第一章 第三节 等式性质与不等式性质（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第三节　等式性质与不等式性质 1.已知a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为（　　） A.M＞N B.M＜N C.M≤N D.M，N大小关系不确定 2.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　） A.（1，3） B.（，） C.（，） D.（，1） 3.已知a＋b＜0，且a＞0，则下列不等式正确的是（　　） A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2 4.（2025·宜荆适应性考试）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＞y＞z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　） A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz 5.〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　） A.＞－1 B.｜a｜＜｜b｜ C.＋＞0 D.（a－1）（b－1）＜1 6.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.∃a，b∈R，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0 B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2 C.ab≠0是a2＋b2≠0的充要条件 D.若a≥b＞0，则≥ 7.已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了.试根据此事实提炼一个不等式：当b＞a＞0且m＞0时，　　　　. 8.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则2α＋｜β｜的取值范围是　　　　. 9.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范围. 10.若a＞0，b＞0，则p＝（ab与q＝abba的大小关系是（　　） A.p≥q　　B.p≤q　　C.p＞q　　D.p＜q 11.“x＞y＞0”是“x－＞y－”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.〔多选〕已知a＞b＞0，给出下列四个不等式.其中一定成立的不等式为（　　） A.a2＞b2 B.2a＞2b－1 C.＞－ D.a3＋b3＞2a2b 13.设f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（－2）的取值范围是　　　　. 14.（1）设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1； （2）已知a＞0且a≠1，比较与的大小. 15.（新定义）设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝a⊕b＝若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则（　　） A.mn≥4且p＋q≤4 B.m＋n≥4且pq≥4 C.mn≤4且p＋q≥4 D.m＋n≤4且pq≤4 16.（开放创新题）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； （2）求证：＜； （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　等式性质与不等式性质 1.B　M2－N2＝（a＋b）－（a＋b＋2）＝－2＜0，∴M＜N. 2.A　因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即＜＜，故的取值范围为（1，3）. 3.A　由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2.故选A. 4.A　ax＋by＋cz－（az＋by＋cx）＝a（x－z）＋c（z－x）＝（a－c）（x－z）.∵x＞y＞z，a＜b＜c，∴a－c＜0，x－z＞0，∴ax＋by＋cz＜az＋by＋cx.同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝b（z－x）＋c（x－z）＝（b－c）（z－x）＞0，∴ay＋bz＋cx＞ay＋bx＋cz，故只需再比较ax＋by＋cz与ay＋bx＋cz的大小即可.ax＋by＋cz－（ay＋bx＋cz）＝a（x－y）＋b（y－x）＝（a－b）·（x－y），∵a－b＜0，x－y＞0，∴（a－b）·（x－y）＜0，∴ax＋by＋cz＜ay＋bx＋cz，∴在不同的方案中，最低的总费用是（ax＋by＋cz）元，故选A. 5.ABD　对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴＞－1，∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但＋＝－1＋＝－＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A、B、D. 6.AD　对于选项A，当a＝2，b＝－1时，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0成立，故A正确；对于选项B，当a＝0时，ax＞2不成立，故B错误；对于选项C，当ab≠0时，a2＋b2≠0成立；当a2＋b2≠0时，如a＝1，b＝0，此时ab＝0，故ab≠0不成立，也即“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，当a≥b＞0时，≥等价于a＋ab≥b＋ab，显然成立，所以D正确.故选A、D. 7.＞　解析：糖水变甜了，意味着含糖量变大了，即浓度变高了，所以当b＞a＞0且m＞0时，＞. 8.（2，10）　解析：∵－4＜β＜2，∴0≤｜β｜＜4，又1＜α＜3，∴2＜2α＜6，∴2＜2α＋｜β｜＜10. 9.解：因为6＜a＜60，15＜b＜18， 所以－18＜－b＜－15， 所以－12＜a－b＜45. 又＜＜，则＜＜， 即＜＜4. 因为＝＋1，所以＜＜5. 综上，a－b的取值范围为（－12，45），的取值范围为（，5）. 10.A　＝＝＝（，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，∴＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，∴＞1；若a＝b，则＝1，∴p≥q.故选A. 11.A　由题得，x－－（y－）＝－＝.又x＞y＞0.所以x－－（y－）＞0，即x－＞y－.充分性成立.显然，当x＝2，y＝－1时，x－＞y－成立，所以必要性不成立.故“x＞y＞0”是“x－＞y－”的充分不必要条件.故选A. 12.ABC　由a＞b＞0，可得a2＞b2，A成立；由a＞b＞0，可得a＞b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，所以f（a）＞f（b－1），即2a＞2b－1，B成立；因为a＞b＞0，所以＞，所以（）2－（－）2＝2－2b＝2（－）＞0，所以＞－，C成立；若a＝3，b＝2，满足a＞b＞0，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b3＜2a2b，D不成立，故选A、B、C. 13.[5，10]　解析：法一（待定系数法） f（1）＝a＋b，f（－1）＝a－b，设f（－2）＝4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），则f（－2）＝（m＋n）a＋（－m＋n）b，所以解得所以f（－2）＝3（a－b）＋（a＋b）.因为1≤a－b≤2，所以3≤3（a－b）≤6.又2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，即5≤f（－2）≤10. 法二（换元法） 设则a＝，b＝.所以f（－2）＝4a－2b＝2（m＋n）－（n－m）＝3m＋n，而1≤m＝a－b＝f（－1）≤2，2≤n＝a＋b＝f（1）≤4，所以5≤f（－2）≤10. 14.解：（1）证明：由2n≥n＋k＞n（k＝1，2，…，n），得≤＜. 当k＝1时，≤＜； 当k＝2时，≤＜； … 当k＝n时，≤＜. ∴＝≤＋＋…＋＜＝1. （2）∵－＝， ∴当a＞1时，－2a＜0，a2－1＞0，则＜0，即＜； 当0＜a＜1时，－2a＜0，a2－1＜0，则＞0，即＞. 综上，a＞1时，＜；0＜a＜1时，＞. 15.A　结合定义及m⊗n≥2可得或即n≥m≥2或m＞n≥2，所以mn≥4，m＋n≥4；结合定义及p⊕q≤2，可得或即q＜p≤2或p≤q≤2，所以pq≤4，p＋q≤4. 16.解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. （2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜＜. ① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0. ② ①②相乘得＜. （3）由（2）知：a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式.（只要写出一个即可） 学科网（北京）股份有限公司 $