第一章 第二节 常用逻辑用语（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第二节　常用逻辑用语 1.A　对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题；对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题；对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题；对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题. 2.D　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”. 3.B　由（a＋b）·（a－b）＝0，得a2－b2＝0，即｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，当a＝（1，1），b＝（－1，1）时，｜a｜＝｜b｜，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，（a＋b）·（a－b）＝0，故必要性成立.所以“（a＋b）·（a－b）＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件. 4.D　等比数列{an}为递增数列的充要条件是或故“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 5.C　选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 6.C　由p为真命题，可知对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝（－a）2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由􀱑q为真命题，可得∀x∈R，2x≥a恒成立，因为2x＞0恒成立，所以a≤0.综上所述，a的取值范围为[－2，0]，故选C. 7.A　由ln（a－1）＞0，得⇒a＞2，设p：A＝{a｜ln（a－1）＞0}＝{a｜a＞2}，由∃x＞0，≤a等价于a≥＝x＋≥2（当x＝1时等号成立），则a≥2，设q：B＝{a｜a≥2}，因为{a｜a≥2}⊇{a｜a＞2}，所以p⇒q且q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 8.BD　对于二次函数y＝（x－2）2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1.对于选项A，当x＝2时，y＝－1＜1，所以A不正确；对于选项B，∀a＞－1，当x0＝2时，y＝－1＜a，所以B正确；对于选项C，当a＝－2时，∀x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正确；对于选项D，取x1＝1，x2＝3，则（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D正确.故选B、D. 9.BD　对于选项A，当ab2＞cb2成立时，因为b2＞0，所以a＞c，充分性成立；当a＞c成立时，因为b2≥0，不能得出ab2＞cb2，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故A错误；对于选项B，当a＞1时，＜1成立，即充分性成立；当＜1时，－1＜0，解得a＜0或a＞1，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故B正确；对于选项C，ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立时，则或当b2－4ac≤0时，不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R不恒成立，所以是既不充分也不必要条件，故C错误；对于选项D，当a＜1时，方程x2＋x＋a＝0不一定有实数根，如a＝，Δ＝1－4×＝－1＜0，方程无实根，所以充分性不成立.当方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根时，a＜0，所以a＜1，必要性成立，所以是必要不充分条件，故D正确.故选B、D. 10.假　解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以􀱑p为假命题. 11.0　解析：若f（x）为奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0，所以a（－x）2－sin（－x）＋ax2－sin x＝0，2ax2＝0，所以a＝0. 12.（1）[2，＋∞）　（2）（－∞，2） 解析：设A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x≥2}. （1）因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2. （2）因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，所以a＜2. 13.ABD　对于A选项：原图中的绳结不可解开，则无法无损伤地变为一个圆；对于D选项：为三个圆，不是一根绳编制的绳结，故D也不能无损伤的变为原图中的绳结；对于B、C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而B、C情形为三叶结变体，则B、C至少有一个无法无损伤得到，再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知，可以得到C选项，无法得到B选项. 故选A、B、D. 14.D　解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E快；综上所述，D疏散最快. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　常用逻辑用语 1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（　　） A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N，使2x为偶数 C.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数 2.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（　　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2 3.（2024·北京高考5题）设a，b是向量，则“（a＋b）·（a－b）＝0”是“a＝－b或a＝b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知数列{an}为等比数列，则“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（　　） 6.已知命题p：∀x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q：∃x∈R，2x＜a.若p和􀱑q均为真命题，则实数a的取值范围为（　　） A.（－2，0]　　　　　 B.（－2，0） C.[－2，0] D.[－2，0） 7.（2024·南昌一模）已知p：ln（a－1）＞0，q：∃x＞0，≤a，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.〔多选〕关于二次函数y＝（x－2）2－1，下列说法中正确的是（　　） A.∀x∈R，y＝（x－2）2－1≥1 B.∀a＞－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜a C.∀a＜－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝a D.∃x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1 9.〔多选〕若a，b，c∈R，则下列叙述中正确的是（　　） A.“ab2＞cb2”是“a＞c”的充要条件 B.“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 C.“ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤0” D.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题􀱑p是　　　　命题（填“真”或“假”）. 11.（2025·大连一模）“函数f（x）＝ax2－sin x是奇函数”的充要条件是实数a＝　　　　. 12.已知条件p：x＞a，条件q：x≥2. （1）若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　； （2）若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　. 13.（实操与推理）〔多选〕（2025·八省联考）下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（　　） 14.（推理判断题）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　　　　. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $