第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 2.若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是（　　） A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面或相交 3.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　） A.不存在 B.有且只有2条 C.有且只有3条 D.有无数条 5.〔多选〕如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　） 6.〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　） A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面 C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面 7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱的条数为　　　　. 8.如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　　　　. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中： （1）求异面直线AC与A1D所成角的大小； （2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 11.〔多选〕如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是（　　） A.AB与CD所在的直线垂直 B.CD与EF所在的直线平行 C.EF与GH所在的直线异面 D.GH与AB所在的直线夹角为60° 12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是（　　） A.AP与CM是异面直线 B.AP，CM，DD1相交于一点 C.MN∥BD1 D.MN∥平面BB1D1D 13.如图所示，已知空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为，且AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝　　 　. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点. （1）线段PA上是否存在一点G，使得D，C，E，G四点共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； （2）若PC＝2，求三棱锥P-ACE的体积. 15.（创新设问方式）已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成的角α在旋转过程中（　　） A.逐步变大　　　　　　　　　　　　B.逐步变小 C.先变小后变大 D.先变大后变小 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.A　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.故选A. 2.D　如图所示，a，b的位置关系分别是平行、异面、相交.故选D. 3.C　若a，b相交，a⊂α，b⊂β，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线.综上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件.故选C. 4.D　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，如图. 5.BD　图A中，直线GH∥MN；图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；图C中，连接GM，则GM∥HN.因此GH与MN共面；图D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面.故选B、D. 6.ABC　∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C. 7.5　解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共5条. 8.4　解析：取CD的中点为G，连接EG，FG，由题意知，平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内.所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在的平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4. 9.解：（1）如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角或其补角. 在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C， 所以∠B1CA＝60°. 故异面直线A1D与AC所成的角为60°. （2）连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1， 因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF⊥AC. 所以EF⊥A1C1. 故异面直线A1C1与EF所成的角为90°. 10.D　如图，分别取棱CD，AD的中点F，H，连接AC，HE，BH，EF，BF，设AB＝2，则PC＝2，BF＝.因为E，F分别是棱PD，CD的中点，所以EF∥PC，EF＝PC＝，则∠BEF是异面直线PC与BE所成的角或其补角.因为H，E分别是棱AD，PD的中点，所以HE∥PA，HE＝PA＝1.因为PA⊥平面ABCD，所以HE⊥平面ABCD.因为BH⊂平面ABCD，所以HE⊥BH，则BE＝.在△BEF中，由余弦定理可得cos ∠BEF＝＝. 11.BCD　把正方体的平面展开图还原，如图，连接AF.对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形BDCF为平行四边形，所以CD∥BF，故AB与CD所成的角为∠ABF，易知△ABF为等边三角形，则∠ABF＝60°，故A错误；对于B，由A可知CD∥EF，故B正确；对于C，由图可知，EF与GH所在的直线异面，故C正确；对于D，因为AH∥GF且AH＝GF，故四边形AFGH为平行四边形，所以GH∥AF，则GH与AB所成的角为∠FAB.因为△ABF为等边三角形，所以∠FAB＝60°，即GH与AB所在的直线夹角为60°，故D正确. 12.BD　如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线.又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，故A不正确，B正确.令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥CD∥D1M，ON＝CD＝D1M，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1.因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D，故C不正确，D正确. 13.1或　解析：如图，取CD的中点G，连接EG，FG，由题可知，EG∥BD，FG∥AC，EG＝BD＝1，FG＝AC＝1.因为AC与BD所成的角为，所以∠FGE＝或∠FGE＝π－＝，当∠FGE＝时，△FGE为等边三角形，所以EF＝1；当∠FGE＝时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos ∠FGE＝1＋1－2×1×1×（－）＝3，所以EF＝.综上，EF＝1或EF＝. 14.解：（1）存在.当G为PA的中点时满足条件.证明如下： 如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线， 所以GE∥AB. 又AB∥DC，所以GE∥DC， 所以G，E，C，D四点共面. （2）因为E是PB的中点， 所以V三棱锥P-ACE＝V三棱锥B-ACE＝V三棱锥P-ACB. 因为AD⊥DC，AB∥DC，所以AC＝，CB＝， 故AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC， 所以S△ABC＝AC·BC＝××＝1， V三棱锥P-ACB＝PC·S△ABC＝， 所以V三棱锥P-ACE＝. 15.D　由题可知初始时刻ED与BF所成角为0，故B、C错误.在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，BF⊂平面EFCB，所以DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成的角为，然后α开始变小，故直线ED，BF所成的角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $