：多媒体课件. 学生准备：复习两条线段的比以及预习新课内容. 教学过程 1、 创设情景、导入新课 如图，这是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道，AA1 ， BB1 ，CC1 ，DD1互相平行，若AB=BC=CD, (1) 请判断A1B1，B1C1，C1D1相等吗？ (2) 若抽掉一个台阶，与的值是多少，这四条线段是成比例线段吗？ （设计意图：借助梯子这一实物引入课题，让学生体会数学来源于生活） 二、探究新知 探究1.平行线分线段成比例的基本事实 （设计意图：引导学生借助方格纸这一工具，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实.为下面的学习及推论奠定基础.） 在图1中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3. (1) 计算与，与，与的值，你有什么发现？ （2）将l2向下平移到如图所示的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？ (3) 在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 学生思考，探讨，与同学交流. 教师提问，师生共同总结. 总结：一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 几何语言： 当a∥b∥c时， 强化练习 1.已知两条直线被三条直线所截，截得线段的长度如图所示，求x的值. 探究2.平行线分线段成比例定理的推论 （设计意图：通过做平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，从而得到它的一个推论.） 做一做：如图1，直线a∥b∥c ，分别交直线m，n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 .过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3(如图2 ），图2中有哪些成比例线段？ 教师活动：提示两组平行线所夹的图形为平行四边形，平行四边形的对边对应相等. 【延伸】 将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？ 【归纳】 对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，可以得到：在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E， 则有： ,,. 即平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 三、应用新知 （设计意图：通过解决例题让学生一方面巩固对推论的理解，另一方面也为后面证明相似三角形的判定定理做铺垫.解题时注意引导学生阅读、理解题意.） 例 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. （1）如果AE=7，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？ 教师引导学生分析题意，学生独立写出答题步骤，师生共同规范解题过程： 解 （1）∵ EF//BC， ∴ ∵AE=7，EB=5，FC=4， ∴ （2） ∵ EF//BC， ∴ ∵ AB=10，AE=6，AF=5， ∴ ∴ 小结：平行线分线段成比例定理可以得到成比例线段，利用线段间的这种关系，我们可以求线段的长度，这是我们求线段长度的一种新的方式. 四、巩固提升 （设计意图：进一步强化本节课所学知识，将平行线分线段成比例定理及推论进行简单应用） 1.如图，两条直线被三条平行线所截. (1) 在图（1）中，AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长； (2) 在图（2）中，DE=6，EF=7，AB=5，求AC的长. 2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.下面等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，, , 求 . 4. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC,EF∥AB， AD∶DB=2∶3，BC=20 cm，求BF的长. 五、课堂小结 （设计意图：回顾知识点形成知识体系，培养学生回顾梳理知识的习惯） 1. 什么是平行线分线段成比例定理？ 2.平行线分线段成比例定理的推论是什么？ 六、作业布置 1. 如图，练习本中的横格线都互相平行，且相邻两条横格线间的距离都相等.同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB=4 cm，则线段BC= cm. 2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥BC,若AE=6,.则AC的长是（ ） A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14 3. 如图，在△ABC中，点D,E,F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=4∶7，求的值. 4. 如图，BD∶DC=5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值. 7、 板书设计 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 当a∥b∥c时， 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 符号语言： 在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则有： ,,. 例题： 8、 教学反思 本节课设置了计算活动，让学生主动地参与到知识的探索过程中，并在活动中掌握平行线分线段成比例定理及推论.在活动过程中教师充当一个组织者和引导者，而学生成了课堂的主人，提高了学生的学习热情和积极性. 学科网（北京）股份有限公司 $