第七章 第八节 用空间向量研究夹角问题（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第八节　用空间向量研究夹角问题 1.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成角的正弦值. 2.（2025·鹰潭一模）如图1，已知正三角形ABC的边长为6，其中＝2，＝2，现沿着DE翻折，将点A翻折到点A'处，使得平面A'BC⊥平面DBC，M为A'C中点，如图2. （1）求异面直线A'D与EM所成角的余弦值； （2）求平面A'BC与平面DEM夹角的余弦值. 3.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线. （1）已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC； （2）已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC.求二面角F-BC-A的余弦值. 4.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2. （1）若DF＝2，求二面角A-CE-F的正弦值； （2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长. 5.（创新解题路径）（2025·石家庄质量检测）如图，在五棱锥S-ABCDE中，平面SAE⊥平面AED，AE⊥ED，SE⊥AD. （1）证明：SE⊥平面AED； （2）若四边形ABCD为矩形，且SE＝AB＝1，AD＝3，＝2.当直线DN与平面SAD所成的角最小时，求三棱锥D-SAE的体积. 6.（创新知识交汇）（2024·青岛一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2. （1）证明：平面A1ABB1⊥平面ABC； （2）若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八节　用空间向量研究夹角问题 1.解：（1）交线围成的正方形EHGF如图所示. （2）作EM⊥AB，垂足为M， 则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6，所以AH＝10. 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8），＝（10，0，0），＝（0，－6，8）. 设n＝（x，y，z）是平面EHGF的法向量， 则即 所以可取n＝（0，4，3）. 又＝（－10，4，8）， 故｜cos＜n，＞｜＝＝. 所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为. 2.解：（1）取BC的中点为O，DE的中点为O'，连接A'O，A'O'，OO'， ∵正三角形ABC中，＝2，＝2， ∴DE∥BC，DE＝BC，则四边形DECB为等腰梯形， 故OO'⊥DE，OO'⊥BC； 由翻折性质可得A'E＝A'D，∠A'EC＝∠A'DB，EC＝DB， 则△A'EC≌△A'DB，∴A'C＝A'B，∵O是BC的中点，∴A'O⊥BC， 又平面A'BC⊥平面DBC，平面A'BC∩平面DBC＝BC，A'O⊂平面A'BC， ∴A'O⊥平面DBC，又OO'⊂平面DBC， ∴A'O⊥OO'， 以点O为坐标原点，OC，OO'，OA'所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵正△ABC的边长为6，DE∥BC，DE＝BC， 则△A'DE为正三角形，边长为4，则A'O'⊥DE， ∴A'O'＝2，OC＝OB＝3，OO'＝， 在△A'OO'中，由勾股定理得 OA'＝＝3， ∴A'（0，0，3），D（－2，，0），E（2，，0），C（3，0，0），M（，0，）， 则＝（－2，，－3），＝（－，－，）， ∴cos＜，＞＝ ＝＝－， ∵异面直线所成角的取值范围为（0，］， ∴异面直线A'D与EM所成角的余弦值为. （2）由（1）得D（－2，，0），E（2，，0），M（，0，）， ∴＝（4，0，0），＝（，－，）， 易得平面A'BC的一个法向量为m＝（0，1，0）， 设平面DEM的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令z＝2，则n＝（0，，2）， ∴｜cos＜m，n＞｜＝｜｜＝＝， ∴平面A'BC与平面DEM夹角的余弦值为. 3.解：（1）证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，如图1所示， 在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB. 在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC. 又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，HI，GI⊂平面GHI，BC，OB⊂平面ABC，所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC. （2）连接OO'，则OO'⊥平面ABC. 又AB＝BC，且AC是☉O的直径，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题意得B（0，2，0），C（－2，0，0）. 过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM＝＝3， 可得F（0，，3）. 故＝（－2，－2，0），＝（0，－，3）. 设m＝（x，y，z）是平面BCF的法向量， 由可得 可得平面BCF的一个法向量m＝（－1，1，）. 因为平面ABC的一个法向量n＝（0，0，1）， 所以cos＜m，n＞＝＝. 所以二面角F-BC-A的余弦值为. 4.解：（1）因为平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DF⊥EF，DF⊂平面CDFE，所以DF⊥平面ABEF，所以DF⊥AF，DF⊥FE， 又四边形ABEF为正方形，则AF⊥EF，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz， 则F（0，0，0），A（2，0，0），E（0，2，0），C（0，1，2）， 则＝（2，－2，0），＝（0，－1，2）， 设平面ACE的一个法向量为m＝（x，y，z）， 则m⊥，m⊥，所以 即不妨取z＝1，则x＝y＝2， 所以m＝（2，2，1）； 又＝（2，0，0），＝（0，2，0），＝（0，1，2）， 所以·＝0，·＝0， 所以⊥，⊥， 又FE∩FC＝F，FE⊂平面CEF，FC⊂平面CEF， 所以FA⊥平面CEF，故＝（2，0，0）为平面CEF的一个法向量， 所以cos＜m，＞＝＝. 所以二面角A-CE-F的正弦值为＝. （2）设DF＝t（t＞0），则C（0，1，t）， 所以＝（2，0，0），＝（0，－1，t），＝（2，0，0），＝（0，1，t）， 设平面BCE的一个法向量为n＝（a，b，c），则n⊥，n⊥， 所以即 不妨令c＝1，则b＝t，所以n＝（0，t，1）. 设平面ACF的一个法向量为s＝（p，q，r），则由s⊥，s⊥， 得即 不妨取r＝1，则q＝－t，得s＝（0，－t，1）， 因为平面ACF⊥平面BCE，所以n·s＝0， 即－t2＋1＝0，得t＝1，即DF＝1. 5.解：（1）证明：因为平面SAE⊥平面AED，DE⊥EA，DE⊂平面AED，平面SAE∩平面AED＝AE，所以DE⊥平面SAE， 又SE⊂平面SAE，所以DE⊥SE， 又因为SE⊥AD，ED∩AD＝D，且AD，DE⊂平面AED，所以SE⊥平面AED. （2）以E为坐标原点，分别以EA，ED，ES所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设∠EAD＝θ（θ∈（0，）），则A（3cos θ，0，0），D（0，3sin θ，0），S（0，0，1）， 可得CD与y轴夹角为θ，所以＝（sin θ，cos θ，0），＝＝（cos θ，－sin θ，0），＝＋＝（sin θ＋cos θ，cos θ－sin θ，0）， ＝（3cos θ，0，－1），＝（0，3sin θ，－1）， 平面SAD的法向量记为n＝（x，y，z）， 由得 令z＝3sin θcos θ，得n＝（sin θ，cos θ，3sin θcos θ），cos＜，n＞＝ ＝≥＝， 当θ＝时，等号成立，此时，直线DN与平面SAD所成的角取得最小值， 此时VD-SAE＝S△ADE·SE＝··1＝. 6.解：（1）证明：取棱A1A的中点D，连接BD， 因为AB＝A1B，所以BD⊥AA1， 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1， 所以BD⊥BB1，所以BD＝， 因为AB＝2，所以AD＝1，AA1＝2； 因为AC＝2，A1C＝2，所以AC2＋A＝A1C2，所以AC⊥AA1， 同理AC⊥AB， 因为AA1∩AB＝A，且AA1，AB⊂平面A1ABB1， 所以AC⊥平面A1ABB1， 因为AC⊂平面ABC，所以平面A1ABB1⊥平面ABC. （2）取AB中点O，连接A1O， 取BC中点P，连接OP，则OP∥AC， 由（1）知AC⊥平面A1ABB1，所以OP⊥平面A1ABB1， 因为A1O⊂平面A1ABB1， AB⊂平面A1ABB1， 所以OP⊥A1O，OP⊥AB， 因为AB＝A1A＝A1B，则A1O⊥AB， 以O为坐标原点，OP，OB，OA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz， 则A（0，－1，0），A1（0，0，），B1（0，2，），C（2，－1，0）， 设点N（a，0，）（0≤a≤2）， 则＝（0，2，0），＝（2，－1，－），＝（a，1，）， 设平面A1B1C的法向量为n＝（x，y，z）， 得得 取x＝，则y＝0，z＝2，所以n＝（，0，2）， 设直线AN与平面A1B1C所成的角为θ， 则sin θ＝｜cos＜n，＞｜ ＝＝×＝× ＝×， 若a＝0，则sin θ＝， 若a≠0，则sin θ＝×≤×＝， 当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立， 所以直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $