第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第五节　直线、平面垂直的判定与性质 1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　） A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 3.（2025·蚌埠模拟）设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列说法正确的是（　　） A.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β B.若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β C.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β D.若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥β 4.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 5.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　） A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 6.〔多选〕如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（　　） 7.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为　　　　. 8.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题为　　　　. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D.1 11.〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是（　　） A.平面D1A1P⊥平面A1AP B.∠APD1的取值范围是（0，） C.三棱锥B1-D1PC的体积为定值 D.DC1⊥D1P 12.已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为　　　　. 13.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝　　　　. 14.如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1. （1）求证：平面CFG⊥平面ACE； （2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由. 15.（创新考法）已知平面α上放置有棱长为2的正四面体ABCD，若该四面体绕棱BC旋转，使点D到平面α的距离为1，如图.则点A到平面α的距离为　　　　. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五节　直线、平面垂直的判定与性质 1.C　如图所示，可排除A、B、D；因为平面α，β交于直线l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 2.A　连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上. 3.A　对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确；对于B，若a⊥α，b⊂β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误. 4.C　如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝＝＝，AD＝＝＝，而SA＝，∴△SDA是正三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°. 5.B　因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线且EG，EF⊂平面EFHG，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH. 6.BD　对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 7.直角三角形　解析：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，PB⊥BC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形. 8.若m∥α，l⊥α，则l⊥m（或若l⊥m，l⊥α，则m∥α） 解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②. 9.证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. （2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD. 所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， 所以AE⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. 10.D　由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F（如图），连接FC1，A1B，此时AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因为B1F＝λBF，所以λ＝1. 11.ACD　对于A，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于B，当P与A1重合时，∠APD1＝，故B错误；对于C，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1-D1PC的体积为定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确. 12.　解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为点P到平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.所以PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝ ＝. 13.2　解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ⊂平面PAQ，∴DQ⊥平面PAQ，又AQ⊂平面PAQ，∴DQ⊥AQ.∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2. 14.解：（1）证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC. 设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD， 连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN， 所以四边形FMNG为平行四边形， 所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD. 所以FG⊥AE， 又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE. 所以FG⊥平面ACE. 又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE. （2）存在，设平面ACE交FG于点Q， 则Q为FG的中点， 连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH， 由已知易知，平面EFG∥平面ABCD， 又平面ACE∩平面EFG＝EQ， 平面ACE∩平面ABCD＝AC， 所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝， 所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ， 又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG， 所以EH∥平面CFG， 所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝. 15.　解析：分别过点A，D作平面α的垂线，垂足为F，E，连接EF，则EF过BC的中点S，如图.在直角梯形AFED中，AD＝2，AS＝DS＝，DE＝1.所以SE＝，tan∠DSE＝，而cos ∠ASD＝＝，所以tan ∠ASD＝2.因此tan（∠ASD＋∠ESD）＝＝－，所以tan ∠ASF＝，故sin ∠ASF＝＝，所以AF＝ASsin ∠ASF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $