第二章 第四节 函数的对称性及应用（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第四节　函数的对称性及应用 1.C　因为f（－1＋x）＋f（－1－x）＝＋＝－＝－4，所以函数f（x）的图象关于点（－1，－2）对称.故选C. 2.D　因为曲线y＝32x关于x＝a的对称曲线为y＝32（2a－x），即y＝34a－2x，y＝34a－2x与y＝31－2x对比系数可知4a＝1，解得a＝，所以函数y＝32x与y＝31－2x的图象关于x＝对称.故选D. 3.A　法一 因为f（1＋x）＝－f（1－x），所以f（x）的图象关于（1，0）中心对称；因为f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（x）是以4为周期的周期函数，则f（x＋2）＝f（x－2）.又f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x－2）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于y轴对称，f（x）是偶函数. 法二 因为f（1＋x）＝－f（1－x），所以f（x＋2）＝－f[1－（x＋1）]＝－f（－x）.因为f（2＋x）＝f（2－x），所以f（2－x）＝－f（－x），即f（2＋x）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，则f（x＋2）＝f（x－2）.因为f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x－2）＝f（2－x），所以f（x）＝f（－x），f（x）是偶函数. 4.D　因为g（x＋1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，又g（x＋1）＝xf（x＋1），所以f（x＋1）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T＝4，所以f（－0.5）＝f（0.5）＝－f（1.5）＝－f（5.5）＝－2，所以g（－0.5）＝－1.5×f（－0.5）＝3. 5.BC　f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.由f（x）＝sin x＋，易知f（－x）＝－sin x＋＝－（sin x＋）＝－f（x），所以A是假命题，B是真命题.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋＝sin x＋＝f（x），所以C是真命题.因为f（－） ＝sin（－）＋＝－－2＝－＜2，所以D是假命题.综上，B、C正确. 6.ABD　因为f（x－2）＝－f（x）且f（x）是奇函数，所以f（－2）＝－f（0）＝0，所以f（2）＝－f（－2）＝0，A正确；又由f（x－2）＝－f（x）得f（x＋4）＝－f[（x＋4）－2]＝－f（x＋2）＝f[（x＋2）－2]＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，B正确；y＝f（x）是奇函数，C错误；因为f（x）是奇函数，所以f（x＋2）＝－f（－x－2）＝－[－f（－x）]＝f（－x），D正确. 7.－　解析：∵函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，∴y＝f（x）与y＝ex互为反函数，∴f（x）＝ln x.∵y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y轴对称，∴g（x）＝ln（－x）.又∵g（m）＝－1，∴g（m）＝ln（－m）＝－1，解得m＝－. 8.（1，＋∞）　解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. 9.解：（1）将f（x）＝－f（4－x）中的x用－x替换，得f（－x）＝－f（x＋4）. 又f（x＋2）＝f（－x）， 所以f（x＋4）＝－f（x＋2）， 将x用x－2替换，得f（x＋2）＝－f（x）， 所以f（－x）＝－f（x），f（x＋4）＝f（x）， 所以f（x）是奇函数，且是周期为4的周期函数. 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f（x）＝－f（－x）＝x2＋2x，所以当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，f（x）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8. （2）由（1）知f（x）是周期为4的周期函数，且f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1，所以f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）＝506×[f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）]＋0＋1＋0＝1. 10.A　因为定义在R上的函数f（x）满足f（x－2）＝－f（2－x），即f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，函数图象关于（0，0）对称，且f（0）＝0，又f（x）在（－∞，0）上单调递减且f（3）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减且f（－3）＝－f（3）＝0，所以当x＜－3或0＜x＜3时f（x）＞0，当－3＜x＜0或x＞3时f（x）＜0，又（x－1）f（x）≥0，等价于或或x－1＝0，解得1＜x≤3或－3≤x≤0或x＝1，即满足（x－1）f（x）≥0的x的取值范围是[－3，0]∪[1，3].故选A. 11.A　对于A，若x＝∈（0，1）是有理数，且m，n（m＜n）互质，则n－m，n也互质，即f（）＝＝f（）＝f（1－），若x为无理数，则1－x也为无理数，则f（x）＝f（1－x）＝1，所以f（x）的图象关于x＝对称，故A正确；对于B，f（－）＝1，f（＋）＝1，不满足f（x）的图象关于（，）对称，B错误；对于C，f（）＝，f（）＝，不满足f（x）在（0，1）单调递增，C错误；对于D，若x为有理数，则f（x）＝，显然n→＋∞时，函数无最小值，故D错误.故选A. 12.ACD　由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1） ＝－f（2x＋1），则f（－x＋1） ＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f（x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝0，由x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f（1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f（2 025）＝f（4×506＋1） ＝f（1）＝0，B错误.综上，故选A、C、D. 13.20　解析：因为函数f（x＋2），f（x＋7）为偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x＋2），f（x＋7）＝f（－x＋7），所以f（x）的图象关于直线x＝2，x＝7成轴对称，所以f（x）为周期函数，且T＝2×（7－2）＝10，所以将区间[0，50]划分为[0，10）∪[10，20）∪…∪[40，50]，因为f（x）的图象关于直线x＝2，x＝7成轴对称，所以f（x）＝f（4－x），f（x）＝f（14－x）.因为f（1）＝f（6）＝0，f（8）＝f（14－8）＝f（6）＝0，f（3）＝f（1）＝0，所以在[0，10）上f（x）只有四个零点，而[0，10）∪[10，20）∪…∪[40，50]共有5组，所以N＝5×4＝20. 14.解：（1）f（x）的图象关于直线x＝2对称. 证明：由｜x－2｜＞0，得x≠2， 所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4，f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. （2）设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）， 单调递减区间为（－∞，2）. 15.解：（1）设A（m，n）为函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心， 则f（m－x）＋f（m＋x）＝2n对于x∈R恒成立， 即（m－x）3＋3（m－x）2＋（m＋x）3＋3（m＋x）2＝2n对x∈R恒成立，所以（6m＋6）x2＋（2m3＋6m2－2n）＝0. 由解得 故函数f（x）的图象的一个对称中心为（－1，2）. （2）由f（x）是奇函数，知a∈R，b＝2. 不存在常数a使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒成立，理由如下： 依题意，此时f（x）＝ax3，令g（x）＝－x2＋4x－2，x∈[－1，1]，所以g（x）∈[－7，1]. 若a＝0，f（x）＝0，不符合题意； 若a＞0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递增， f（x）min＝－a，若存在a，则－a≥1，与a＞0矛盾，不符合题意； 若a＜0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递减， f（x）min＝a，若存在a，则a≥1，与a＜0矛盾，不符合题意. 综上可知，符合条件的a不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　函数的对称性及应用 1.（2025·河南高三开学考试）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的图象的对称中心的坐标为（　　） A.（－1，－3） B.（－1，3） C.（－1，－2） D.（－1，2） 2.（2025·成都三模）函数y＝32x与y＝31－2x的图象（　　） A.关于x＝2对称 B.关于x＝1对称 C.关于x＝对称 D.关于x＝对称 3.函数f（x）的定义域为R，且f（1＋x）＝－f（1－x），f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）是（　　） A.偶函数，也是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数 C.奇函数，也是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数 4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x－1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（　　） A.－3　　　B.－2 C.2　　　D.3 5.〔多选〕关于函数f（x）＝sin x＋有如下四个命题，其中是真命题的为（　　） A.f（x）的图象关于y轴对称 B.f（x）的图象关于原点对称 C.f（x）的图象关于直线x＝对称 D.f（x）的最小值为2 6.〔多选〕若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）＝－f（x），下列结论中正确的为（　　） A.f（2）＝0 B.f（x）是以4为周期的周期函数 C.f（x）的图象关于直线x＝0对称 D.f（x＋2）＝f（－x） 7.在同一平面直角坐标系中，函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称.而函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y轴对称，若g（m）＝－1，则m＝　　　　. 8.设函数f（x）＝若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x）成立，则实数a的取值范围是　　　　. 9.设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x，恒有f（x＋2）＝f（－x），f（x）＝－f（4－x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式； （2）计算f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）的值. 10.若定义在R上的函数f（x）满足f（x－2）＝－f（2－x），且在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，则满足（x－1）f（x）≥0的x的取值范围是（　　） A.[－3，0]∪[1，3] B.（－∞，－3]∪{0}∪[1，3] C.[－3，0）∪[1，3] D.[1，＋∞） 11.（2024·温州二模）已知定义在（0，1）上的函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的图象关于x＝对称 B.f（x）的图象关于（，）对称 C.f（x）在（0，1）单调递增 D.f（x）有最小值 12.〔多选〕（2025·苏北四市调研）设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝－1，则（　　） A.b＝－2 B.f（2 025） ＝－1 C.f（x）为偶函数 D.f（x）的图象关于点（1，0）对称 13.已知定义域为R的函数f（x）在[0，7]上有1和3两个零点，且f（x＋2）与f（x＋7）都是偶函数，则函数f（x）在[0，50]上的零点个数为　　　　. 14.已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； （2）求f（x）的单调区间. 15.（创新考查角度）对于定义在R上的函数f（x），可以证明“点A（m，n）是f（x）的图象的一个对称中心”的充要条件是“f（m－x）＋f（m＋x）＝2n，x∈R”. （1）求函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心； （2）函数f（x）＝ax3＋（b－2）x2（a，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[－1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥－x2＋4x－2恒成立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $