第二章 第十一节 函数模型的应用（课时跟踪检测）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第十一节　函数模型的应用 1.（2025·衡水阶段练习）某林区的森林面积每年比上一年平均增长12%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（　　） 2.（2025·赤峰阶段练习）每年的3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率y的关系如下表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率y y＜110 110≤y≤130 y≥130 已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间t（单位：分钟）满足关系式y＝20 ln（＋1）＋a，其中a为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（参考数据：e2≈7.4）（　　） A.35分钟 B.41分钟 C.52分钟 D.62分钟 3.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的（　　） A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍 4.（2024·安徽江南十校3月联考）酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg为酒后驾车，80 mg及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2 mg/mL.假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则到他能驾驶机动车需要的时间至少为（精确到0.001.参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　） A.7.963小时 B.8.005小时 C.8.022小时 D.8.105小时 5.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a（a为常数），广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为　　　　（用常数a表示）. 6.一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－btcm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过　　　　min，容器中的细砂只有开始时的八分之一. 7.某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y（y值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x（单位：克）的关系：当0≤x＜7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝（）x－m.测得的部分数据如表所示. x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳. 8.〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是（　　） A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 9.（2025·广东部分名校质量检测）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记p为实际声压，通常我们用声压级L（p）（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级L（p）与声压p存在近似函数关系：L（p）＝alg ，其中a为常数，且常数p0（p0＞0）为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压p1为穿软底鞋走路的声压p2的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L（p1）＝60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L（p2）的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p'，则（　　） A.a＝20，p'≤10p2 B.a＝20，p'≤p1 C.a＝10，p'≤10p2 D.a＝10，p'≤p1 10.某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是该企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2021 2022 2023 2024 … 年投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b（k≠0）；②y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）；③y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）. （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； （2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型. 11.（应用创新）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示（单位：Pa），声压级SPL（单位：dB）表示声压的相对大小，已知SPL＝klg（k是常数）.当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍. （1）求声压级SPL关于声压P的函数解析式； （2）已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝，一般当声压级SPL＜45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由.（参考数据：lg 2≈0.3） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一节　函数模型的应用 1.D　依题意，（1＋0.12）y＝x，则y＝log1.12x，x≥1，即f（x）＝log1.12x，x≥1，显然选项A、B、C不符合题意，D符合.故选D. 2.B　由题可知y＝20 ln（＋1）＋70≥110，则ln（＋1）≥2，所以＋1≥e2，从而t≥（e2－1）2≈40.96，可得运动时间至少约为41分钟.故选B. 3.C　由η＝10lg得I＝I01，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍. 4.C　设需经过x小时，由已知得1.2×0.8x＜0.2，所以x＞＝≈＝≈8.022，所以x＞8.022.故选C. 5.a2　解析：令t＝（t≥0），则A＝t2，∴D＝at－t2＝－＋a2，∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值. 6.16　解析：当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，若容器中的细砂只有开始时的八分之一，则y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，即t＝24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一. 7.解：（1）当0≤x＜7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得 即y＝－x2＋8x－4（0≤x＜7）. 当x≥7时，y＝（）x－m，由x＝10，y＝可得m＝8， 即y＝（）x－8（x≥7）. 综上可得，y＝ （2）当0≤x＜7时，y＝－x2＋8x－4＝－（x－4）2＋12， 即当x＝4时，y取得最大值12； 当x≥7时，y＝（）x－8单调递减，即当x＝7时，y取得最大值3. 综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳. 8.ABC　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第1次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误. 9.A　由题意得L（p1）－L（p2）＝alg＝alg 100＝2a＝60－20＝40，解得a＝20，则L（p）＝20lg.因此L（p'）＝20lg≤50，L（p'）－L（p2）＝20lg≤50－20＝30，则p'≤10p2，L（p1）－L（p'）＝20lg≥60－50＝10，则p'≤p1.故选A. 10.解：（1）将（3，1），（5，2）代入y＝kx＋b（k≠0）， 得解得∴y＝x－. 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将（3，1），（5，2）代入y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）， 得解得∴y＝·＝. 当x＝9时，y＝＝8，不符合题意； 将（3，1），（5，2）代入y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）， 得解得 ∴y＝log2（x－1）. 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4. 故可用③来描述x，y之间的关系. （2）令log2（x－1）≥6，则x≥65. ∵＜10%， ∴该企业要考虑转型. 11.解：（1）由题意可得，klg＋60＝klg， 则klg＋60＝k（3＋lg）， 所以3k＝60，解得k＝20， 故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg. （2）不会干扰我们正常的学习，理由如下： 当SPL＝40时，由20lg＝40，即lg＝2，可得P1＝P2＝2×10－3， 所以P＝＝P1＝2×10－3，将其代入SPL＝20lg可得SPL＝20lg＝20lg（×102）＝40＋10lg 2≈43＜45， 故不会干扰我们正常的学习. 学科网（北京）股份有限公司 $